Dependencia e independencia lineal. Bases

Dos drones de vigilancia se desplazan por el espacio siguiendo trayectorias rectilíneas definidas por los vectores $\vec{u} = (2, -4, 6)$ y $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determina si los drones se mueven en direcciones paralelas analizando la dependencia lineal de sus vectores directores.

Un sistema de sensores láser requiere que dos haces de luz sean paralelos. El primer haz sigue la dirección del vector $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ y el segundo la del vector $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Halla el valor del parámetro $k$ para que los vectores sean linealmente dependientes y, por tanto, los haces sean paralelos.

Se consideran los puntos del espacio $A(1, 2, -1)$, $B(2, 3, 1)$ y $C(3, 4, 3)$.

1. a) Halla los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
2. b) A partir de sus componentes, decide si los puntos $A, B$ y $C$ están alineados.

En un motor gráfico de un videojuego, la posición de un objeto se define mediante la combinación lineal de dos vectores básicos: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ y $\vec{b} = (0, -1, 3)$. Calcula las coordenadas del vector resultante $\vec{w}$ si se aplica la siguiente operación:

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, -1)$ y $\vec{v} = (0, 1, 2)$, determina el valor del parámetro real $k$ para que el vector $\vec{w} = (2, k, 0)$ sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$. ¿Qué relación geométrica guardan los tres vectores para ese valor de $k$?

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ y $\vec{w} = (3, 2, 4)$, demuestra sin realizar cálculos complejos (observando la relación entre sus componentes) que el conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es linealmente dependiente.

Comprueba si los vectores $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ y $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ pueden formar una base de $\mathbb{R}^3$. Para ello, justifica si son linealmente independientes utilizando el determinante de la matriz que forman.

Razona la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: "En el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$, cualquier conjunto formado por cuatro vectores no nulos es siempre linealmente dependiente". Pon un ejemplo sencillo para apoyar tu respuesta.

Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ según los valores del parámetro $m \in \mathbb{R}$, siendo $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ y $\vec{c} = (1, 1, m)$.

Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo trayectorias rectilíneas definidas por vectores. Si los vectores de dirección de tres drones son $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ y $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$, calcula los valores de $a$ para los cuales las trayectorias de los tres drones estarían contenidas en planos paralelos entre sí (es decir, los vectores son coplanarios).

Si un vector $\vec{v}$ tiene de coordenadas $(3, -2, 5)$ respecto a la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, exprésalo como una combinación lineal de dichos vectores unitarios.

Determina si los puntos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 1, 1)$, $R(0, 5, -2)$ y $S(k, 0, 4)$ son coplanarios en función del valor de $k$. Para realizar este análisis, utiliza la dependencia lineal de los vectores con origen en $P$ y extremos en los demás puntos.

Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores según los valores de los parámetros $a$ y $b$:

$\vec{u} = (a, 1, 0)$

$\vec{v} = (1, a, 1)$

$\vec{w} = (0, 1, b)$

Determina para qué relación entre $a$ y $b$ los vectores son coplanarios. ¿Existe algún valor de $a$ para el cual los vectores sean linealmente dependientes independientemente del valor de $b$? Justifica tu respuesta.

Considera los puntos del espacio $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 0, m)$.

1. a) Halla el vector $\vec{AB}$ y el vector $\vec{AC}$.
2. b) Determina el valor de $m$ para que el vector $\vec{v} = (3, -3, -3)$ sea linealmente dependiente de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
3. c) Para el valor de $m$ hallado, escribe $\vec{v}$ como combinación lineal de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

Dados los vectores de la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, se definen los vectores:

Justifica si el conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$. Si un vector $\vec{x}$ tiene coordenadas $(1, 2, 3)$ en la base canónica, ¿cuáles serán sus coordenadas en la base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?

En el desarrollo de un videojuego de mundo abierto, la posición de un personaje se define mediante una base no estándar $B' = \{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}$. Sabemos que estos vectores se relacionan con la base canónica $B = \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}$ de la siguiente forma:

$\vec{u_1} = \vec{i} + \vec{j}$

$\vec{u_2} = \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{u_3} = \vec{i} + \vec{k}$

1. a) Demuestra que $B'$ es una base de $\mathbb{R}^3$.

1. b) Si un objeto del juego tiene coordenadas $(2, -4, 6)$ en la base canónica, determina sus coordenadas en la base $B'$.

Demuestra razonadamente que si los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente independientes, entonces los vectores $\{\vec{u} + \vec{v}, \vec{v} + \vec{w}, \vec{w} + \vec{u}\}$ también son linealmente independientes y, por tanto, forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Sea $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ una base de $\mathbb{R}^3$. Se consideran los vectores:

$\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$

$\vec{y} = \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{z} = \vec{w} + \lambda\vec{u}$

1. a) ¿Para qué valores de $\lambda$ el conjunto $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ no constituye una base de $\mathbb{R}^3$?

1. b) Para $\lambda = 0$, expresa el vector $\vec{w}$ como combinación lineal de $\vec{x}$, $\vec{y}$ y $\vec{u}$.

Demuestra que si tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ son linealmente independientes, entonces los vectores $\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{v} - \vec{w}$ y $\vec{w} - \vec{u}$ son siempre linealmente dependientes.

Da una interpretación geométrica de este resultado considerando los vectores como los lados de una figura cerrada en el espacio.