Sucesiones; límite de una sucesión
Comprás un celular de $\$15.000$ y cada año vale el $80\,\%$ del año anterior. ¿Llegará a valer cero? ¿Se acerca a algún valor? Para contestar necesitás el límite de una sucesión, que es lo que vas a trabajar en esta página.
Qué significa que una sucesión tenga límite
Una sucesión es una lista ordenada $a_1, a_2, a_3,\dots$ dada por una fórmula $a_n$. El límite responde a una pregunta: ¿hacia dónde van los términos cuando $n$ crece indefinidamente?
Miremos $a_n=\dfrac1{n^2}$: sus términos son $1,\ \tfrac14,\ \tfrac19,\ \tfrac1{16},\dots$ Se acercan cada vez más a $0$ sin llegar a valer $0$. Se escribe $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}=0$.
Volvamos al celular: $v_n=15000\cdot 0{,}8^n$. Una potencia de base entre $0$ y $1$ se achica en cada paso, así que $0{,}8^n\to0$.
Volvé al principio: el celular se acerca a valer $0$ pesos, pero con este modelo nunca llega a ser exactamente $0$. El límite describe la tendencia, no un término concreto.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{1}{n^2}$, con $n = 1, 2, 3, \dots$ a) Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión. b) Razona, de forma…
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{1}{n^2}$, con $n = 1, 2, 3, \dots$
- a) Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión.
- b) Razona, de forma intuitiva, cuál es el valor de su límite cuando $n$ tiende a infinito:
Se estima que el valor de una computadora portátil después de $n$ años viene dado por la sucesión $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calculá el límite de esta sucesión e…
Se estima que el valor de una computadora portátil después de $n$ años viene dado por la sucesión $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calculá el límite de esta sucesión e interpretá qué significa el resultado en el contexto de la devaluación del equipo.
$$\lim_{n \to \infty} 1200 \cdot (0,8)^n$$Cocientes de polinomios
Cuando $n$ es enorme, en un polinomio manda el término de mayor grado: en $5n^2-3n+1$, el $5n^2$ pesa muchísimo más que $-3n+1$. Por eso, en un cociente, comparás los grados.
Calcula el límite de la siguiente sucesión racional comparando los grados del numerador y del denominador: $$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$
Calcula el límite de la siguiente sucesión racional comparando los grados del numerador y del denominador:
$$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$Determina el valor del límite de la sucesión $b_n$ cuando $n$ crece indefinidamente: $$b_n = \frac{100n + 50}{n^2 - 1}$$
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n$ cuando $n$ crece indefinidamente:
$$b_n = \frac{100n + 50}{n^2 - 1}$$En una red social, el número de "me gusta" de una publicación en las primeras horas sigue la progresión $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, donde $n$ es el número de horas desde…
En una red social, el número de "me gusta" de una publicación en las primeras horas sigue la progresión $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, donde $n$ es el número de horas desde la publicación. ¿Qué ocurre con la cantidad de "me gusta" a muy largo plazo? Calcula:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n+2}$$Términos dominantes: productos, potencias y raíces
La misma idea funciona cuando hay productos, potencias de binomios o raíces: no hace falta desarrollar todo, alcanza con ver el término de mayor grado de cada factor.
Una raíz cuenta con su grado «fraccionario»: $\sqrt{n^2}=n$ (grado $1$), $\sqrt{n^3}$ tiene grado $\frac32$ y $\sqrt[3]{n^5}$ tiene grado $\frac53$. Por ejemplo, $\dfrac{\sqrt{9n^2+n}}{2n-3}$ se comporta como $\dfrac{3n}{2n}=\dfrac32$.
Calcula el límite de la siguiente sucesión que involucra una raíz cuadrada, analizando el término de mayor grado: $$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$ La gráfica…
Calcula el límite de la siguiente sucesión que involucra una raíz cuadrada, analizando el término de mayor grado:
$$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$La gráfica muestra algunos de sus primeros términos (a partir de $n=3$).
Calcula el límite de la siguiente sucesión analizando los grados de los polinomios y justificando el resultado mediante la comparación de los términos de mayor grado:…
Calcula el límite de la siguiente sucesión analizando los grados de los polinomios y justificando el resultado mediante la comparación de los términos de mayor grado:
$a_n = \frac{(3n - 1)^2 \cdot (n + 2)}{(2n + 3)^3 - 5n}$
La jerarquía de los infinitos
No todas las sucesiones que tienden a $+\infty$ lo hacen a la misma «velocidad». Si dividís una que crece despacio entre una que crece rápido, el límite es $0$; al revés, es $+\infty$.
