Circunferencia
La antena de Antel de tu barrio llega hasta cierta distancia y ni un metro más. El barrido de un radar, la rotonda de la Rambla, la onda de una gota en un estanque: todo se dibuja con la curva más sencilla de las cónicas. Ahora le ponemos ecuación y la usamos para resolver problemas con rectas y con otras circunferencias. Al final vas a poder decidir si una antena en el punto $(2,-3)$ alcanza a una casa.
La ecuación canónica
Planteamos siempre con un punto genérico $P(x,y)$: la ecuación es la condición que cumplen todos sus puntos y solo ellos.
Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el área de cobertura de una antena wifi, sabiendo que la antena está situada en el punto $(2, -3)$ de un plano…
Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el área de cobertura de una antena wifi, sabiendo que la antena está situada en el punto $(2, -3)$ de un plano cartesiano (medido en kilómetros) y tiene un alcance máximo de $5$ km.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la zona circular regada por un aspersor agrícola cuya frontera viene dada por la ecuación…
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la zona circular regada por un aspersor agrícola cuya frontera viene dada por la ecuación $(x-4)^2+(y+1)^2=36$.
Halla la ecuación de la circunferencia que representa el barrido de un radar de un barco. Se sabe que el radar está posicionado en las coordenadas $(-1, 4)$ y que en el…
Halla la ecuación de la circunferencia que representa el barrido de un radar de un barco. Se sabe que el radar está posicionado en las coordenadas $(-1, 4)$ y que en el extremo exacto de su pantalla detecta una boya situada en el punto $(2, 0)$.
Cuándo está un punto dentro, fuera o sobre
Comparamos $d(P,C)$ con $r$: si es menor, $P$ está dentro; si es igual, sobre la circunferencia; si es mayor, fuera. Equivale a comparar $(x_P-a)^2+(y_P-b)^2$ con $r^2$, sin raíces.
Un sismógrafo detecta que el epicentro de un terremoto se sitúa en el origen de coordenadas y que la onda sísmica ha alcanzado un radio exacto de $10$ km. Comprueba…
Un sismógrafo detecta que el epicentro de un terremoto se sitúa en el origen de coordenadas y que la onda sísmica ha alcanzado un radio exacto de $10$ km. Comprueba analíticamente si una estación meteorológica situada en el punto $(6, -8)$ ha sentido el sismo o si se encuentra en el límite exacto de la onda.
Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el chasis de un robot aspirador de $15$ cm de radio cuando se encuentra encajado exactamente en la esquina de una…
Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el chasis de un robot aspirador de $15$ cm de radio cuando se encuentra encajado exactamente en la esquina de una habitación. Considera que las paredes coinciden con los semiejes positivos de coordenadas (cuadrante I) y el robot es tangente a ambas paredes.
Circunferencia por diámetro o por tres puntos
A veces los datos no son el centro y el radio. Hay tres situaciones frecuentes.
Extremos de un diámetro: el centro es el punto medio y el radio, la distancia del centro a un extremo.
Tres puntos: se sustituyen en la forma general $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ y queda un sistema de tres ecuaciones con $D$, $E$, $F$.
Centro sobre una recta: el centro $(a,b)$ cumple la ecuación de la recta, y además su distancia a cada punto dado es la misma (el radio).
Escribe la ecuación de la circunferencia que delimita una rotonda, sabiendo que los extremos de uno de sus diámetros (donde se sitúan dos pasos de cebra opuestos)…
Escribe la ecuación de la circunferencia que delimita una rotonda, sabiendo que los extremos de uno de sus diámetros (donde se sitúan dos pasos de cebra opuestos) corresponden a los puntos $(1, 2)$ y $(7, -6)$.
Halla la ecuación de la circunferencia que reconstruye el borde de una antigua vasija de cerámica encontrada en una excavación arqueológica. Los restauradores han medido…
Halla la ecuación de la circunferencia que reconstruye el borde de una antigua vasija de cerámica encontrada en una excavación arqueológica. Los restauradores han medido tres puntos intactos del borde, que en un sistema de ejes coordenados corresponden a $(0, 0)$, $(4, 0)$ y $(0, 3)$.
Calcula la ecuación de la circunferencia que perfila la estructura principal de una noria de feria. Se sabe que el eje central de rotación descansa sobre un pilar…
Calcula la ecuación de la circunferencia que perfila la estructura principal de una noria de feria. Se sabe que el eje central de rotación descansa sobre un pilar inclinado representado por la recta $x+y-4=0$ y que las cabinas pasan por las plataformas de embarque situadas en los puntos $(2, 0)$ y $(0, 2)$.
La ecuación general
Si desarrollamos la canónica:
Por qué: al desarrollar los cuadrados (identidades notables) queda $x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0$, y se compara término a término.
Para ir en sentido contrario hay dos caminos. Uno es usar las fórmulas: centro $C\left(-\frac D2,-\frac E2\right)$ y $r^2=\left(\frac D2\right)^2+\left(\frac E2\right)^2-F$. El otro, que conviene dominar, es completar cuadrados.
