Experimentos aleatorios

Clasificá los siguientes experimentos como deterministas o aleatorios, justificando brevemente tu respuesta en cada caso:

1. a) Soltar un celular desde una altura de un metro y observar si cae hacia el suelo.
2. b) Abrir una lista de reproducción en modo aleatorio y anotar cuál es la primera canción que suena.
3. c) Calcular el tiempo que tarda un auto en recorrer $200$ km si circula a una velocidad constante de $100$ km/h.
4. d) Preguntar a la primera persona que veas por la calle en qué mes nació.
5. e) Extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas y observar su palo.

Un estudiante tiene en su cartuchera tres lapiceras de colores distintos: Azul (A), Negro (N) y Rojo (R). Decide sacar dos lapiceras de forma consecutiva y sin devolver la primera a la cartuchera.

1. a) Escribí el espacio muestral $E$ de este experimento.
2. b) Indicá cuántos sucesos elementales forman dicho espacio muestral.
3. c) Definí el suceso compuesto $S = \text{"sacar el bolígrafo azul en cualquier posición"}$.

Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado tetraédrico (4 caras) con las caras numeradas del $1$ al $4$, y una moneda de $1$ peso. Anotamos el número de la cara inferior del dado y si la moneda muestra cara $(C)$ o cruz $(X)$.

1. a) Utilizá un diagrama de árbol para representar todos los resultados posibles.
2. b) Escribí el espacio muestral $E$.
3. c) Determiná los elementos del suceso $A = \text{"obtener un número par en el dado y cara en la moneda"}$.

Un videojuego de rol permite crear un personaje eligiendo entre dos facciones: Guerrero (G) o Mago (M). Además, el personaje puede ser de tres razas: Humano (H), Elfo (E) o Enano (D).

Se elige un personaje al azar del servidor de juego.

1. a) Escribí el espacio muestral $E$ utilizando la nomenclatura de las iniciales (por ejemplo, $GH$ para Guerrero Humano).
2. b) Describí el suceso $S = \text{"el personaje no es un Mago"}$.
3. c) Si llamamos $A$ al suceso $\text{"el personaje es un Elfo"}$, indicá qué elementos componen el suceso contrario $\bar{A}$.

Extraemos una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$. Indicá si los siguientes eventos son posibles, seguros o imposibles:

1. a) $A = \text{"obtener un número mayor que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obtener el número 7"}$.
3. c) $C = \text{"obtener un número par"}$.
4. d) $D = \text{"obtener un número menor o igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obtener un número negativo"}$.

Un bolillero de lotería contiene $10$ bolillas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen tres bolillas sucesivamente y sin reposición para formar un número de tres cifras (la primera bolilla corresponde a las centenas, la segunda a las decenas y la tercera a las unidades; se admiten resultados que empiezan por $0$, como $047$).

1. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral $E$?
2. b) Describí el suceso $S$ = "El número formado es capicúa".
3. c) Describí el suceso $M$ = "El número formado es múltiplo de $5$ y mayor que $700$".

En un grupo de 2° de bachillerato, se analizan las suscripciones a plataformas de streaming. Llamamos $A$ al evento "estar suscripto a Netflix" y $B$ al evento "estar suscripto a Spotify". Expresá con palabras el significado de los siguientes eventos relacionados con las operaciones de conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (o evento contrario de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Observá el siguiente diagrama de Venn que representa la distribución de alumnos que practican Básquetbol ($B$) y Fútbol ($F$) en un polideportivo municipal.

A partir del gráfico, definí mediante operaciones de eventos las siguientes regiones:

1. a) Alumnos que practican ambos deportes.
2. b) Alumnos que practican básquetbol pero no fútbol.
3. c) Alumnos que practican al menos uno de los dos deportes.
4. d) Alumnos que no practican ninguno de los dos deportes mencionados.

En un laboratorio de robótica, se están probando dos sensores independientes, $S_1$ y $S_2$. El experimento consiste en comprobar si cada sensor se activa ($1$) o no ($0$) ante un estímulo.

1. a) Escribí el espacio muestral $E$.
2. b) Describí el suceso contrario de $A$, siendo $A$ = "Al menos uno de los sensores se activa".
3. c) Si definimos el suceso $B$ = "Los dos sensores actúan de forma idéntica", determiná $A \cap B$ y el suceso diferencia $B - A$.

En un nuevo juego de mesa estratégico, un jugador debe lanzar un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y, simultáneamente, extraer una carta de un mazo reducido que contiene únicamente los cuatro ases y los cuatro reyes de la baraja española.

