Asíntotas de una función
Una empresa de ómnibus de Salto paga 6.000 pesos fijos por viaje y 30 pesos por pasajero. El costo por pasajero es $C(x)=30+\dfrac{6000}{x}$, con $x$ la cantidad de pasajeros. ¿Qué pasa si viaja muy poca gente? ¿Y si el ómnibus va lleno de a miles? La gráfica de $C$ se pega a dos rectas sin llegar a tocarlas: son sus asíntotas. En esta página aprendés a encontrarlas todas con límites y a saber por qué lado se acerca la curva.
Antes de empezar: leer y calcular límites
Una asíntota se descubre con límites, así que repasemos tres herramientas. Recordá que el límite en un punto describe a qué valor se acerca $f(x)$, no el valor de $f$ en ese punto.
1. Leer en una gráfica. Mirá por separado qué altura alcanza la curva cuando te acercás al valor por la izquierda ($x\to a^-$) y por la derecha ($x\to a^+$). Si las dos alturas coinciden, ese es el límite. Si son distintas, el límite no existe, aunque los laterales sí. Si la curva sube o baja sin tope, el límite lateral es $+\infty$ o $-\infty$.
2. Sustitución directa. Si la función es continua en $a$ (polinomios, exponenciales, racionales con denominador no nulo), $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
3. Indeterminación $\frac00$. Si al sustituir queda $\frac00$, hay que transformar la expresión: factorizar y simplificar, o multiplicar por el conjugado si hay raíces.
Observa la siguiente gráfica que representa el consumo de memoria RAM (en GB) de un servidor de procesos en función del tiempo $t$ (en segundos). Determina, de forma…
Observa la siguiente gráfica que representa el consumo de memoria RAM (en GB) de un servidor de procesos en función del tiempo $t$ (en segundos). Determina, de forma intuitiva, el valor de los límites laterales en el instante $t = 4$ y razona si existe el límite global en ese punto.
Calcula los siguientes límites directos por sustitución, que representan la velocidad de una partícula en metros por segundo en diferentes instantes $t$: a)…
Calcula los siguientes límites directos por sustitución, que representan la velocidad de una partícula en metros por segundo en diferentes instantes $t$:
- a) $\lim_{t \to 2} (t^2 + 3t - 1)$
- b) $\lim_{t \to 0} \frac{e^t + 1}{t + 2}$
Calcula los siguientes límites resolviendo las indeterminaciones correspondientes: a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ b)…
Calcula los siguientes límites resolviendo las indeterminaciones correspondientes:
- a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$
- b) $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$
Asíntota vertical: dónde se dispara la función
Para decidir de qué lado va a $+\infty$ o a $-\infty$, estudiá el signo del cociente a cada lado de $x_0$.
Dada la función racional $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, que describe la intensidad de un campo magnético en relación a la distancia $x$ a un cable conductor: a) Determina el…
Dada la función racional $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, que describe la intensidad de un campo magnético en relación a la distancia $x$ a un cable conductor:
- a) Determina el dominio de la función.
- b) Calcula los límites laterales $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
- c) Indica la ecuación de su asíntota vertical.
Un dron de inspección técnica sigue una trayectoria de aproximación a una antena cuya altura viene dada por la función $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, donde $x$ es la…
Un dron de inspección técnica sigue una trayectoria de aproximación a una antena cuya altura viene dada por la función $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro de control. Calcula el límite de la altura cuando el dron se encuentra muy cerca de $x = 3$ metros.
(Nota: Aunque la función no esté definida en $x=3$, estudia el límite simplificando la expresión).
Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$: a) Determina si existe algún valor de $k$ para que la función tenga una discontinuidad evitable en $x = 2$. b) Si…
Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$:
- a) Determina si existe algún valor de $k$ para que la función tenga una discontinuidad evitable en $x = 2$.
- b) Si $k = 9$, estudia la existencia de asíntotas verticales y describe el comportamiento de la función en sus cercanías mediante límites laterales.
Asíntota horizontal: cuando el límite en el infinito es finito
En una función racional, comparás los grados de $P$ y $Q$:
| Grados | Límite en $\pm\infty$ | Asíntota horizontal |
|---|---|---|
| $\text{gr}(P)<\text{gr}(Q)$ | $0$ | $y=0$ |
| $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$ | cociente de coeficientes principales | $y=\frac{a}{b}$ |
| $\text{gr}(P)>\text{gr}(Q)$ | $\pm\infty$ | no hay |
¿Por qué? Cuando $x$ es enorme, en cada polinomio manda el término de mayor grado y el resto casi no pesa.
Para saber si la curva se acerca a la asíntota por encima o por debajo, restás: $f(x)-L$ y mirás su signo. Acá $T(t)-40=\dfrac{30}{2t^2+3}>0$: la curva queda siempre por encima de $y=40$.
En un estudio biológico, el número de individuos de una población de bacterias (en miles) sigue el modelo $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en…
En un estudio biológico, el número de individuos de una población de bacterias (en miles) sigue el modelo $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ para conocer la población a largo plazo.