Hallá el centro y el radio de la circunferencia que describe el borde exterior de un engranaje en un plano de diseño asistido por computadora, cuya ecuación general es…
Hallá el centro y el radio de la circunferencia que describe el borde exterior de un engranaje en un plano de diseño asistido por computadora, cuya ecuación general es $x^2+y^2-6x+8y=0$.
Determina si la ecuación $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ representa matemáticamente una circunferencia válida en el motor físico de un videojuego. Justifica tu respuesta…
Determina si la ecuación $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ representa matemáticamente una circunferencia válida en el motor físico de un videojuego. Justifica tu respuesta calculando su centro y el valor de su radio al cuadrado.
Determina la ecuación de la circunferencia que define el carril exterior de una pista de atletismo, sabiendo que es concéntrica a la circunferencia del carril interior…
Determina la ecuación de la circunferencia que define el carril exterior de una pista de atletismo, sabiendo que es concéntrica a la circunferencia del carril interior $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ y que pasa por la posición de salida situada en $(1, 1)$.
Recta y circunferencia
Una recta puede ser secante (dos puntos en común), tangente (uno) o exterior (ninguno). La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Método 1 (sistema): sustituimos la recta en la circunferencia y miramos el discriminante $\Delta$ de la ecuación de segundo grado: $\Delta>0$ secante, $\Delta=0$ tangente, $\Delta<0$ exterior.
Método 2 (distancia): comparamos la distancia del centro a la recta con $r$: menor, secante; igual, tangente; mayor, exterior.
Por qué: el numerador mide cuánto «se aleja» $P_0$ de cumplir la ecuación de la recta, y el denominador es el módulo del vector $(A,B)$, perpendicular a la recta, que pasa ese valor a unidades de longitud. Antes de usarla, la recta tiene que estar escrita en forma general, con todo en un miembro.
También sirve para cuerdas: la recta $y=6$ corta a $x^2+y^2=100$ en $x^2=64$, o sea $x=\pm8$. La cuerda mide $16$.
Con GeoGebra: dibujá la circunferencia y la recta (escribiendo sus ecuaciones en la barra de entrada) y usá la herramienta Intersección para ver los puntos en común. Para las tangentes, la herramienta Tangentes con un punto y la circunferencia las traza. Moviendo $k$ en $y=2x+k$ con un deslizador se ve el instante exacto de tangencia. Comparalo siempre con tu cálculo.
Estudia analíticamente la posición relativa entre la órbita de un satélite artificial, modelizada por la circunferencia $x^2+y^2=4$, y la trayectoria rectilínea de un…
Estudia analíticamente la posición relativa entre la órbita de un satélite artificial, modelizada por la circunferencia $x^2+y^2=4$, y la trayectoria rectilínea de un asteroide dada por la ecuación $y=x+2$. Determina los puntos de intersección en caso de que existan.
Calcula la ecuación de la recta tangente a la trayectoria circular trazada por un lanzador de martillo en el momento exacto en que suelta el cable. La trayectoria del…
Calcula la ecuación de la recta tangente a la trayectoria circular trazada por un lanzador de martillo en el momento exacto en que suelta el cable. La trayectoria del martillo viene dada por la circunferencia $x^2+y^2=25$ y el atleta suelta el cable cuando la bola pasa por el punto $(3, 4)$.
Escribe la ecuación de la circunferencia que representa una polea cuyo eje de rotación está fijado en el punto $(3, -2)$ y que está en contacto tangencial con una correa…
Escribe la ecuación de la circunferencia que representa una polea cuyo eje de rotación está fijado en el punto $(3, -2)$ y que está en contacto tangencial con una correa de transmisión cuya línea de acción es la recta $4x-3y+2=0$.
Calcula la longitud de la superficie libre del agua dentro de una tubería circular de ecuación $x^2+y^2=100$. Se sabe que el nivel del agua se ha estabilizado formando…
Calcula la longitud de la superficie libre del agua dentro de una tubería circular de ecuación $x^2+y^2=100$. Se sabe que el nivel del agua se ha estabilizado formando una cuerda horizontal sobre la recta $y=6$.
Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes trazadas desde un faro situado en el punto $(0, 4)$ hacia un depósito cilíndrico de combustible cuya base ocupa la…
Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes trazadas desde un faro situado en el punto $(0, 4)$ hacia un depósito cilíndrico de combustible cuya base ocupa la región delimitada por la circunferencia $x^2+y^2=4$. Estas rectas representan los límites de las sombras proyectadas en el suelo.
El diseño de un nudo viario exige trazar dos carreteras rectas que sean tangentes a una plaza circular central cuya ecuación es $x^2+y^2-6x+8y=0$. Además, por motivos de…
El diseño de un nudo viario exige trazar dos carreteras rectas que sean tangentes a una plaza circular central cuya ecuación es $x^2+y^2-6x+8y=0$. Además, por motivos de planificación urbana, estas carreteras deben ser paralelas a una avenida principal de ecuación $3x-4y=0$. Encuentra las ecuaciones de ambas carreteras tangentes.
