Integración por cambio de variable
Sabés derivar $\ln(x^2+1)$ y obtenés $\frac{2x}{x^2+1}$. ¿Y si te piden la integral de $\frac{x}{x^2+1}$? Hay que reconocer qué derivó de qué. Para eso sirve el cambio de variable: es la regla de la cadena leída al revés. Y la pregunta es qué cambio conviene hacer cuando la integral no se deja ver a simple vista.
Cadena al revés: reconocer $g(u(x))\cdot u'(x)$
La regla de la cadena dice que $\big(G(u(x))\big)' = G'(u(x))\cdot u'(x)$. Leída al revés: si el integrando tiene la forma $g(u(x))\cdot u'(x)$, su primitiva es $G(u(x))$, donde $G$ es una primitiva de $g$. Cambiar de variable es ponerle nombre a esa $u(x)$ para no perderla de vista.
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el…
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el cambio $t = x^2 + 3$:
$$\int 2x \cdot (x^2 + 3)^4 \, dx$$Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador…
Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador facilita la resolución:
$$\int \frac{e^x}{e^x + 4} \, dx$$Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde…
Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde el diferencial $dt$ consume parte de la expresión original.
Sustitución lineal
El caso más frecuente es que adentro haya algo del tipo $ax+b$. Entonces $u' = a$ es una constante y el cambio siempre sale.
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la…
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la integral de una potencia compuesta. Calcula la siguiente primitiva utilizando el cambio de variable $t = 3x - 5$:
$$\int (3x - 5)^7 \, dx$$En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente…
En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión utilizando la sustitución $u = \frac{x}{2}$:
$$\int e^{x/2} \, dx$$Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de tipo logarítmico de forma más estructurada.
El cambio explícito paso a paso
Cuando la estructura no se ve a simple vista, se nombra $u=u(x)$ por escrito y se sustituye todo, incluido el $dx$.
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar…
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar el siguiente cociente. Calcula la primitiva utilizando el cambio de variable $t = e^x$:
$$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} \, dx$$Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente…
Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente integral indefinida aplicando el cambio de variable $t = \ln x$:
$$\int \frac{1}{x(1 + \ln^2 x)} \, dx$$La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el…
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el instante inicial de la medición ($t=1$) el dron se encontraba en la posición $s=0$, obtén la función de posición $s(t)$ mediante el cambio de variable $u = \ln t$.
Cambios con raíces
En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la…
En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la siguiente integral. Utiliza el cambio de variable $t^2 = x + 3$ para calcular la familia de funciones primitivas de:
$$\int \frac{x}{\sqrt{x+3}} \, dx$$Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común…
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:
$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + 1} \, dx$$Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento de alta intensidad:
$$\int \frac{1}{x \sqrt{1+\ln x}} dx$$Para resolverla, propón un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada del denominador.
Cambios trigonométricos
Si aparecen $\operatorname{sen}x$ y $\cos x$, probá con $t=\operatorname{sen}x$ o $t=\cos x$: la derivada de una es (salvo el signo) la otra.
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente…
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable $t = \cos x$:
$$\int \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$$Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de…
Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de $\cos x$ utilizando la identidad fundamental de la trigonometría:
$$\int \cos^3 x \, dx$$En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por: $$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2…
En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por:
$$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x - 5\operatorname{sen} x + 6} dx$$Realiza el cambio de variable adecuado para transformar esta integral trigonométrica en una integral racional y resuélvela mediante descomposición en fracciones simples.
Exponenciales, logaritmos y cambios sucesivos
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y…
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y recuerda deshacer el cambio al finalizar el proceso.
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$. Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial…
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.
Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial $dx$ con cuidado.
Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado: $$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$ Indica…
Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado:
$$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$Indica paso a paso los dos cambios de variable sucesivos que realizarías para simplificar la expresión hasta convertirla en una integral inmediata.