- b) ¿Qué tipo de asíntota representa este resultado? Escribe su ecuación.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$, que modela la eficiencia de un panel fotovoltaico en función de la radiación recibida $x$, justifica mediante el cálculo de…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$, que modela la eficiencia de un panel fotovoltaico en función de la radiación recibida $x$, justifica mediante el cálculo de límites si la función tiene alguna asíntota horizontal y represéntala gráficamente de forma esquemática.
Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura $T$ (en grados Celsius) de un nuevo procesador gráfico en función del tiempo $t$ (en minutos) desde su…
Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura $T$ (en grados Celsius) de un nuevo procesador gráfico en función del tiempo $t$ (en minutos) desde su encendido. La función viene dada por:
$$T(t) = \frac{80t^2 + 150}{2t^2 + 3}$$Calcula la temperatura inicial del procesador y determina mediante el cálculo de límites si la temperatura se estabiliza a largo plazo. ¿Qué tipo de asíntota representa este valor de estabilización?
Comportamiento en el infinito: polinomios, raíces y $1^\infty$
Polinomios. Cuando $x\to\pm\infty$ manda el término de mayor grado. Por ejemplo, $-2x^3+5x-1$ se comporta como $-2x^3$: si $x\to+\infty$, tiende a $-\infty$; si $x\to-\infty$, tiende a $+\infty$ (el cubo conserva el signo de $x$). Con grado par, $x^4-100x^2\sim x^4$ da $+\infty$ en los dos extremos. Un polinomio no constante nunca tiene asíntotas.
Diferencia de raíces ($\infty-\infty$). Se multiplica y divide por el conjugado.
Indeterminación $1^\infty$. Si $f(x)\to1$ y $g(x)\to\infty$, entonces
$$\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim g(x)\,\left(f(x)-1\right)}$$¿Por qué? Es la definición del número $e$: $(1+u)^{1/u}\to e$ cuando $u\to0$.
Determina el comportamiento en el infinito de las siguientes funciones polinómicas, indicando si tienden a $+\infty$ o $-\infty$: a) $f(x) = -2x^3 + 5x - 1$ cuando…
Determina el comportamiento en el infinito de las siguientes funciones polinómicas, indicando si tienden a $+\infty$ o $-\infty$:
- a) $f(x) = -2x^3 + 5x - 1$ cuando $x \to +\infty$
- b) $g(x) = x^4 - 100x^2$ cuando $x \to -\infty$
Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$. a) Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$. b) Comprueba si existe una asíntota horizontal cuando $x$…
Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.
- a) Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
- b) Comprueba si existe una asíntota horizontal cuando $x$ tiende a $+\infty$.
- c) Investiga qué ocurre con el límite de la función cuando $x \to -\infty$. ¿Existe alguna asíntota en esa rama?
Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando la relación con el número $e$: $$\lim_{x \to +\infty} \left(…
Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando la relación con el número $e$:
$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x + 5}{3x - 2} \right)^{2x + 1}$$Asíntota oblicua: cuando sobra exactamente un grado
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Para completar el estudio, indica la posición relativa de la curva respecto…
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Para completar el estudio, indica la posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Considera la función $f(x)$, definida mediante un valor absoluto, que modela la trayectoria de un dron de vigilancia: $$f(x) = \frac{x \cdot |x-2|}{x+1}$$ Estudia la…
Considera la función $f(x)$, definida mediante un valor absoluto, que modela la trayectoria de un dron de vigilancia:
$$f(x) = \frac{x \cdot |x-2|}{x+1}$$Estudia la existencia de asíntotas oblicuas en esta función. En caso de que existan, calcula sus ecuaciones y analiza la posición de la curva respecto a dichas asíntotas tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.
Dada la función dependiente de los parámetros $k$ y $m$: $$f(x) = \frac{kx^3 + mx^2 + 1}{(x-1)^2}$$ Calcula los valores de $k$ y $m$ para que $f(x)$ tenga una asíntota…
Dada la función dependiente de los parámetros $k$ y $m$:
$$f(x) = \frac{kx^3 + mx^2 + 1}{(x-1)^2}$$Calcula los valores de $k$ y $m$ para que $f(x)$ tenga una asíntota oblicua que pase por el punto $(0, 2)$ y cuya pendiente sea $3$. Una vez hallados, comprueba si la función posee alguna asíntota vertical y justifica si es evitable o no.
Estudio completo de una función racional
Para buscar todas las asíntotas de una función, seguí este orden:
-
Dominio. Marcá los puntos donde no está definida.
-
Verticales. En cada uno de esos puntos, calculá los límites laterales (después de simplificar).
-
Horizontales. Calculá los límites en $+\infty$ y en $-\infty$.
-
Oblicuas. Solo si no hay horizontal en ese extremo, calculá $m$ y $n$.
-
Posición. Estudiá el signo de $f(x)-(\text{asíntota})$.
Halla todas las asíntotas (verticales y horizontales) de la función $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. Para ello: 1. Identifica el valor de $x$ que anula el denominador. 2.…
Halla todas las asíntotas (verticales y horizontales) de la función $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. Para ello:
-
Identifica el valor de $x$ que anula el denominador.
