Cálculo de límites

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, identifica de forma visual el valor de los siguientes límites:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcula los límites laterales de la función $f(x) = \frac{3}{x - 5}$ en el punto donde se anula el denominador. Para ello, estudia la tendencia de $f(x)$ al acercarte por la izquierda y por la derecha, fijándote en el signo del numerador y del denominador:

1. a) $\lim_{x \to 5^-} \frac{3}{x - 5}$

1. b) $\lim_{x \to 5^+} \frac{3}{x - 5}$

El esquema muestra los ejes, la asíntota vertical $x=5$ y el sentido en que nos acercamos a ella por cada lado:

Calculá el límite en el infinito de la siguiente función polinómica, que representa la evolución de las ganancias de una startup tecnológica (en miles de pesos) a lo largo del tiempo $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} ( -80x^3 + 2.000x^2 - 4.000 )$$

Indicá cuál es el término dominante y justificá por qué el signo del coeficiente principal determina el comportamiento final de la función.

Un servidor de videojuegos gestiona el número de jugadores conectados mediante la función $P(x) = \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$, donde $x$ es el tiempo en horas desde el lanzamiento de un evento. Calcula el límite de jugadores cuando el tiempo tiende a infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$$

En un laboratorio de química, la concentración de un reactivo en una mezcla (en mg/l) sigue la función $C(t) = \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$, siendo $t$ el tiempo en minutos. Determina a qué valor tiende la concentración a largo plazo calculando:

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$$

En el estudio de la propagación de una noticia en redes sociales, se estima que el número de usuarios alcanzados $U$ (en miles) tras $t$ horas sigue la expresión:

$$U(t) = \frac{5t^2 - 3t + 2}{2t^2 + \sqrt{t^4 + 1}}$$

Calcula el límite de usuarios alcanzados cuando el tiempo crece indefinidamente ($t \to +\infty$). ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Justifica tu respuesta comparando los grados de los términos dominantes.

Resolvé la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ simplificando la fracción mediante la factorización de los polinomios (podés usar productos notables o el esquema de Ruffini):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

La altitud de un dron de reconocimiento (en metros) respecto a la distancia horizontal $x$ recorrida viene dada por la función $h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Aunque el dron no puede estar físicamente en la posición $x = 3$ por una restricción del software, calcula el límite de la altitud cuando se aproxima a dicho punto:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Un sensor de precisión en un laboratorio de nanotecnología mide la fuerza de atracción entre dos partículas. La intensidad de la señal $S$ en función de la distancia $x$ (en nanómetros) viene expresada por la siguiente función:

$$S(x) = \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$$

La figura muestra la gráfica de $S(x)$: para $x=4$ la función no está definida (punto con el círculo vacío).

Calcula el valor al que tiende la señal cuando la distancia $x$ se aproxima a $4$ nanómetros. Explica qué técnica matemática has utilizado para resolver la indeterminación.

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\infty - \infty$ mediante el uso de la expresión conjugada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$$

Representa gráficamente de forma esquemática qué significa este resultado respecto a la distancia entre la función radical y la recta $y = x$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un satélite describe una trayectoria cuya distancia radial al centro de un planeta, en miles de kilómetros, viene dada por $d(x) = \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - 1}$, donde $x$ representa el tiempo de misión. Sabiendo que al cabo de mucho tiempo ($x \to +\infty$) la distancia se estabiliza en $4$ mil kilómetros, determina el valor de la constante orbital $a$.

El crecimiento de una población de aves en una reserva natural protegida se rige por la siguiente ley de capitalización compuesta continua idealizada:

$$P(t) = \left( \frac{3t + 5}{3t - 2} \right)^{2t}$$

Calcula el límite de la población cuando el tiempo $t$ tiende a infinito. Expresa el resultado en función del número $e$.

Un servidor de videojuegos multijugador ha detectado que el número de usuarios activos, $N(t)$, en miles, sigue un modelo de crecimiento de tipo exponencial en función del tiempo $t$ (en meses) definido por la expresión:

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calcula el límite de usuarios activos cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$). ¿Se estabiliza la población de jugadores en un valor finito o crece indefinidamente?

Estudia el comportamiento de la función $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ cuando $x$ se aproxima a cero. Para ello, calcula:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Explica por qué este límite da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ y resuelve utilizando logaritmos neperianos o la fórmula específica para este tipo de límites.

Calcula el valor del límite de la siguiente sucesión, que aparece con frecuencia en problemas de interés compuesto continuo y probabilidad:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right)^n$$

Nota: Este ejercicio requiere un tratamiento cuidadoso de la indeterminación interna antes de evaluar la potencia general.

Dada la función racional que depende de un parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Halla el valor de $k$ para que el límite $\lim_{x \to 2} f(x)$ sea finito. Una vez encontrado dicho valor, calcula el valor del límite.

Se considera la función $f(x)$ definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{2x + a} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

Calcula el valor del parámetro $a$ para que exista el límite de la función en el punto $x = 3$. ¿Cuál es el valor de dicho límite?

Sea la función $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$.

1. a) Calcula el valor de $k$ para que el límite de la función cuando $x \to 2$ sea finito.

1. b) Una vez hallado $k$, calcula dicho límite.

1. c) Clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función en $x = 2$ y en $x = -2$.

Basándote en la comparación de órdenes de infinitud, determina el valor de los siguientes límites sin realizar operaciones complejas:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

Calcula el valor de los siguientes límites comparando los órdenes de infinitud de las funciones involucradas (exponenciales, potencias y logaritmos):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^{10} + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$

Calcula el valor del siguiente límite aplicando la comparación de infinitos o la Regla de L'Hôpital, analizando detalladamente el orden de magnitud de cada término:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

¿Qué término domina el crecimiento de la función en el numerador y cuál en el denominador?

Calcula el límite en el punto $x = 0$ de la siguiente expresión trigonométrica, utilizando infinitésimos equivalentes o identidades trigonométricas conocidas:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \text{tg}(3x)}{\cos(x) - 1}$$

En el diseño de una nueva rampa para un skatepark, los ingenieros necesitan asegurar que la transición entre dos tramos de la pista sea suave (continua). La altura de la rampa $h(x)$ en metros viene dada por la siguiente función:

$$h(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + kx)}{x} & \text{si } x > 0 \\ \cos(x) + a & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Determina los valores de los parámetros $k$ y $a$ para que exista el $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x)$ y este sea igual a la altura inicial de la rampa, que es $2$ metros.

Determina razonadamente el valor de los parámetros $a$ y $b$ (siendo $a, b \in \mathbb{R}$) para que se verifique la siguiente igualdad de límites:

$$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - e^x}{x^2} = 3$$