Considerando el experimento aleatorio de anotar el número del dado y el valor de la carta (As o Rey):

1. a) Describí el espacio muestral $E$ del experimento.
2. b) Sean los sucesos:

$A$ = "Obtener un número par en el dado".

$B$ = "Obtener un As de cualquier palo".

$C$ = "Obtener un número menor que $3$ en el dado y que la carta sea un Rey".

Determiná los elementos que componen los sucesos $A \cup B$, $A \cap B$ y $B \cap C$.

Sea $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ el espacio muestral de un experimento aleatorio. Dados los eventos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ y $B = \{2, 3, 5, 8\}$, obtené los siguientes conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Comprobá si se cumple la Primera Ley de Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Sea $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ el espacio muestral de un experimento aleatorio. Consideramos los eventos $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6\}$ y $C = \{1, 2, 3\}$.

Hallá los conjuntos resultantes de las siguientes operaciones y comprobá si se verifica alguna relación de inclusión entre ellos:

1. a) $(A \cup B) \cap C^c$
2. b) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
3. c) $A - (B \cup C)$

Nota: $C^c$ representa el evento complementario de $C$.

Un satélite de comunicaciones envía ráfagas de datos compuestas por secuencias binarias de longitud $n=3$. Debido al ruido cósmico, cada bit tiene una probabilidad de ser alterado. Definimos el espacio muestral $E$ como el conjunto de todas las ternas binarias posibles. Sean los eventos:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Utilizando las Leyes de De Morgan, simplificá al máximo la expresión del evento $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Una vez simplificado, describí con palabras qué característica común tienen las secuencias que forman dicho evento $S$ respecto a la cantidad de "unos" presentes en la ráfaga.

Sean $A, B$ y $C$ tres sucesos cualesquiera de un experimento aleatorio. Demostrá formalmente, utilizando las propiedades del álgebra de sucesos (distributiva, complementariedad, etc.), la siguiente identidad:

$$(A \cup B) - (A \cap B) = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$

Explicá qué nombre recibe esta operación en la teoría de conjuntos y representá el suceso resultante mediante un diagrama de Venn sombreado.

Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado octaédrico (caras del $1$ al $8$) y un dado cúbico convencional (caras del $1$ al $6$). Definimos los siguientes eventos:

$A$ = "La suma de los puntos es un número primo".

$B$ = "El producto de los puntos es múltiplo de $10$".

1. a) ¿Son $A$ y $B$ eventos compatibles o incompatibles? Justificá la respuesta indicando al menos un elemento de la intersección si existiera.
2. b) Calculá el número de elementos del evento contrario de $B$.

En un entorno de desarrollo de aplicaciones para celulares, un programador está testeando la seguridad de un sistema de acceso. Se define un experimento aleatorio consistente en generar una clave aleatoria de 4 dígitos usando únicamente los números $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Se consideran los siguientes sucesos:

• $A$: "La clave contiene al menos dos dígitos iguales consecutivos".

• $B$: "La suma de los dígitos de la clave es un número primo mayor que 15".

• $C$: "La clave es capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda)".

Describí detalladamente el espacio muestral $E$ indicando su cardinal y utilizá el álgebra de sucesos para expresar simbólicamente los siguientes eventos:

1. La clave no es capicúa o bien la suma de sus dígitos no es un número primo mayor que 15.

2. La clave es capicúa y tiene al menos dos dígitos iguales consecutivos, pero la suma de sus dígitos no es un número primo mayor que 15.

3. Demostrá si los sucesos $A$ y $C$ son compatibles o incompatibles justificando tu respuesta mediante un ejemplo de un elemento del espacio muestral.

Un sistema robótico de clasificación de paquetería comete errores de forma aleatoria. Al analizar el historial de 1000 paquetes, se definen los eventos:

• $A$: "El paquete tiene un peso incorrecto".

• $B$: "El paquete tiene un código de barras ilegible".

• $C$: "El paquete fue enviado a una ruta equivocada".

Se sabe que ningún paquete presenta los tres errores simultáneamente ($A \cap B \cap C = \emptyset$). Si denotamos por $n(X)$ a la cantidad de paquetes en el evento $X$, se cumple:

$n(A) = 45$, $n(B) = 38$, $n(C) = 22$, $n(A \cap B) = 12$, $n(A \cap C) = 8$ y $n(B \cap C) = 5$.

Calculá la cantidad de elementos de los siguientes eventos y expresalos mediante operaciones de conjuntos:

1. $(\overline{A \cup B}) \cap C$

2. $(A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$

3. $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$