Utilizando la comparación de órdenes de infinitud (exponencial frente a polinómica), halla el límite de la sucesión: $$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$
Utilizando la comparación de órdenes de infinitud (exponencial frente a polinómica), halla el límite de la sucesión:
$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$Dadas las siguientes sucesiones, utiliza la jerarquía de infinitos para determinar, sin realizar operaciones algebraicas extensas, cuál es el valor de su límite cuando…
Dadas las siguientes sucesiones, utiliza la jerarquía de infinitos para determinar, sin realizar operaciones algebraicas extensas, cuál es el valor de su límite cuando $n \to \infty$:
- a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0,5^n}$
- b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$
- c) $d_n = \frac{1,02^n}{n^{1000} + 5n}$
En el estudio de algoritmos de computación, es fundamental conocer la velocidad a la que crecen ciertas funciones. Calcula el límite de la siguiente sucesión comparando…
En el estudio de algoritmos de computación, es fundamental conocer la velocidad a la que crecen ciertas funciones. Calcula el límite de la siguiente sucesión comparando los órdenes de infinitud de los diferentes términos (factoriales, exponenciales y potencias):
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$Explica razonadamente qué término domina en el numerador y cuál en el denominador para justificar tu resultado.
Indeterminación $\infty-\infty$
Si $a_n\to+\infty$ y $b_n\to+\infty$, el límite de $a_n-b_n$ no se sabe de antemano: depende de cuál «le gana» al otro y puede dar cualquier cosa. Hay que transformar la expresión.
Con raíces cuadradas: multiplicar y dividir por el conjugado.
Con fracciones: sumar con denominador común.
Con una fracción y una recta: dividir los polinomios. Si $\dfrac{P(n)}{Q(n)}-an-b\to0$, la división entera te da el cociente $an+b$ y un resto que tiende a $0$.
Resuelve el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$. Para visualizar su comportamiento, en la figura se representan los ocho primeros términos…
Resuelve el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$.
Para visualizar su comportamiento, en la figura se representan los ocho primeros términos $a_1, a_2, \dots, a_8$. Observa hacia qué valor parecen acercarse y después justifica el resultado con el cálculo del límite (por ejemplo, multiplicando y dividiendo por el conjugado).
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una resta de fracciones con distinto denominador: $a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$…
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una resta de fracciones con distinto denominador:
$a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$
Indica si la sucesión es divergente o convergente tras resolver la indeterminación $\infty - \infty$.
Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre el límite de la sucesión y el valor indicado: $$\lim_{n \to \infty}…
Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre el límite de la sucesión y el valor indicado:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$Raíces de distinto índice
Entre una raíz cúbica y una cuadrada no hay un conjugado directo. La idea es sumar y restar un término intermedio (la «parte principal» común, como $n$) y separar en dos límites.
Determina el límite de la siguiente sucesión, la cual involucra una diferencia de raíces de distinto índice (cúbica y cuadrada). Para resolverlo, deberás forzar la…
Determina el límite de la siguiente sucesión, la cual involucra una diferencia de raíces de distinto índice (cúbica y cuadrada). Para resolverlo, deberás forzar la aparición de un factor común o utilizar la técnica de sumar y restar un término intermedio que permita separar la expresión en dos límites tratables:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$El número $e$
Si la base de una potencia tiende a $1$ y el exponente a infinito, aparece otra indeterminación, $1^\infty$. El caso más famoso es el que define el número $e\approx2{,}718$:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e$$Esto es lo que hace la capitalización: si repartís un interés del $100\,\%$ en $n$ pagos iguales, el monto final se acerca a $e$ veces el capital, y nunca lo pasa.
En la figura se representan, para $n=1,2,\dots,10$, los términos de dos sucesiones: los puntos azules corresponden a $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ y los puntos…
En la figura se representan, para $n=1,2,\dots,10$, los términos de dos sucesiones: los puntos azules corresponden a $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ y los puntos verdes a
$$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$$- a) Identifica cuál de las dos sucesiones de la figura (azul o verde) corresponde a la definición del número $e$ y escribe su límite.
- b) Calcula $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ (los puntos verdes), razonando a partir de la definición de $e$, y comprueba que el resultado es coherente con la tendencia que se observa en la figura.
La indeterminación $1^\infty$ en general
Cuando la base no tiene la forma $1+\frac1n$, la reescribís como $1+(a_n-1)$ y usás la regla:
Un inversor analiza el crecimiento de una criptomoneda cuya evolución diaria sigue la ley de una sucesión de tipo exponencial. El valor relativo tras $n$ días viene dado…
Un inversor analiza el crecimiento de una criptomoneda cuya evolución diaria sigue la ley de una sucesión de tipo exponencial. El valor relativo tras $n$ días viene dado por:
$V_n = \left( \frac{5n^2 + 3n}{5n^2 - 2} \right)^{n+1}$
Calcula el valor al que tiende la moneda a largo plazo utilizando la relación con el número $e$.
