Lugares geométricos en el espacio
Dos balizas de sonar están en el fondo del Río de la Plata y un submarino recibe la misma señal de las dos. ¿Dónde puede estar? ¿Y dónde están los puntos que quedan siempre a 3 unidades de un eje? Un lugar geométrico es una condición de distancia escrita con un punto genérico $X(x, y, z)$. Al desarrollarla aparece la ecuación de una superficie que ya conocés: un plano, una esfera, un cilindro.
El plano mediador: equidistar de dos puntos
La idea es sencilla: se escribe que las dos distancias son iguales y se eleva todo al cuadrado para sacar las raíces. Los términos $x^2$, $y^2$ y $z^2$ aparecen a ambos lados y se cancelan, por eso queda una ecuación lineal, o sea un plano.
Dados los puntos $A(2, -1, 3)$ y $B(4, 3, -1)$: a) Plantea la condición $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para un punto genérico $X(x, y, z)$. b) Simplifica la…
Dados los puntos $A(2, -1, 3)$ y $B(4, 3, -1)$:
- a) Plantea la condición $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para un punto genérico $X(x, y, z)$.
- b) Simplifica la ecuación resultante hasta obtener la ecuación del plano mediador del segmento $AB$.
- c) Comprueba que el punto medio de $AB$ pertenece a ese plano.
Dos balizas de sonar están instaladas en el fondo de un puerto, en los puntos $A(0, 0, 0)$ y $B(6, 2, 4)$ (coordenadas en hectómetros). Un submarino recibe la señal de…
Dos balizas de sonar están instaladas en el fondo de un puerto, en los puntos $A(0, 0, 0)$ y $B(6, 2, 4)$ (coordenadas en hectómetros). Un submarino recibe la señal de ambas con la misma intensidad, lo que significa que equidista de las dos balizas, como sugiere la figura.
- a) Plantea la condición $\text{dist}(X, A) = \text{dist}(X, B)$ para un punto genérico $X(x, y, z)$ y demuestra que el lugar geométrico de las posiciones del submarino es un plano, hallando su ecuación.
- b) Un submarino se encuentra en el punto $P(4, 2, 1)$. ¿Recibe las dos señales con la misma intensidad? ¿De qué baliza está más cerca?
- c) Interpreta el plano obtenido como «frontera de cobertura» entre las dos balizas.
Tres sensores sísmicos están colocados en los puntos $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ y $C(0, 2, 0)$. Se busca instalar una antena que equidiste de los tres. a) Halla el plano…
Tres sensores sísmicos están colocados en los puntos $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ y $C(0, 2, 0)$. Se busca instalar una antena que equidiste de los tres.
- a) Halla el plano mediador del segmento $AB$.
- b) Halla el plano mediador del segmento $AC$.
- c) Deduce que el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$, $B$ y $C$ es una recta, y da sus ecuaciones paramétricas. ¿Cómo es esa recta respecto al plano que contiene a los tres sensores?
La esfera: distancia fija a un punto
Una esfera también aparece con una condición de perpendicularidad. Si $X$ forma un ángulo recto con dos puntos fijos $A$ y $B$, entonces $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB} = 0$. Al desarrollar el producto escalar y completar cuadrados aparece una esfera. La figura muestra una sección plana de esa esfera: la circunferencia de diámetro $AB$ que pasa por un punto $X$ cualquiera, con el centro $M$ (punto medio de $AB$).
a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que distan $5$ unidades del punto $C(1, -2, 0)$. b) ¿Qué superficie es? Indica su centro y su radio.…
- a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que distan $5$ unidades del punto $C(1, -2, 0)$.
- b) ¿Qué superficie es? Indica su centro y su radio.
- c) Decide, sin dibujar, si el punto $P(4, 2, 0)$ pertenece a esa superficie.
Dados los puntos $A(1, 0, 2)$ y $B(3, 4, -2)$, se busca el lugar geométrico de los puntos $X$ del espacio tales que el triángulo $ABX$ es rectángulo en $X$, es decir,…
Dados los puntos $A(1, 0, 2)$ y $B(3, 4, -2)$, se busca el lugar geométrico de los puntos $X$ del espacio tales que el triángulo $ABX$ es rectángulo en $X$, es decir, los segmentos $AX$ y $BX$ son perpendiculares, como se ilustra en la figura.
- a) Expresa la condición de perpendicularidad mediante el producto escalar $\vv{XA} \cdot \vv{XB} = 0$.
- b) Desarrolla la condición hasta obtener una ecuación en $x$, $y$, $z$ y reescríbela completando cuadrados.
- c) Identifica la superficie obtenida: ¿qué relación tiene su centro y su radio con el segmento $AB$? (Es la versión espacial del teorema de Tales.)
Planos bisectores: equidistar de dos planos
Recordá que la distancia de un punto $X(x, y, z)$ al plano $\pi: ax + by + cz + d = 0$ es
$$\text{dist}(X, \pi) = \frac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$La figura vista de canto, perpendicular a la recta donde se cortan los planos, muestra los dos planos secantes como rectas y sus dos planos bisectores, que dividen los cuatro ángulos y forman $90^\circ$ entre sí.
Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos $\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0$ y $\pi': x + 2y - 2z + 1 = 0$. a) Plantea la condición…
Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos $\pi: 2x - y + 2z - 3 = 0$ y $\pi': x + 2y - 2z + 1 = 0$.
- a) Plantea la condición $\text{dist}(X, \pi) = \text{dist}(X, \pi')$ usando la fórmula de la distancia punto-plano.
- b) Resuelve la ecuación con valor absoluto distinguiendo los dos casos posibles y da las ecuaciones de los planos resultantes (planos bisectores).
- c) Comprueba que los dos planos obtenidos son perpendiculares entre sí.
El cilindro: distancia fija a un eje
Para el eje $OX$ la distancia es $\sqrt{y^2 + z^2}$, y para el eje $OY$ es $\sqrt{x^2 + z^2}$. En cada caso queda fuera la coordenada del eje.
a) Justifica que la distancia de un punto genérico $X(x, y, z)$ al eje $OZ$ es $\sqrt{x^2 + y^2}$. b) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que distan $3$…
- a) Justifica que la distancia de un punto genérico $X(x, y, z)$ al eje $OZ$ es $\sqrt{x^2 + y^2}$.
- b) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que distan $3$ unidades del eje $OZ$ e identifica la superficie que se obtiene.
- c) ¿Qué figura forma la intersección de esa superficie con el plano $z = 2$? ¿Y con el plano $y = 0$?
Indica si las siguientes afirmaciones sobre lugares geométricos en el espacio son verdaderas o falsas, justificando cada respuesta: a) «El lugar geométrico de los puntos…
Indica si las siguientes afirmaciones sobre lugares geométricos en el espacio son verdaderas o falsas, justificando cada respuesta:
- a) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos planos paralelos distintos es un único plano, paralelo a ambos y situado a igual distancia de cada uno.»
- b) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos planos secantes es un único plano.»
- c) «El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres ejes de coordenadas es una única recta.»
Volvé al principio: los puntos que reciben la misma señal de dos balizas forman el plano mediador del segmento que las une, y los que distan $3$ unidades del eje $OZ$ forman el cilindro $x^2 + y^2 = 9$.