Propiedades de la probabilidad

En una urna hay bolillas numeradas. Sean los sucesos $A$ = "sacar un número par" y $B$ = "sacar un número impar menor que 5". Si conocemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ y que los sucesos son incompatibles, calculá la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$.

Un estudio sobre hábitos digitales revela que la probabilidad de que un adolescente use una red social de microblogging es $P(S) = 0,72$.

Calculá la probabilidad del suceso contrario, es decir, la probabilidad de que un adolescente elegido al azar no utilice dicha red social.

Utilizando las leyes de De Morgan, calculá la probabilidad de que no ocurra ni el evento $A$ ni el evento $B$ (es decir, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabiendo que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,84$.

Dados dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se conocen los siguientes datos:

$P(\bar{A}) = 0,6$

$P(B) = 0,3$

$P(A \cap B) = 0,1$

Hallá el valor de la probabilidad de la unión, $P(A \cup B)$. Sugerencia: calculá primero $P(A)$.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres eventos de un mismo experimento aleatorio tales que forman un sistema completo de eventos. Se conocen las siguientes relaciones entre sus probabilidades:

• La probabilidad de $A$ es el doble de la de $B$.

• La probabilidad de la unión de $B$ y $C$ es el triple de la probabilidad de la intersección de $A$ y $B$, si esta última no fuera nula (pero en este caso considerá que $A$ y $B$ son incompatibles).

Demostrá razonadamente, utilizando los axiomas de Kolmogorov y las propiedades de la probabilidad, si es posible que $P(C) = 0,4$. En caso negativo, determiná el valor exacto de las probabilidades de cada evento.

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ de los usuarios jóvenes están suscritos al Plan de Música ($M$) y el $40\ \%$ están suscritos al Plan de Video ($V$). Se sabe además que el $25\ \%$ de los usuarios disfrutan de ambos planes simultáneamente.

Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar esté suscrito a alguno de los dos planes (música o video).

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Determiná si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles justificando tu respuesta mediante el cálculo de $P(A \cap B)$.

En un estudio sobre el consumo de contenido digital en una clase de 2.° de bachillerato, se sabe que la probabilidad de que un alumno use habitualmente TikTok (evento $A$) es $0,65$, la probabilidad de que use Instagram (evento $B$) es $0,70$ y la probabilidad de que no use ninguna de las dos redes sociales es $0,15$.

Utilizando las propiedades de la probabilidad, calculá:

1. a) La probabilidad de que un alumno, elegido al azar, utilice ambas redes sociales.
2. b) La probabilidad de que utilice solo una de las dos.
3. c) ¿Son los eventos $A$ y $B$ independientes? Justificá tu respuesta.

Dados dos sucesos $A$ y $B$, se sabe que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ y $P(A \cup B) = 0,72$.

1. a) Calculá $P(A \cap B)$.
2. b) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Razoná la respuesta comparando $P(A \cap B)$ con el producto de sus probabilidades individuales.
3. c) Calculá $P(\bar{A} / B)$.

Sea un espacio muestral $E$ y dos sucesos $A, B \subset E$ con probabilidades no nulas. Se define la "diferencia simétrica" entre los sucesos como $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

Si sabemos que $P(A \Delta B) = 0,6$ y que $P(A \cup B) = 0,8$:

1. Calculá $P(A \cap B)$.

2. Si además se cumple que $P(A | B) = 0,4$, hallá los valores individuales de $P(A)$ y $P(B)$.

3. Utilizando los valores obtenidos, verificá si se cumple la identidad $P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$.

Observá el siguiente diagrama de Venn que representa los eventos $A$ (estudiantes que practican básquetbol) y $B$ (estudiantes que practican natación) en un centro deportivo:

Sabiendo que los números representan la probabilidad de cada región, usá las propiedades de la probabilidad para calcular:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilidad de que no practique básquetbol).

En una competición de e-sports, la probabilidad de que el equipo "Alfa" gane la primera partida es $P(A) = 0,6$. La probabilidad de que gane la segunda es $P(B) = 0,5$. Si la probabilidad de que gane ambas es $P(A \cap B) = 0,3$, calcula:

1. a) La probabilidad de que gane la primera partida pero no la segunda ($P(A \cap \bar{B})$).

1. b) Ilustra la situación mediante un esquema de áreas como el siguiente, en el que el cuadrado completo representa probabilidad 1 y cada región tiene un área igual a su probabilidad. Completa la probabilidad de las otras tres regiones.

En un centro deportivo, el $60\%$ de los inscriptos practica entrenamiento de fuerza (suceso $F$) y el $45\%$ practica yoga (suceso $Y$). Se sabe además que el $20\%$ de los que practican fuerza también están inscriptos en yoga.

Construí una tabla de contingencia o un diagrama de Venn para responder a las siguientes preguntas:

1. a) Probabilidad de que un socio elegido al azar no practique ni fuerza ni yoga.
2. b) Si sabemos que un socio practica yoga, ¿cuál es la probabilidad de que no practique fuerza?
3. c) ¿Son los sucesos "practicar fuerza" y "practicar yoga" independientes?

Dos equipos de E-sports, "Titanes" y "Fénix", participan en un torneo. La probabilidad de que los Titanes ganen su partida es $P(T) = 0,8$ y la de que los Fénix ganen la suya es $P(F) = 0,7$. Suponiendo que los resultados de ambos equipos son independientes, calculá mediante el álgebra de eventos las siguientes probabilidades:

1. a) Que ambos equipos ganen sus respectivas partidas.
2. b) Que al menos uno de los dos gane.
3. c) Que solo gane el equipo de los Titanes.

