Polinomios
En una fábrica de cajas de cartón de Avellaneda parten de una plancha rectangular, recortan un cuadradito en cada esquina y doblan los bordes hacia arriba. Si el cuadradito es muy chico, la caja queda baja; si es muy grande, queda angosta. ¿Cuánto vale el volumen según el lado del recorte? Esa cuenta es un polinomio, y para manejarlo vas a necesitar sumar, multiplicar, dividir y factorizar. Eso es lo que repasamos acá, porque después lo vas a usar para hallar ceros y estudiar el signo de las funciones polinómicas.
Definición, grado y operaciones
Un polinomio en $x$ es una suma de términos $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, con coeficientes $a_i$ reales y exponentes naturales. El grado es el mayor exponente con coeficiente no nulo; $a_n$ es el coeficiente principal y $a_0$ el término independiente.
Sumar o restar es reducir términos semejantes (los del mismo grado). Multiplicar es aplicar la propiedad distributiva: cada término del primero por cada término del segundo, y después reducir.
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado…
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
División de polinomios
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ da un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ tales que $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$, con el resto de grado menor que el del divisor (o nulo). El algoritmo es el de la división larga con números: se divide el término de mayor grado, se multiplica, se resta y se repite con lo que queda.
Cuando el resto tiene que ser constante, el coeficiente de $x$ del resto debe anularse. Eso te da una ecuación para un parámetro.
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:…
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:
$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un…
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un número constante (es decir, un polinomio de grado 0). ¿Cuál es el valor exacto de ese resto?
Regla de Ruffini
Si el divisor es de la forma $x-a$, no hace falta la división larga: la regla de Ruffini trabaja solo con los coeficientes del dividendo (completos, con ceros donde falte un grado) y con el número $a$.
Se baja el primer coeficiente, se lo multiplica por $a$, se suma al coeficiente siguiente, y así hasta el final. El último número es el resto y los anteriores son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el dividendo.
Utilizá la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indicá el cociente y el resto.
Utilizá la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indicá el cociente y el resto.
Teorema del resto y teorema del factor
Antes de dividir, conviene saber si vale la pena. El teorema del resto dice que el resto de dividir $P(x)$ entre $(x-a)$ es $P(a)$. Y el teorema del factor dice que $(x-a)$ es factor de $P(x)$ exactamente cuando $P(a)=0$, es decir, cuando $a$ es un cero (o raíz) del polinomio.
En el gráfico, los ceros son los puntos donde la curva corta al eje $x$: ahí $P(a)=0$.
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división…
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división completa.
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los…
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Factorización de polinomios
Factorizar es escribir el polinomio como producto de polinomios de menor grado. Sirve para hallar los ceros y para estudiar el signo. Se sigue siempre este orden: factor común, casos de factoreo (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, suma y diferencia de cubos) y, si queda algo de grado 3 o más, Ruffini con el teorema del factor.
Si el polinomio es mónico (coeficiente principal 1) y tiene coeficientes enteros, sus ceros enteros son divisores del término independiente. Probás esos candidatos con Ruffini.
Cuando te queda un trinomio de grado 2 que no se factoriza a simple vista, usá la fórmula resolvente para hallar sus ceros. Si $ax^2+bx+c$ tiene ceros $x_1$ y $x_2$, entonces $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, con
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$Extraé el factor común y usá los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Extraé el factor común y usá los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A…
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A continuación, aplica esta propiedad para extraer la raíz evidente y factorizar completamente el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ en el conjunto de los números reales.
Fracciones algebraicas: simplificar y multiplicar
Una fracción algebraica es un cociente de polinomios. Se simplifica como una fracción numérica: se factoriza arriba y abajo y se cancelan los factores completos comunes. Los valores que anulan el denominador original quedan excluidos del dominio, aunque después de simplificar ya no se vean.
Para multiplicar se factoriza todo y se simplifica en cruz antes de multiplicar. Para dividir, se multiplica por la fracción inversa.
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado:
$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando…
El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando previamente el numerador (diferencia de cubos) y el denominador. Luego, evalúa el área cuando $x = 3$ metros.
Fracciones algebraicas: sumar y restar
Para sumar o restar hace falta un denominador común. Se factorizan los denominadores, se arma el mínimo común múltiplo (cada factor con su mayor exponente), se amplía cada fracción y se opera con los numeradores.
