Problemas de cónicas
La antena parabólica de una azotea de Montevideo, la órbita de un nanosatélite y el cable de un puente son curvas distintas, y en un problema real nadie te avisa cuál es. Dada una ecuación o un enunciado, tenés que decidir qué cónica aparece, sacar sus elementos y resolver. Este apartado junta todo el tema para practicar eso, con una pregunta: ¿cómo reconocés cada curva en pocos segundos?
Qué cónica es: mirá la ecuación
Todas las cónicas con ejes paralelos a los coordenados tienen una ecuación del tipo
$$Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \quad (\text{sin término } xy).$$Para sacar los elementos hay que completar cuadrados en $x$ y en $y$ por separado y llegar a la forma canónica.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos…
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos y el valor de su excentricidad.
Las formas canónicas y sus elementos
Una vez reconocida la curva, hay que leer sus elementos. Fijá estas convenciones, que se usan en toda la página:
¿Por qué $c^2 = a^2 - b^2$ en la elipse y $c^2 = a^2 + b^2$ en la hipérbola? En la elipse el punto $(0, b)$ está a distancia $a$ de cada foco (la suma de distancias es $2a$), y el triángulo rectángulo da $a^2 = b^2 + c^2$. En la hipérbola, $c$ es la hipotenusa del rectángulo de lados $a$ y $b$ que fija las asíntotas.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Lugares geométricos de puntos y rectas
Cuando el enunciado dice «los puntos que cumplen tal condición», se plantea siempre con un punto genérico $P(x, y)$, se escribe la condición con distancias y se simplifica.
Mediatriz de $AB$: los puntos con $d(P, A) = d(P, B)$. Al elevar al cuadrado desaparecen los cuadrados y queda una recta.
Bisectrices de dos rectas $r$ y $s$: los puntos con $d(P, r) = d(P, s)$. El valor absoluto da dos opciones (signo $+$ y signo $-$), que son las dos bisectrices.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma…
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo a las tres estaciones, halla las coordenadas del epicentro y el radio de la zona afectada (distancia a las estaciones).
Lugares geométricos que dan una cónica
Según la condición del enunciado aparece una curva distinta:
La última fila es la circunferencia de Apolonio. Veamos por qué.
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$.…
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$. Escribe su ecuación reducida.
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la…
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la ecuación de la trayectoria del dron, simplifícala e identifica qué tipo de curva geométrica describe.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y…
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y $B(4, 0)$ es igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cónica resultante, calcula su excentricidad y represéntala gráficamente.
Distancia a un foco y a una directriz
Hay una receta común a las cuatro cónicas: los puntos $P$ tales que $d(P, F) = e \cdot d(P, \text{directriz})$ con $e$ constante. Si $e < 1$ es una elipse, si $e = 1$ una parábola y si $e > 1$ una hipérbola. Este apartado amplía lo imprescindible, pero resuelve problemas enteros con un solo planteo.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical…
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical $x = 16$. Identifica la cónica resultante, halla sus semiejes y represéntala gráficamente ilustrando la propiedad de la directriz.
Problemas de contexto con varios pasos
Los problemas reales casi nunca dan $a$, $b$ o $p$. Hay que traducir el enunciado: elegir dónde poner los ejes, sacar los datos y recién ahí escribir la ecuación.
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta…
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta (periastro) es de $3 \text{ Mm}$ y la distancia máxima (apoastro) es de $9 \text{ Mm}$. Determina la ecuación de la órbita y su excentricidad, asumiendo que el centro de la elipse está en el origen y el eje focal coincide con el eje de abscisas.
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a…
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a $50 \text{ m}$ de altura sobre el suelo. Si la base de la torre tiene un ancho de $80 \text{ m}$, halla la ecuación de la hipérbola asumiendo que su centro coincide con el centro de la parte más estrecha.
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$…
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tablero del puente. El punto más bajo del cable se encuentra a $10 \text{ m}$ sobre el tablero. Determina la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30 \text{ m}$ del centro del puente.
Cónicas y rectas: cortes y posición
Para hallar los cortes de una recta con una cónica, sustituís la recta (despejando $x$ o $y$) en la ecuación de la cónica. Queda una ecuación de segundo grado cuyo discriminante $\Delta$ decide:
-
$\Delta > 0$: dos puntos (la recta es secante).
-
$\Delta = 0$: un punto doble (la recta es tangente).
-
$\Delta < 0$: ninguno (la recta es exterior).
Con la circunferencia hay un atajo: compará la distancia del centro a la recta con el radio. Si $d < r$ es secante, si $d = r$ es tangente y si $d > r$ es exterior.
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando…
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando ambos lugares geométricos y los puntos de corte.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación…
Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación $3x + 4y + k = 0$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el barco es detectado por el radar en algún momento de su trayectoria.
Rectas tangentes y propiedad reflectora
Tangente en un punto de la cónica. Si $P_0(x_0, y_0)$ está en la cónica, la tangente en $P_0$ se obtiene «desdoblando» la ecuación canónica:
Tangentes desde un punto exterior. Por un punto $P$ exterior a la curva pasan dos tangentes. El método: escribir una recta general que pase por $P$ y exigir que sea tangente (en la circunferencia, $d(\text{centro}, \text{recta}) = r$).
Propiedad reflectora de la parábola. Un rayo que sale del foco se refleja en la parábola en dirección paralela al eje. Justificación: en cada punto, la tangente forma ángulos iguales con el rayo que viene del foco y con la paralela al eje. Es la razón por la que los faros y las antenas parabólicas tienen esa forma.
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y…
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y ordenada positiva. Halla la ecuación de la recta tangente al espejo en dicho punto.
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación…
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Halla las ecuaciones de las dos trayectorias rectilíneas tangentes a la órbita desde la estación de control.
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de…
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Un rayo de luz sale de la bombilla, incide en la parábola en un punto de ordenada $y = 6$ y se refleja. Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de incidencia y halla el ángulo que forma el rayo incidente con dicha tangente.
Intersección entre dos cónicas
Para hallar los puntos comunes de dos curvas se resuelve el sistema formado por sus dos ecuaciones. Después hay que verificar cada solución en las dos ecuaciones: al elevar al cuadrado o al restar pueden aparecer soluciones falsas.
Dos circunferencias. Al restar sus ecuaciones desaparecen $x^2$ e $y^2$ y queda una recta, el eje radical. Es la recta que contiene a los puntos comunes (si los hay).
Otras parejas. Se despeja una incógnita (o una expresión) de una ecuación y se sustituye en la otra.
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las…
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.
Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la…
Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la ecuación del eje radical, demuestra analíticamente que las circunferencias son secantes y calcula la distancia exacta entre sus puntos de intersección.
Hipérbola equilátera con las asíntotas como ejes
Una hipérbola es equilátera si $a = b$. Si además sus asíntotas son los ejes de coordenadas, su ecuación es especialmente simple:
¿Por qué? Es la hipérbola $x'^2 - y'^2 = a^2$ girada $45°$ para que sus asíntotas pasen a ser los ejes.
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas.…
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas. Sabiendo que la partícula pasa por el punto $P(4, 2)$, resuelve:
- a) Halla la ecuación de la trayectoria.
- b) Determina las coordenadas exactas de los vértices y de los focos.
- c) Representa gráficamente la curva (en la figura tienes los ejes y el punto $P$; puedes copiarla en tu cuaderno).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Resumen
Volvé al principio: la antena, la órbita y el cable del puente son curvas distintas porque la ecuación (o la condición del enunciado) te dice cuál es: signos de $A$ y $C$, suma o diferencia de distancias, foco y directriz.