Halla el valor de los parámetros reales $k$ y $t$ para que se verifique la siguiente igualdad: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$…
Halla el valor de los parámetros reales $k$ y $t$ para que se verifique la siguiente igualdad:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$
Sabiendo que el límite de la base es $1$ y que el resultado final es $e^2$.
Calcula el valor del siguiente límite de una sucesión que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a la manipulación algebraica de…
Calcula el valor del siguiente límite de una sucesión que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a la manipulación algebraica de la base y el exponente:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$El teorema del sándwich
Cuando una sucesión es difícil de calcular directamente pero queda «atrapada» entre otras dos que sí sabés calcular y que tienden al mismo valor, no le queda más remedio que ir hacia ahí.
Sumas de $n$ términos. Cada término está entre el menor y el mayor; como hay $n$ términos, la suma queda entre $n$ veces el menor y $n$ veces el mayor.
En un laboratorio de biotecnología, el número de bacterias de una cepa (en millones) después de $n$ horas se modeliza mediante la sucesión:…
En un laboratorio de biotecnología, el número de bacterias de una cepa (en millones) después de $n$ horas se modeliza mediante la sucesión:
$P_n = \frac{12n^2 + \text{sen}(n)}{3n^2 + 500}$
Determina la población de bacterias cuando el tiempo tiende a infinito. Razona qué ocurre con el término $\text{sen}(n)$ en el cálculo del límite.
Utiliza el Teorema del Sándwich (o Teorema de la existencia de límite por acotación) para hallar el valor del límite de la sucesión $a_n$ definida por la siguiente suma…
Utiliza el Teorema del Sándwich (o Teorema de la existencia de límite por acotación) para hallar el valor del límite de la sucesión $a_n$ definida por la siguiente suma de fracciones:
$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$Sucesiones recurrentes
En una sucesión recurrente cada término se calcula a partir del anterior: $a_{n+1}=f(a_n)$. Si sabés que converge, podés hallar el límite sin calcular miles de términos.
Término general de $a_{n+1}=r\,a_n+s$. Sirve cuando $|r|<1$. Una vez que tenés el punto fijo $L=\dfrac{s}{1-r}$, mirá la diferencia $b_n=a_n-L$: cumple $b_{n+1}=r\,b_n$, que es una progresión geométrica.
Estudia el comportamiento de la sucesión recurrente definida por: $a_1 = 2$ $a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$ Si suponemos que la sucesión es…
Estudia el comportamiento de la sucesión recurrente definida por:
$a_1 = 2$
$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$
Si suponemos que la sucesión es convergente y que su límite es $L$ ($L > 0$), calcula dicho valor resolviendo la ecuación $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right)$. ¿A qué constante irracional famosa corresponde este resultado?
Se define una sucesión de forma recurrente mediante la fórmula: $$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$ Suponiendo que la sucesión es convergente (puedes…
Se define una sucesión de forma recurrente mediante la fórmula:
$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$Suponiendo que la sucesión es convergente (puedes visualizar su comportamiento en el diagrama de abajo), calcula el valor exacto de su límite $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.
Un dron de vigilancia está programado para realizar una serie de saltos en línea recta. En el primer segundo recorre $d$ metros. En cada segundo posterior, recorre una…
Un dron de vigilancia está programado para realizar una serie de saltos en línea recta. En el primer segundo recorre $d$ metros. En cada segundo posterior, recorre una distancia que es la mitad de la distancia recorrida en el segundo anterior más un metro extra para compensar el viento. Si $x_n$ es la distancia total acumulada tras $n$ segundos:
- a) Encuentra la expresión del término general de la distancia recorrida en cada segundo $a_n$.
- b) Determina la distancia que recorrerá el dron en un segundo dado cuando $n$ tiende a infinito (es decir, $\lim_{n \to \infty} a_n$).
Demostrar un límite con $\varepsilon$ y $N$
Hasta ahora calculaste límites. La definición formal permite demostrar que un límite vale lo que decís.
En palabras: por muy angosta que hagas la franja alrededor de $L$, hay un punto de la sucesión a partir del cual todos los términos quedan adentro.
Dada la sucesión $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demuestra mediante la definición formal de límite ($\varepsilon$ y $N$) que su límite es $L = 3$. Para ello, para un valor…
Dada la sucesión $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demuestra mediante la definición formal de límite ($\varepsilon$ y $N$) que su límite es $L = 3$.
Para ello, para un valor de $\varepsilon = 0,001$, determina a partir de qué término $N$ de la sucesión se cumple que $|a_n - L| < \varepsilon$.