Límite de una función en un punto

Para estudiar el comportamiento de la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ cerca del valor $x = 3$ (donde la función no está definida), completa la siguiente tabla de valores utilizando tu calculadora:

$x$	$2,9$	$2,99$	$2,999$	$3,001$	$3,01$	$3,1$
$f(x)$

A la vista de los resultados, ¿cuál parece ser el valor del límite $\lim_{x \to 3} f(x)$?

Observa la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación y determina, de forma intuitiva, el valor de los siguientes límites laterales en el punto de ruptura $x = 2$:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) ¿Existe el límite global $\lim_{x \to 2} f(x)$? Justifica tu respuesta basándote en los resultados anteriores.

Calcula los siguientes límites inmediatos realizando la sustitución directa en la expresión de la función:

1. a) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 3x^2 + 5x - 2)$
2. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 4}{x + 1}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \sqrt{2x + 9}$

Determina el valor de los siguientes límites de funciones trigonométricas y logarítmicas sencillas mediante sustitución directa (asegúrate de que el punto pertenezca al dominio):

1. a) $\lim_{x \to \pi} (\cos x + \text{sen } x)$
2. b) $\lim_{x \to e} (\ln x + 2x)$
3. c) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{2}$

Se considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + k & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

Calcula el valor que debe tomar la constante $k$ para que exista el límite global de la función en el punto $x = 1$. Pista: Los límites laterales deben coincidir.

Dada la siguiente función definida a trozos, determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que exista el límite de la función en el punto crítico $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - k}{x - 2} & \text{si } x < 1 \\ 2x^2 - kx & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Justifica tu respuesta comprobando la igualdad de los límites laterales.

Analiza la siguiente gráfica de la función $h(x)$ y determina, de forma visual, el valor de los siguientes límites y de la función en el punto:

1. a) $\lim_{x \to -2^-} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to -2^+} h(x)$
3. c) $h(-2)$
4. d) $\lim_{x \to 3} h(x)$

Calculá el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación mediante la factorización de los polinomios involucrados:

$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2 - 4x + 4}$

Para resolverlo, recordá que si al sustituir el valor de la variable el resultado es $\frac{0}{0}$, ambos polinomios comparten al menos una raíz común. Utilizá la regla de Ruffini o los productos notables para simplificar la expresión.

Calcula el límite de la siguiente función irracional en el punto $x = 5$. En caso de encontrar una indeterminación, utiliza la técnica de multiplicar por la expresión conjugada:

$\lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x - 1} - 2}{x^2 - 25}$

Un laboratorio de biotecnología ha modelado la concentración de una enzima en una reacción química mediante la función $C(t)$, donde $t$ es el tiempo en minutos:

$C(t) = \dfrac{t^2 - 9}{2t^2 - 5t - 3}$

Los científicos están interesados en conocer el valor de la concentración cuando el tiempo se aproxima a los $3$ minutos, momento en el que se produce un cambio de fase. Calcula:

$\lim_{t \to 3} C(t)$

Calcula el límite de la función $f(x)$ cuando $x$ tiende a $1$:

$$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$$

En un laboratorio de acústica, se estudia la frecuencia de una onda sonora que atraviesa un filtro especial. La respuesta del filtro viene dada por:

$$F(x) = \frac{x^2 - k^2}{\sqrt{x^2 + 7} - \sqrt{k^2 + 7}}$$

donde $k$ es una constante característica del material. Calcula el límite de la función $F(x)$ cuando la variable $x$ tiende a $k$. ¿Depende el resultado final del valor específico de la constante $k$? Justifica tu respuesta.

En el diseño de una rampa para un parque de skate, los ingenieros han modelado la curvatura de una sección crítica mediante la función:

$f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{\sqrt{x^2 + 5} - 3}$

Se sabe que para que la rampa sea segura y transitable, la función debe tener un límite finito cuando el valor de la posición horizontal $x$ se aproxima a $2$. Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que, además, la rampa pasa por el origen de coordenadas $(0,0)$. Una vez hallados, calcula el valor de dicho límite.

