Intervalos, entornos y conjuntos acotados

En el diseño de componentes electrónicos, la tolerancia de voltaje de un sensor está definida por el conjunto de valores reales $x$ que cumplen la siguiente condición de desigualdad:

$-3 \leq x < 4,5$

Expresa este conjunto de valores utilizando la notación de intervalo e indica de qué tipo de intervalo se trata (abierto, cerrado o semibierto).

Dada la siguiente representación gráfica sobre la recta real, escribe el conjunto resaltado en notación de intervalo y en notación de conjunto (usando desigualdades).

Un servidor de datos de una empresa tecnológica mantiene su temperatura óptima de funcionamiento en el intervalo dado por $I = (-10, 35]$. Representa este intervalo en la recta real y determina si los siguientes valores de temperatura pertenecen al conjunto:

• $a = -10$

• $b = 0$

• $c = 35$

• $d = 35,1$

Relaciona cada valor absoluto con su intervalo correspondiente:

1. $|x| \leq 3$

2. $|x| < 5$

3. $|x - 2| \leq 1$

Intervalos disponibles:

• $A = ( -5, 5)$

• $B = [ -3, 3]$

• $C = [ 1, 3]$

En el estudio de límites, es fundamental el concepto de entorno reducido. Si tenemos el entorno $E(3; 0,5)$, que representa todos los números reales cuya distancia al centro $3$ es menor que $0,5$:

1. a) Escribe este conjunto en forma de intervalo.
2. b) Escribe el entorno reducido $E^*(3; 0,5)$, es decir, el mismo conjunto pero excluyendo el punto central.

En el laboratorio de física, un sensor de precisión mide el diámetro de una pieza metálica. El sistema de control acepta piezas cuyo diámetro $x$ (en mm) cumple la siguiente condición de tolerancia expresada mediante un valor absoluto:

Representa gráficamente esta situación en la recta real y expresa el conjunto de valores admitidos en forma de intervalo y como un entorno $E(a; r)$.

Puedes apoyarte en esta recta, donde solo se ha marcado el centro de la tolerancia, $12$. Complétala en tu cuaderno: señala los extremos, sombrea los valores admitidos e indica el radio.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Para estudiar la continuidad de una función en el punto $x = 3$, necesitamos trabajar en un entorno reducido de dicho punto con un radio de $0,1$ unidades.

1. a) Escribe la definición de dicho conjunto utilizando la notación $E^*(a, r)$.

1. b) Exprésalo mediante una desigualdad que incluya un valor absoluto.

1. c) Represéntalo como la unión de dos intervalos abiertos.

Un dron de vigilancia debe mantener una altitud de vuelo $h$ (en metros) de modo que su distancia a la altura de seguridad de $100$ metros sea siempre inferior a $5$ metros, pero por motivos de turbulencias, no puede volar exactamente a $100$ metros.

Expresa la condición de la altura $h$ mediante:

1. a) Un entorno reducido.
2. b) Una desigualdad con valor absoluto.
3. c) Una unión de intervalos.

En la definición formal de límite, cuando decimos que $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$, afirmamos que para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que, si $0<|x-2|<\delta$, entonces $|f(x)-5|<\varepsilon$. Tomamos $\varepsilon = 0,2$, que determina un entorno de $5$ en el eje $Y$. La gráfica muestra la función $f(x) = 2x + 1$ y el punto de la curva con $x = 2$.

1. a) Determina el intervalo correspondiente al entorno $E(5; 0,2)$.

1. b) Si sabemos que la función es $f(x) = 2x + 1$, encuentra el intervalo de valores de $x$ en el eje $X$ cuyas imágenes caen dentro del intervalo obtenido en el apartado anterior.

Se define un entorno del punto $a = 3$ mediante la expresión $|x - 3| < \delta$. Determina el valor máximo de $\delta$ para que todos los puntos $x$ de dicho entorno cumplan que sus cuadrados, $x^2$, se encuentren a una distancia menor de $0,5$ del valor $9$. Es decir, resuelve la implicación:

Expresa mediante un único intervalo el resultado de la siguiente unión de conjuntos:

$A = (- \infty, 2) \cup [0, 6]$

Apóyate en una representación gráfica si lo consideras necesario.

Determina la intersección de los siguientes intervalos de números reales:

$I_1 = [-3, 4]$

$I_2 = (0, + \infty)$

Escribe el resultado final tanto en forma de intervalo como de desigualdad.

Calcula la intersección y la unión de los siguientes conjuntos de números reales. Expresa el resultado final utilizando la notación de intervalos:

$A = \{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 5\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \leq 4\}$

Escribe en forma de intervalo el dominio de definición de una función que solo acepta valores positivos de $x$ menores o iguales que $100$, pero excluyendo el valor exacto $x = 25$ debido a una singularidad técnica. Expón el resultado como una resta de conjuntos o como una unión de dos intervalos.

Dados los intervalos $I = (-\infty, 4]$ y $J = (-2, +\infty)$, realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación de intervalos y de forma gráfica:

1. a) $I \cap J$
2. b) $I \cup J$
3. c) $\mathbb{R} - (I \cap J)$

Sean los conjuntos $S_1$ y $S_2$ definidos por las siguientes condiciones. Calcula de forma exacta el conjunto resultante de la operación $(S_1 \cup S_2)^c$ (complementario de la unión):

Determina el conjunto de valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad cuadrática, expresando el resultado como un intervalo o unión de intervalos:

¿Es este conjunto un entorno de algún número real? Justifica tu respuesta calculando el centro y el radio si fuera posible.

Un sensor de control térmico en una planta de procesamiento de biomasa opera correctamente siempre que la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) cumpla la condición $T \in [90, 150]$. Si la temperatura del proceso evoluciona temporalmente según la función $T(t) = t^2 - 20t + 175$, donde $t$ es el tiempo en minutos ($t \geq 0$), determina los intervalos de tiempo durante los cuales el sensor detecta una temperatura fuera de su rango de operación.

Determina el conjunto de valores reales $x$ que satisfacen simultáneamente la siguiente inecuación racional y el intervalo definido por el valor absoluto. Expresa el resultado final en forma de intervalo o unión de intervalos:

Dada la función racional $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$, determina su dominio de definición y exprésalo como una unión de intervalos. Posteriormente, indica si el valor $x = 3,0001$ pertenece a un entorno de centro $3$ y radio $\delta = 0,001$.

En el diseño de una pieza de precisión para un telescopio, el radio de curvatura $R$ debe pertenecer al dominio de la siguiente función para asegurar la estabilidad estructural. Halla dicho dominio y exprésalo como unión de intervalos:

$f(R) = \sqrt{\frac{\ln(R^2 - 8)}{R - 4}}$

Considera la función $g(x) = \log_2\left( |x^2 - 1| - 2 \right)$.

1. a) Determina el conjunto de valores reales de $x$ para los que la función no está definida.

1. b) Expresa dicho conjunto como un intervalo o como una unión de intervalos.

1. c) Clasifica cada intervalo obtenido como abierto, cerrado o semiabierto.

Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación con valores absolutos anidados. Representa la solución sobre la recta real y especifica si se trata de un conjunto acotado, indicando, en caso afirmativo, su supremo e ínfimo:

Determina el valor del parámetro real $k > 0$ para que la intersección de los conjuntos $A$ y $B$ sea un intervalo de longitud exactamente igual a $3$ unidades, siendo:

Pista: expresa $A$ y $B$ como intervalos de la recta real y estudia, según el valor de $k$, cómo queda $A \cap B$.