Si aparece una fracción dentro de otra, se resuelve el numerador por un lado, el denominador por otro, y se divide multiplicando por la inversa.
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:…
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:
$R_{eq}(x) = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1}$
Realiza las operaciones indicadas, calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica la fracción resultante al máximo. ¿Cuál es el valor de la resistencia si $x = 3 \ \Omega$?
En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:…
En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:
$T(x) = \frac{\frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}}{\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x + 4}}$
Simplifica $T(x)$ al máximo factorizando previamente todos los numeradores y denominadores. ¿Qué problema matemático (y por tanto físico) ocurre con la relación de transmisión si $x = 2$?
Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones: $S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$…
Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones:
$S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$
Factorizá completamente el numerador y el denominador utilizando la regla de Ruffini y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Simplificá la fracción al máximo y determiná, si existe, para qué valor real de $x$ la fracción simplificada es igual a $3$.
Polinomios con parámetros
Muchas situaciones (ganancias, dilatación de un material, curvas de una viga) se modelan con un polinomio con coeficientes desconocidos. Cada condición del problema se traduce en una ecuación: «vale cero en $a$» es $P(a)=0$; «el resto de dividir entre $x-a$ es $r$» es $P(a)=r$.
Los beneficios diarios de una empresa, en miles de pesos, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se…
Los beneficios diarios de una empresa, en miles de pesos, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se sabe que el día 1 el beneficio es cero. Además, al dividir $B(x)$ entre $x-2$, el resto es $2$. Calculá los parámetros $a$ y $b$, y factorizá el polinomio para determinar en qué otro día de la semana el beneficio vuelve a ser exactamente cero.
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha…
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha comprobado que a las temperaturas $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ y $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es nula. Sin embargo, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es de $2 \text{ mm}$. Determina el valor de los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio.
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por…
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por $(x-1)^2$. Además, al dividirlo por $x+1$ el resto es $-8$, y al dividirlo por $x-2$ el resto es $4$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y halla los valores de $a, b, c$ y $d$.
Potencias de un binomio
Ya conocés $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ y $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Los coeficientes se leen en el triángulo de Pascal (o de Tartaglia): cada número es la suma de los dos que tiene arriba.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$.…
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Encuentra el valor numérico exacto del término independiente (el término que no depende de $x$) en este desarrollo.
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente…
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula del Binomio de Newton, halla el valor del número natural $n$ y calcula el término independiente de dicho desarrollo.
Polinomios en problemas de geometría
Volvamos a la plancha de cartón. Si de una plancha de $24\text{ cm}$ por $16\text{ cm}$ recortás cuadrados de lado $x$ en las esquinas, la caja tiene base de $(24-2x)$ por $(16-2x)$ y altura $x$.
Otros problemas se resuelven igualando un volumen a un valor dado y llevando todo a una ecuación $P(x)=0$. Con Ruffini y el teorema del factor buscás una raíz entera (divisor del término independiente) y factorizás lo que queda. Para el cilindro dentro de la esfera, ojo: no toda raíz de la ecuación sirve, hay que descartar las que no tienen sentido geométrico (por ejemplo, una semialtura negativa o mayor que el radio).
Volvé al principio: el volumen de la caja es un polinomio cúbico en el lado del recorte. Con $V(x)$ en la mano podés calcular cualquier caso, y con la factorización saber para qué valores vale cero (ahí no hay caja).
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de…
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y pliegan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como un polinomio en forma estándar (desarrollado). Después, calcula el volumen exacto si se recortan cuadrados de $x = 4 \text{ cm}$.
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es…
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Se desea que el volumen sea exactamente $768\pi \text{ cm}^3$. Formulá la ecuación polinómica $P(x) = 0$, encontrá su raíz entera utilizando la regla de Ruffini y factorizá el polinomio resultante para hallar todas las posibles semialturas $x$ que cumplen la condición geométrica.
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$.…
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$. Expresa el volumen de material restante como un polinomio en forma estándar (desarrollando los binomios al cubo y simplificando). Después, halla el valor de $x$ si se sabe que el volumen de material restante es exactamente de $117 \text{ cm}^3$.