Parábola
La antena parabólica de una casa de Rocha, el faro de un auto y el reflector de un telescopio tienen algo en común. Todo rayo que llega paralelo al eje rebota y pasa por el mismo punto, el foco. ¿Por qué la parábola hace eso y dónde hay que poner el receptor? Lo vas a responder al final, a partir de cómo se define la parábola como lugar geométrico.
La parábola como lugar geométrico
En 1.° ya viste la parábola como gráfica de $y=ax^2+bx+c$. Ahora la vemos como lo que es: un lugar geométrico, es decir, el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición de distancias.
Fijate que $P$ se mueve y las dos distancias cambian, pero siempre son iguales. El punto del medio entre el foco y la directriz (el más cercano a ambos) es el vértice $V$. La recta perpendicular a la directriz que pasa por $F$ es el eje de simetría.
Para hallar la ecuación se plantea siempre con un punto genérico $P(x,y)$: se escriben las dos distancias, se igualan y se eleva al cuadrado.
Si la directriz no es horizontal ni vertical, la distancia de $P(x,y)$ a la recta $ax+by+c=0$ es $\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. El procedimiento es el mismo.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua…
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua $x + y - 1 = 0$.
Ecuación canónica con vértice en el origen
Colocamos el vértice en el origen y el eje sobre el eje $x$. Llamamos $p$ a la distancia del foco a la directriz (con signo: $p>0$ si la parábola se abre hacia $+x$). El vértice está en el medio, a $\tfrac p2$ de cada uno.
Podés explorar cómo cambia la abertura con $p$. En la gráfica de $y=\dfrac{x^2}{2p}$, un $p$ chico da una parábola "cerrada" y un $p$ grande, una "abierta".
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Parábola trasladada y ecuación general
Si el vértice es $V(x_0,y_0)$ y el eje sigue paralelo a un eje coordenado, se traslada la canónica. Aquí $p$ sigue siendo la distancia con signo del foco a la directriz.
Para pasar de la general a la canónica se completan cuadrados solo en la variable que está al cuadrado.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su…
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su vértice, su foco y la ecuación de su directriz.
Hallar la parábola a partir de datos
Muchos problemas dan puntos de la parábola y no el foco. La idea es elegir bien el sistema de ejes, plantear la forma canónica con $p$ desconocido (o la forma $y=ax^2+bx+c$ si el eje es vertical) y usar los puntos para hallar las constantes.
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se…
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se encuentra el arco a una distancia horizontal de $8\text{ m}$ del centro de la base.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de…
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de $15\text{ m}$ a una distancia horizontal de $20\text{ m}$. Determina analíticamente si el chorro de agua logrará pasar por encima de un muro de $10\text{ m}$ de altura situado a $30\text{ m}$ de distancia horizontal del punto de salida.
Recta y parábola: secante, tangente y exterior
Para estudiar la posición de una recta y una parábola se resuelve el sistema de las dos ecuaciones. Se despeja una variable de la recta y se sustituye en la parábola, lo que da una ecuación de segundo grado. Su discriminante $\Delta$ decide:
-
$\Delta>0$: dos puntos de corte (secante).
-
$\Delta=0$: un solo punto (tangente).
-
$\Delta<0$: ningún punto (exterior).
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al…
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al intersecar con la parábola.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Rectas tangentes
Hay tres formas de hallar una tangente, y todas llevan al mismo resultado.
Las otras dos formas sirven cuando no se conoce el punto de contacto. Una es plantear la recta con pendiente $m$ (por un punto dado) e imponer $\Delta=0$, como en la sección anterior. La otra, con derivada: si se pide la tangente con una pendiente dada, se resuelve $y'=m$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha…
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha distancia mínima.
Proyección del foco sobre las tangentes
La proyección ortogonal de un punto $Q$ sobre una recta $t$ es el punto $H$ de $t$ más cercano a $Q$. Es el pie de la perpendicular a $t$ trazada por $Q$.
Si $Q$ es fijo y $t$ cambia (por ejemplo, todas las tangentes de una parábola), los puntos $H$ forman un lugar geométrico. Para hallarlo se toma una tangente genérica, se proyecta y se ve qué relación cumplen las coordenadas de $H$.
Para eso necesitamos la tangente de pendiente $m\ne0$ a $y^2=2px$. Sustituimos $y=mx+n$: $m^2x^2+(2mn-2p)x+n^2=0$. Tangente significa $\Delta=0$: $(2mn-2p)^2-4m^2n^2=4p^2-8mnp=0$, y entonces $n=\dfrac{p}{2m}$. La tangente es $y=mx+\dfrac{p}{2m}$.
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes…
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes a la parábola es exactamente la recta tangente en el vértice.
Lugares geométricos que dan parábolas y circunferencias
A veces la parábola aparece sin decirlo. Un ejemplo clásico: los centros de las circunferencias que pasan por un punto $F$ y son tangentes a una recta $d$ forman una parábola de foco $F$ y directriz $d$.
¿Por qué? Si el centro es $C$, el radio es la distancia $d(C,F)$ (porque pasa por $F$) y también la distancia de $C$ a la recta (porque es tangente). Entonces $d(C,F)=d(C,d)$, que es la definición de la parábola.
También podés combinar la parábola con una circunferencia: una circunferencia queda determinada por tres puntos, y se plantea $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$.
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la…
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la cónica resultante y detalla sus elementos principales.
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical…
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical $x = 2$.
La propiedad reflectora
Volvemos al principio. ¿Por qué una antena parabólica concentra la señal en el foco?
Una demostración analítica: en $y^2=2px$ con $F\left(\tfrac p2,0\right)$, la tangente en $P(x_0,y_0)$ es $y_0y=p(x+x_0)$. Corta el eje $x$ ($y=0$) en $T(-x_0,0)$. Entonces $d(F,T)=\dfrac p2+x_0$, y por la definición de parábola $d(P,F)=d(P,d)=x_0+\dfrac p2$. Como $FT=FP$, el triángulo $FTP$ es isósceles y sus ángulos en $T$ y en $P$ son iguales. El ángulo en $T$ es el que forma la tangente con el eje, y por ser el rayo incidente paralelo al eje, es igual al ángulo entre la tangente y el rayo incidente. Entonces el ángulo entre la tangente y $PF$ es igual al ángulo entre la tangente y el rayo incidente: el rayo reflejado va por $F$.
Y así se cierra el gancho del principio. En una parábola, la distancia al foco es igual a la distancia a la directriz, y eso hace que la tangente forme ángulos iguales con el rayo paralelo y con la recta al foco. Por eso, un rayo paralelo se refleja pasando siempre por $F$.
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las…
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las medidas expresadas en centímetros), ¿a qué distancia del vértice debe colocarse la bombilla para que los rayos de luz se reflejen paralelos al eje de simetría?
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0,25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se…
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0,25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se encuentra el foco donde debe situarse el receptor de la señal.
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto…
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto $P(1, 2)$. Demuestra de forma analítica que la recta que contiene al rayo reflejado pasa exactamente por el foco de la parábola.