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que la probabilidad de que ocurra $B$ si ocurrió $A$ es $P(B/A) = 0,25$. Si sabemos que $P(A \cap B) = 0,15$ y que $P(B) = 0,45$:

1. a) Calculá $P(A)$.
2. b) Calculá $P(A \cup B)$.
3. c) Calculá la probabilidad de que no ocurra $A$ dado que no ocurrió $B$, es decir, $P(\bar{A} / \bar{B})$.

Un sistema de seguridad inteligente tiene dos sensores independientes, $S_1$ y $S_2$. La probabilidad de que el sensor $S_1$ detecte una intrusión es $0,92$ y la probabilidad de que la detecte el sensor $S_2$ es $0,85$. En el caso de que ocurra una intrusión, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea detectada por ambos sensores simultáneamente.
2. b) La probabilidad de que la intrusión sea detectada (es decir, que al menos un sensor funcione).
3. c) La probabilidad de que el sensor $S_1$ falle pero el $S_2$ funcione correctamente.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que conocemos $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y la probabilidad de la unión de sus complementarios es $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,8$.

1. a) Calculá $P(A \cap B)$.
2. b) Hallá $P(A \cup B)$.
3. c) Determiná si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles.
4. d) Calculá $P(A / \bar{B})$.

Una plataforma de streaming clasifica a sus usuarios en "Premium" ($P$) o "Estándar" ($S$). Se estima que el $40\%$ son Premium. Además, el $70\%$ de los usuarios Premium ven series de ciencia ficción ($C$), mientras que solo el $30\%$ de los usuarios Estándar las ven. Elegido un usuario al azar:

1. a) Calculá la probabilidad de que vea series de ciencia ficción.
2. b) Si el usuario elegido está viendo una serie de ciencia ficción, ¿cuál es la probabilidad de que sea un usuario Premium?
3. c) ¿Son los sucesos "Ser usuario Premium" y "Ver series de ciencia ficción" independientes? Justificá matemáticamente mediante propiedades de probabilidad condicionada.

Considerá dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,7$.

Basándote en los axiomas de Kolmogorov, demostrá que:

1. El valor mínimo posible para $P(A \cap B)$ es $0,3$.

2. El valor máximo posible para $P(A \cap B)$ es $0,6$.

3. Si se agrega un tercer evento $C$ tal que $P(C) = 0,8$, ¿cuál es el valor mínimo de la probabilidad de que ocurran los tres eventos a la vez, $P(A \cap B \cap C)$? Justificá tu respuesta utilizando la desigualdad de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.

Un ingeniero aeronáutico analiza la confiabilidad de un componente crítico. Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = \frac{1}{3}$ y $P(B) = p$.

1. Si $A$ y $B$ son independientes, expresá la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos eventos en función de $p$.

2. Si $A$ y $B$ son incompatibles, ¿cuál es el valor máximo que puede tomar $p$?

3. Determiná el valor de $p$ para que la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$ sea igual a $\frac{1}{4}$, suponiendo que $A$ y $B$ son independientes.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio cuyas probabilidades dependen de un parámetro $x$: $P(A) = \frac{x}{2}$, $P(B) = \frac{x}{3}$ y $P(A \cap B) = \frac{x}{6}$.

Sabiendo que los eventos $A$ y $B$ no son exhaustivos (es decir, $P(A \cup B) < 1$), determiná el intervalo de valores posibles para el parámetro $x$. Para $x = 1,2$, calculá $P(\overline{A} \cup \overline{B})$.

Demostrá, utilizando exclusivamente los axiomas de Kolmogorov y las propiedades de las operaciones con eventos (como $A \cup B = A \cup (B \cap \overline{A})$ siendo estos últimos incompatibles), la fórmula general para la probabilidad de la unión de tres eventos cualesquiera $A$, $B$ y $C$:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Demostrá formalmente la siguiente generalización de las Leyes de Morgan para tres eventos utilizando exclusivamente las propiedades de las operaciones con conjuntos y los axiomas de la probabilidad:

Posteriormente, utilizá este resultado para resolver el siguiente problema: En una empresa de desarrollo de software, el $60\%$ de los empleados domina Python, el $40\%$ Java y el $30\%$ C++. Se sabe que el $20\%$ domina Python y Java, el $15\%$ Java y C++, y el $10\%$ Python y C++. Si solo el $5\%$ domina los tres lenguajes, calculá la probabilidad de que un empleado elegido al azar no conozca ninguno de estos tres lenguajes de programación.

En una red de sensores IoT, dos sensores $S_1$ y $S_2$ detectan anomalías térmicas de forma independiente. La probabilidad de que el sensor $S_1$ detecte una anomalía es $P(S_1) = x$ y la del sensor $S_2$ es $P(S_2) = y$.

Se define un nuevo evento $Z$ como el hecho de que la anomalía sea detectada por al menos uno de los dos sensores. Si sabemos que $P(Z) = 0,8$ y que la probabilidad de que ambos sensores fallen simultáneamente es el cuádruple de la probabilidad de que ambos acierten, planteá un sistema de ecuaciones y calculá los valores de $x$ e $y$ (suponiendo $x < y$).

Dos jugadores, Ana y Blas, lanzan alternativamente una moneda equilibrada. Gana el primero que obtenga "Cara". Ana lanza primero. Define el espacio muestral infinito de este experimento y, utilizando la suma de una progresión geométrica, calcula la probabilidad que tiene Blas de ganar el juego (es decir, que la primera "Cara" salga en un lanzamiento par).