Rango de una matriz
Una panadería tiene tres sucursales y anota en una tabla las ventas diarias de cada una (bizcochos, facturas, pan). Valentina nota que la tabla de la sucursal del Cerro es exactamente el doble de la del Centro: esa fila no aporta información nueva. ¿Cuántas filas de la tabla aportan datos realmente distintos? Eso es lo que mide el rango de una matriz, y para calcularlo vas a necesitar manejar bien los determinantes.
Determinantes de orden 2 y 3
Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Para orden 2:
Para orden 3 se usa la regla de Sarrus: se suman los tres productos «en diagonal descendente» y se restan los tres «en diagonal ascendente».
Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz $A$ de orden 2. Este valor representa el factor de escala de una transformación geométrica en el plano: $$A =…
Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz $A$ de orden 2. Este valor representa el factor de escala de una transformación geométrica en el plano:
$$A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$Dada la matriz $M$, calcula el valor del parámetro real $x$ para que su determinante sea igual a $10$: $$M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Dada la matriz $M$, calcula el valor del parámetro real $x$ para que su determinante sea igual a $10$:
$$M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$Halla el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$
Halla el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$Adjuntos y matrices triangulares
El signo $(-1)^{i+j}$ sigue un tablero de ajedrez: $+$ en la posición (1,1), y se alterna al moverte una casilla.
Una matriz es triangular si todos los elementos por debajo (o por encima) de la diagonal principal son $0$. Su determinante es simplemente el producto de la diagonal.
En la matriz $C$, identifica el elemento $a_{23}$ y calcula su adjunto (cofactor) $A_{23}$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
En la matriz $C$, identifica el elemento $a_{23}$ y calcula su adjunto (cofactor) $A_{23}$:
$$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$Calcula de forma rápida el determinante de la siguiente matriz triangular superior razonando tu respuesta: $$T = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 9 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 5…
Calcula de forma rápida el determinante de la siguiente matriz triangular superior razonando tu respuesta:
$$T = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 9 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$Qué mide el rango
Si una fila es múltiplo de otra, o combinación de otras, no aporta una dirección nueva: «sobra» a efectos del rango.
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ a) Indica cuál…
Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero:
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$- a) Indica cuál es el mayor orden posible de un menor de $B$ y cuántos menores de ese orden se pueden formar.
- b) Calcula uno de esos menores y comprueba si es distinto de cero.
- c) Escribe el rango de $B$ y justifica tu respuesta.
El rango con menores
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Menores orlados
Probar todos los menores sería larguísimo. El método de los menores orlados ordena la búsqueda: se parte de un menor no nulo y se lo orla, es decir, se le agrega una fila y una columna. Si alguna orla da distinto de cero, el rango sube; si todas las orlas dan cero, el rango queda donde estaba.
Determina el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$: $B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$…
Determina el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$:
$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$
Recuerda que para una matriz de dimensiones $3 \times 4$, el rango máximo posible es $3$.
Propiedades de los determinantes
Estas propiedades permiten calcular determinantes sin desarrollar. Sean $A$ y $B$ cuadradas de orden $n$ y $k$ un número:
Si sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es $|A| = 5$, ¿cuál será el valor del determinante de la matriz $2A$? Aplica las propiedades de los…
Si sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es $|A| = 5$, ¿cuál será el valor del determinante de la matriz $2A$? Aplica las propiedades de los determinantes para justificar tu respuesta.
Sabiendo que el valor del determinante de la matriz $3 \times 3$ formada por los vectores columna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ y $\vec{c_3}$ es igual a $5$, es decir,…
Sabiendo que el valor del determinante de la matriz $3 \times 3$ formada por los vectores columna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ y $\vec{c_3}$ es igual a $5$, es decir, $|\vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3}| = 5$, calcula sin desarrollar el valor de:
$|\vec{c_1} + \vec{c_3}, \quad 2\vec{c_2}, \quad \vec{c_1} - \vec{c_3}|$
Justifica cada paso mencionando la propiedad de los determinantes que has aplicado.
Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = 4$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de los…
Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = 4$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de los siguientes determinantes:
- a) $|A^t \cdot A^{-1}|$
- b) $|2 \cdot A \cdot A^t|$
- c) El determinante de la matriz resultante de intercambiar las dos primeras filas de $A$ y multiplicar la tercera columna por $-3$.
Rango, determinante y productos
Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$. a) ¿Cuál es el valor del determinante del…
Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$.
- a) ¿Cuál es el valor del determinante del producto $|A \cdot B|$? Razona la respuesta.
- b) ¿Es posible que el rango de la matriz producto $A \cdot B$ sea $3$? Explica por qué basándote en la relación entre el determinante y el rango.
Considere la matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyas columnas son $C_1, C_2, C_3$. Se sabe que $|A| = 5$. Calcula el valor del determinante de la matriz $M$ cuyas columnas…
Considere la matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyas columnas son $C_1, C_2, C_3$. Se sabe que $|A| = 5$. Calcula el valor del determinante de la matriz $M$ cuyas columnas son:
$$M = (C_1 + C_2, \quad C_2 + C_3, \quad C_3 + C_1)$$Si sustituimos la tercera columna de $M$ por el vector nulo, ¿cuál sería el rango de la nueva matriz? Justifica tu respuesta sin realizar cálculos numéricos detallados.
Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n=4$ tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula el…
Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n=4$ tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula el valor del determinante de la matriz $B$, definida como:
$$B = (2 \cdot A^t \cdot Adj(A))^{-1}$$donde $A^t$ es la traspuesta de $A$ y $Adj(A)$ es su matriz adjunta. Razona cada paso de tu cálculo indicando la propiedad aplicada.
Hacer ceros en determinantes de orden 4
Para orden mayor que 3, Sarrus no sirve. El método es: hacer ceros en una fila o columna usando la propiedad «sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante», y luego desarrollar por esa fila o columna con adjuntos.
Calcula el valor del siguiente determinante de orden $4$ utilizando el método de Gauss para hacer ceros en una fila o columna antes de desarrollar por adjuntos:…
Calcula el valor del siguiente determinante de orden $4$ utilizando el método de Gauss para hacer ceros en una fila o columna antes de desarrollar por adjuntos:
$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$
Calcula, sin desarrollar directamente por la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante de orden 4, aplicando transformaciones elementales para hacer ceros y…
Calcula, sin desarrollar directamente por la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante de orden 4, aplicando transformaciones elementales para hacer ceros y simplificar el cálculo:
$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix}$$¿Qué condición deben cumplir $a, b$ y $c$ para que el rango de la matriz asociada sea exactamente 2?
En un sistema de telecomunicaciones, la señal se pierde si el determinante de la matriz de transmisión se anula. La matriz de transmisión viene dada por: $$T =…
En un sistema de telecomunicaciones, la señal se pierde si el determinante de la matriz de transmisión se anula. La matriz de transmisión viene dada por:
$$T = \begin{pmatrix} 1 & m & m^2 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \end{pmatrix}$$- a) Sabiendo que $|T|$ es un determinante de Vandermonde, exprésalo como un producto de factores lineales.
- b) Si fijamos $a=2$ y $b=5$, discute el rango de $T$ según los valores que pueda tomar el parámetro $m$. ¿Para qué valores de $m$ el rango es mínimo y cuál es ese rango mínimo?
Ecuaciones con determinantes
Si la incógnita está dentro de la matriz, se desarrolla el determinante, que queda como un polinomio en la incógnita, y se resuelve. Al igualar a $0$ factorizá en lugar de dividir: así no se pierden soluciones.
Una situación frecuente: hallar los valores de $\lambda$ para los cuales $B=A-\lambda I$ tiene rango menor que 3. Es lo mismo que pedir $|A-\lambda I|=0$.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado expresada en forma de determinante: $\begin{vmatrix} x & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ Obtén las…
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado expresada en forma de determinante:
$\begin{vmatrix} x & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
Obtén las soluciones exactas (pueden contener raíces).
En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:…
En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$
- a) Halla los valores del parámetro real $m$ para los cuales la matriz $M$ no posee inversa.
- b) Para el valor $m = 2$, calcula el valor del determinante de la matriz inversa, $|M^{-1}|$.
Dada la matriz cuadrada de orden 3: $$A = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 1. Demuestra que $|A|$ es…
Dada la matriz cuadrada de orden 3:
$$A = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$-
Demuestra que $|A|$ es independiente del valor de la variable $x$.
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Si definimos una nueva matriz $B = A - \lambda I$ (donde $I$ es la identidad), encuentra los valores de $\lambda$ para los cuales el rango de $B$ es menor que 3 cuando $x = \frac{\pi}{4}$.
Rango según un parámetro
Cuando la matriz cuadrada depende de una letra $k$, la estrategia es siempre la misma:
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Calcular el determinante (de orden máximo) en función de $k$ y factorizarlo.
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Para los valores de $k$ que no son raíces, el rango es máximo.
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Para cada raíz, sustituir en la matriz y buscar menores más chicos.
Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:…
Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:
$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$
Determina para qué valores de $k$ el rango es $1$, $2$ o $3$.
Estudia la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b &…
Estudia la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b & 1 \end{pmatrix}$$Determina para qué valores de $(a, b)$ el rango de $A$ es igual a 1. Describe geométricamente qué relación guardan los vectores fila cuando esto ocurre.
Dada la matriz: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}$$ 1. Halla los valores de $\alpha$ para los cuales la matriz no…
Dada la matriz:
$$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{pmatrix}$$-
Halla los valores de $\alpha$ para los cuales la matriz no tiene inversa.
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Para los valores hallados en el apartado anterior, calcula el rango de la matriz $A^2$.
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¿Es posible encontrar un valor de $\alpha$ tal que $rg(A) \neq rg(A^2)$? Argumenta tu respuesta basándote en las propiedades del rango y los determinantes.
Matrices rectangulares con parámetro
Si la matriz no es cuadrada no hay determinante total: se estudian los menores de orden máximo (los de $3\times3$ en una matriz de $3\times4$). Si alguno es distinto de cero, el rango es 3; si todos se anulan, se baja de orden.
Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan…
Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan la estabilidad del sistema. La matriz que representa dichas fuerzas es:
$$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k & k \end{pmatrix}$$Se pide:
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Determina el rango de la matriz $M$ en función del parámetro real $k$.
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¿Existe algún valor de $k$ para el cual las fuerzas sean linealmente dependientes pero el rango de la matriz sea máximo? Explica tu respuesta basándote en la teoría de menores.
Volvé al principio: en la tabla de ventas de la panadería, la fila del Cerro era el doble de la del Centro. Con una matriz de $3\times3$ como esa, el determinante da $0$, el rango baja y esa sucursal no aporta datos independientes.