Halla el valor de los coeficientes $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad, sabiendo que el límite es finito y que además $a + b = 5$:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{ax^2 + bx}{\sqrt{x + 4} - 2} = 8$

Calcula los límites laterales de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - |x - 2| - 4}{x - 2}$ cuando $x$ tiende a $2$. ¿Existe el límite global en dicho punto?

Nota: Recuerda reescribir la función eliminando el valor absoluto dependiendo del intervalo de aproximación.

Considera la función $h(x)$ que representa la presión de aire dentro de una cámara experimental:

$$h(x) = \frac{|x-1|}{x^2 + x - 2}$$

Analiza la existencia del límite en el punto $x = 1$. Para ello, calcula los límites laterales y justifica si la función es convergente en dicho punto. Representa gráficamente el comportamiento de la función en las proximidades de $x = 1$, indicando en tu dibujo los valores a los que se aproxima $h(x)$ cuando $x \to 1^-$ y cuando $x \to 1^+$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Halla el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que se verifique la siguiente igualdad de límites:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 9} = \frac{5}{6}$$

Utiliza la factorización de polinomios para resolver la indeterminación generada.

Calcula el valor del siguiente límite aplicando identidades trigonométricas o el uso de infinitésimos equivalentes:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x \cdot \tan(2x)}$$

Explica razonadamente si la función presenta una discontinuidad evitable en $x = 0$ basándote en el resultado obtenido.

Dada la función definida a trozos mediante parámetros reales $k$ y $m$:

$$g(x) = \begin{cases} \frac{e^{kx} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ m \cdot \cos(x) + 2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Halla la relación que debe existir entre $k$ y $m$ para que exista el límite de la función en $x = 0$. ¿Qué valores deberían tomar estos parámetros para que dicho límite fuera exactamente $5$?

Un satélite de comunicaciones está ajustando su órbita. La intensidad de la señal $S$ en una estación receptora depende de un factor de interferencia $x$ según la expresión:

$$S(x) = \left( \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 4} \right)^{\frac{1}{x-2}}$$

Debido a un fallo en el software de procesamiento, la señal se interrumpe justo cuando la interferencia alcanza el valor crítico $x = 2$. Determina hacia qué valor tiende la intensidad de la señal cuando nos acercamos a dicho punto crítico.

Un sensor de temperatura en una reacción química registra los datos según la función $T(t) = \frac{3t + 6}{t + 2}$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ es el tiempo en minutos.

1. a) Intenta calcular la temperatura en el instante exacto $t = -2$ minutos. ¿Qué observas?
2. b) Calcula el valor del límite $\lim_{t \to -2} T(t)$ simplificando previamente la expresión de la función. ¿Qué significa este resultado respecto a la continuidad de la temperatura en ese punto?

Dada la función racional $g(x) = \frac{x + 2}{x - 4}$, queremos analizar qué sucede cuando la variable $x$ se aproxima a $4$.

1. a) Calcula los límites laterales $\lim_{x \to 4^-} g(x)$ y $\lim_{x \to 4^+} g(x)$.

1. b) ¿Qué tipo de comportamiento presenta la gráfica de la función en las proximidades de $x = 4$? Ayúdate del siguiente esquema de la gráfica para visualizar la tendencia y justifica tu respuesta con los resultados del apartado a).

Explica gráficamente por qué la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ tiende a $+\infty$ cuando $x$ se acerca a $0$, tanto por la izquierda como por la derecha. Dibuja un esquema de la función resaltando el comportamiento cerca del origen.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia el comportamiento de la función $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 1}$ en las proximidades de sus puntos de no definición. Para ello, calcula los límites laterales en $x = 1$ y $x = -1$ y determina si la función presenta asíntotas verticales en dichos valores.