-
Calcula el límite de la función cuando $x \to \infty$.
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ (cada marca de los ejes corresponde a una unidad). Supón que las dos ramas continúan fuera del recuadro con la…
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ (cada marca de los ejes corresponde a una unidad). Supón que las dos ramas continúan fuera del recuadro con la tendencia que muestran. A partir de la información visual, determina el valor de los siguientes límites y las ecuaciones de todas sus asíntotas:
- a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$
- b) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$
- c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$
Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina el valor del parámetro real $a$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en la…
Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina el valor del parámetro real $a$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Una vez hallado el valor de $a$, calcula los límites laterales de la función en sus asíntotas verticales y explica el comportamiento de la gráfica en esos puntos.
Asíntotas con parámetros
Es muy común que un enunciado diga «hallá el parámetro para que haya cierta asíntota o cierto límite». La estrategia: calculá el límite en función del parámetro e igualalo al valor pedido.
Un satélite de comunicaciones sigue una órbita cuya perturbación gravitatoria se describe por la función $g(x)$. Se requiere que el satélite no se aleje indefinidamente…
Un satélite de comunicaciones sigue una órbita cuya perturbación gravitatoria se describe por la función $g(x)$. Se requiere que el satélite no se aleje indefinidamente de una trayectoria lineal prevista. La función es:
$$g(x) = \sqrt{4x^2 + bx - 3} - ax$$Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función tenga una asíntota horizontal en $y = 2$ cuando $x \to +\infty$.
Se está diseñando un nuevo algoritmo de compresión de datos para una plataforma de streaming. El tiempo de respuesta del sistema, en milisegundos, viene modelado por la…
Se está diseñando un nuevo algoritmo de compresión de datos para una plataforma de streaming. El tiempo de respuesta del sistema, en milisegundos, viene modelado por la función $T(x)$, donde $x$ representa la carga de trabajo en terabytes:
$$T(x) = \left( \frac{x^2 + ax + 1}{x^2 + 3} \right)^{2x+1}$$Sabiendo que, para que el sistema sea estable bajo cargas extremas, el límite del tiempo de respuesta cuando la carga tiende a infinito debe ser exactamente $e^4$, determina razonadamente el valor del parámetro $a$.
Sea la función $f(x)$ definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - k}{x-2} & \text{si } x < 2 \\ \sqrt{x^2 + ax} - x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ 1.…
Sea la función $f(x)$ definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - k}{x-2} & \text{si } x < 2 \\ \sqrt{x^2 + ax} - x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$-
Halla el valor de $k$ para que la función posea una discontinuidad de salto finito en $x = 2$.
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Para el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, determina el valor de $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal $y = 3$ cuando $x \to +\infty$.
Asíntotas con logaritmos y exponenciales
El logaritmo $\ln u$ solo existe si $u>0$ y tiende a $-\infty$ cuando $u\to0^+$ y a $+\infty$ cuando $u\to+\infty$. Por eso las asíntotas verticales aparecen cuando el argumento tiende a $0^+$ o a $+\infty$.
Con exponenciales y logaritmos en el infinito se usa la jerarquía de infinitos: $\ln x\ll x^p\ll e^x$ (cada uno crece más lento que el siguiente). Para $\ln(e^{3t}+t^2)$, sacás de factor el término dominante: $\ln\!\big(e^{3t}(1+t^2e^{-3t})\big)=3t+\ln(1+t^2e^{-3t})$, y como $t^2e^{-3t}\to0$, el logaritmo se comporta como $3t$.
Estudia el dominio y todas las asíntotas de la siguiente función logarítmica: $$f(x) = ln\left( \frac{x^2-4}{x^2-1} \right)$$ Determina los límites laterales en cada uno…
Estudia el dominio y todas las asíntotas de la siguiente función logarítmica:
$$f(x) = ln\left( \frac{x^2-4}{x^2-1} \right)$$Determina los límites laterales en cada uno de los puntos donde la función no está definida y esboza gráficamente el comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En el estudio de la propagación de un virus informático en una red social, se ha determinado que el número de nodos infectados $N(t)$ tras un tiempo $t$ (en horas) sigue…
En el estudio de la propagación de un virus informático en una red social, se ha determinado que el número de nodos infectados $N(t)$ tras un tiempo $t$ (en horas) sigue la función:
$$N(t) = \frac{ln(e^{3t} + t^2)}{t + \sqrt{t^2 + 1}}$$Analiza el comportamiento de la infección a largo plazo calculando $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Justifica tu respuesta aplicando las jerarquías de infinitos correspondientes.
Ampliación: la regla de L'Hôpital
Calcula el valor del siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital tras realizar las transformaciones necesarias para resolver la indeterminación: $$\lim_{x \to 0}…
Calcula el valor del siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital tras realizar las transformaciones necesarias para resolver la indeterminación:
$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \cdot sen(x)} \right)$$A partir del resultado obtenido, indica si la función $f(x) = \frac{sen(x) - x}{x^2 \cdot sen(x)}$ posee una asíntota vertical en el origen.