Un dron realiza una maniobra evasiva siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la familia de rectas $y=2x+k$. El espacio aéreo restringido alrededor de un radar se…
Un dron realiza una maniobra evasiva siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la familia de rectas $y=2x+k$. El espacio aéreo restringido alrededor de un radar se define mediante la circunferencia $x^2+y^2=5$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dron roza el espacio restringido sin llegar a penetrar en él (es decir, la recta es tangente a la circunferencia).
Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al parque triangular delimitado por las avenidas cuyas ecuaciones son $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$.
Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al parque triangular delimitado por las avenidas cuyas ecuaciones son $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$.
Dos circunferencias
Sean $C_1$ y $C_2$ de radios $r_1\ge r_2$ y distancia entre centros $d$:
| Condición | Posición |
|---|---|
| $d>r_1+r_2$ | exteriores |
| $d=r_1+r_2$ | tangentes exteriores |
$r1-r2| secantes (dos puntos) |
|
| $d=r_1-r_2$ | tangentes interiores |
$d| una dentro de la otra |
|
Puntos de intersección. Se resuelve el sistema de ambas ecuaciones. Si se restan las ecuaciones generales (con $x^2+y^2$ con coeficiente $1$), desaparecen $x^2$ e $y^2$ y queda una recta. Esa recta pasa por los puntos comunes (si los hay) y se llama eje radical. Se sustituye en una de las circunferencias.
Halla la ecuación del eje radical de las dos circunferencias que modelizan el área de influencia de dos antenas de radio: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ y $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.
Halla la ecuación del eje radical de las dos circunferencias que modelizan el área de influencia de dos antenas de radio: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ y $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.
Estudia la posición relativa entre las frentes de onda generados por dos gotas al caer en un estanque, modelizados por las circunferencias $C_1: x^2+y^2=9$ y…
Estudia la posición relativa entre las frentes de onda generados por dos gotas al caer en un estanque, modelizados por las circunferencias $C_1: x^2+y^2=9$ y $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.
El sistema GPS de un celular recibe señales de dos torres de telecomunicaciones. La primera torre está en el origen de coordenadas y estima que el celular está a $5$ km…
El sistema GPS de un celular recibe señales de dos torres de telecomunicaciones. La primera torre está en el origen de coordenadas y estima que el celular está a $5$ km de distancia. La segunda torre está en el punto $(5, 0)$ y estima que el celular está a $4$ km de distancia. Hallá las coordenadas exactas de los dos posibles puntos donde podría encontrarse el celular calculando la intersección de ambas circunferencias.
Lugares geométricos que son circunferencias
Con $P(x,y)$ genérico, a veces una condición sobre distancias da una circunferencia sin que se vea a simple vista. Se plantea la condición, se desarrolla y se completan cuadrados.
Demostración con $A(0,0)$ y $B(c,0)$, $c>0$. La condición $PA=k\cdot PB$ da, al elevar al cuadrado, $x^2+y^2=k^2\left[(x-c)^2+y^2\right]$.
Agrupando: $(k^2-1)(x^2+y^2)-2k^2c\,x+k^2c^2=0$. Como $k^2-1\neq0$, dividimos y queda $x^2+y^2-\dfrac{2k^2c}{k^2-1}x+\dfrac{k^2c^2}{k^2-1}=0$.
Completando cuadrados: $\left(x-\dfrac{k^2c}{k^2-1}\right)^2+y^2=\dfrac{k^4c^2}{(k^2-1)^2}-\dfrac{k^2c^2}{k^2-1}=\dfrac{k^2c^2}{(k^2-1)^2}$.
El segundo miembro es positivo: es una circunferencia de centro $\left(\dfrac{k^2c}{k^2-1},0\right)$ y radio $\dfrac{kc}{|k^2-1|}$.
En un experimento de acústica, se busca el lugar geométrico de todos los puntos del plano donde el sonido emitido por un altavoz situado en $A(6, 0)$ se percibe con la…
En un experimento de acústica, se busca el lugar geométrico de todos los puntos del plano donde el sonido emitido por un altavoz situado en $A(6, 0)$ se percibe con la cuarta parte de la intensidad que el sonido emitido por otro altavoz idéntico en el origen $O(0, 0)$. Esto equivale a hallar los puntos $P(x, y)$ cuya distancia al punto $A$ es el doble que su distancia al punto $O$. Demuestra que este lugar geométrico es una circunferencia y halla su centro y su radio.
En un problema de optimización de redes, se requiere encontrar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos…
En un problema de optimización de redes, se requiere encontrar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos servidores fijos situados en $(-2, 0)$ y $(2, 0)$ sea exactamente igual a $20$. Demuestra analíticamente que la figura resultante es una circunferencia y obtén su ecuación.