Sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas. Clasificación

Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones de dos incógnitas según el número de soluciones que presentan (Sistema Compatible Determinado, Sistema Compatible Indeterminado o Sistema Incompatible) tras intentar resolverlos por el método que prefieras:

1. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 15 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$

Dadas las rectas $r$ y $s$ representadas en el siguiente gráfico, escribe el sistema de ecuaciones que definen su intersección y clasifícalo según su geometría.

Dos drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$, se desplazan por un plano siguiendo trayectorias rectilíneas dadas por las siguientes ecuaciones:

Drone 1: $2x - 3y = 5$

Drone 2: $x + ky = 2$

Se pide:

1. a) Determina el valor del parámetro $k$ para que los drones choquen en un punto (el sistema sea compatible determinado).

1. b) ¿Existe algún valor de $k$ para el que los drones sigan trayectorias paralelas pero nunca se encuentren? Justifica tu respuesta usando rangos.

1. c) Representa gráficamente la situación si $k = -1,5$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Comprueba si la terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de tres incógnitas que ya se encuentra en forma escalonada:

$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ \quad \quad 3y + 2z = 7 \\ \quad \quad \quad \quad 4z = 8 \end{cases}$

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa el esquema y describe qué tipo de sistema (SCD, SCI o SI) representaría la intersección de dos planos que son paralelos entre sí.

En una tienda de periféricos gaming, tres amigos compran diferentes productos.

• Marcos compra 2 ratones y 1 teclado por $4\,400$ pesos.

• Julia compra 1 ratón y 2 teclados por $5\,200$ pesos.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales para determinar el precio de cada artículo y clasifícalo según el número de soluciones que esperas obtener.

Un equipo de E-sports ha ganado un premio de 480.000 pesos que se debe repartir entre sus tres integrantes: el capitán (A), el estratega (B) y el francotirador (C). Se sabe que:

• La suma de lo que reciben B y C es igual a lo que recibe A.

• Si el estratega (B) recibiera 40.000 pesos más, tendría exactamente lo mismo que el francotirador (C).

1. a) Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para determinar cuánto recibe cada uno.
2. b) Clasifica el sistema y resuélvelo.

Tres empresas de mensajería ($P_1, P_2, P_3$) se reparten el mercado de una ciudad. Cada mes, el 20% de los clientes de $P_1$ se pasan a $P_2$ y el 10% a $P_3$. De los clientes de $P_2$, el 10% se pasa a $P_1$ y el 10% a $P_3$. De los clientes de $P_3$, el 10% se pasa a $P_1$ y el 20% a $P_2$.

Si las cuotas de mercado actuales son $x, y, z$ y queremos que el próximo mes las cuotas se mantengan idénticas (estado de equilibrio), plantea un sistema de ecuaciones. Demuestra que este sistema es compatible indeterminado y calcula la relación entre las cuotas de mercado en el equilibrio.

Expresa el siguiente sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial $A \cdot X = B$, identificando claramente la matriz de coeficientes $A$, la matriz de incógnitas $X$ y la matriz de términos independientes $B$:

$\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = -1 \end{cases}$

Escribe un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que cumpla simultáneamente:

1. Que sea Compatible Indeterminado.

2. Que una de sus soluciones sea $(1, 0, 2)$.

3. Que la matriz de coeficientes sea de la forma:

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & 0 & b \end{pmatrix}$

Calcula los valores necesarios de $a$ y $b$, y propón unos términos independientes coherentes. Justifica tu construcción mediante el uso de rangos.

Dado el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x + y - 3z = 2 \end{cases}$$

1. a) Añade una ecuación de la forma $ax + by + cz = d$ para que el sistema resultante sea compatible determinado y cuya solución sea $(1, 1, 0)$.
2. b) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.
3. c) ¿Es posible añadir una ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado pero con una solución diferente a la del sistema original? Razona la respuesta.

Sin realizar cálculos complejos, razona por qué el siguiente sistema homogéneo es Compatible Indeterminado analizando la relación entre sus ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x - y + 2z = 0 \end{cases}$

Se considera el sistema homogéneo dependiente del parámetro $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. a) Clasifica el sistema según los valores de $a$.
2. b) Determina para qué valores de $a$ el sistema admite soluciones distintas de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
3. c) Resuelve el sistema para $a = -2$.

Sea el sistema homogéneo dependiente del parámetro $m$:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Determina el valor de $m$ para el cual el sistema admite soluciones distintas de la trivial.
2. b) Para dicho valor de $m$, halla la solución general y da una solución particular distinta de la trivial.

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + z = 5 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$

Si el sistema es compatible, encuentra la solución única. En caso contrario, indica qué ecuación es la que genera la incompatibilidad.

Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el número de soluciones, utilizando el método de Gauss:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 5x + 5y - 2z = 10 \end{cases}$

En caso de que sea compatible, halla su solución o soluciones. Si es indeterminado, escribe la solución en forma paramétrica.

Discute la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas según los valores del parámetro $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + y - z = 2 \\ x - y + kz = 1 \\ 3x + 2y + (k-1)z = 5 \end{cases}$$

En los casos en que sea compatible, determina si la solución es única.

Dadas las ecuaciones de tres planos en el espacio:

$\pi_1: x + y + z = 2$

$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$

$\pi_3: kx + 10y + 4z = 11$

1. a) Determina el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una recta (sistema compatible indeterminado).
2. b) Para el valor de $k$ hallado, obtén la ecuación de dicha recta.
3. c) ¿Cuál es la posición relativa de los planos si $k = 5$?

Un laboratorio de biotecnología está desarrollando un nuevo suero combinando tres compuestos: $A$, $B$ y $C$. El costo por gramo de cada compuesto depende de un factor de importación $k$. El sistema que rige las cantidades necesarias $x, y, z$ (en gramos) para estabilizar 100ml de suero es:

$$\begin{cases} kx + y + z = k \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k \end{cases}$$

1. a) Determiná para qué valores de $k$ el laboratorio no puede determinar una cantidad única de cada compuesto para fabricar el suero.
2. b) Si $k = -2$, ¿es posible fabricar el suero siguiendo estas proporciones? Justificá tu respuesta basándote en la compatibilidad del sistema.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales el siguiente sistema tiene infinitas soluciones dependientes de un solo parámetro:

$$\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x + (2a-1)y + (a+2)z = 2b + 3 \\ x + y + az = b \end{cases}$$

Para los valores hallados, escribe la solución en forma paramétrica.

Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función de los valores del parámetro real $m$, utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius:

$\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}$

Indica para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los diversos valores de los parámetros reales $a$ y $b$. Resuélvelo únicamente en el caso en que el sistema sea compatible indeterminado:

$$\begin{cases} ax + y + z = b \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Se consideran los tres planos en el espacio cuyas ecuaciones son:

$\pi_1: x + ay + z = 1$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$

$\pi_3: x + ay + (a+1)z = b$

Estudia la posición relativa de los tres planos según los valores de los parámetros $a$ y $b$. ¿Para qué valores de los parámetros los tres planos se cortan en una única recta?