Escalas no Sistema Solar
A Leonor quer desenhar o Sistema Solar numa folha de papel com $30\ \text{cm}$ de comprimento, com o Sol numa ponta e Neptuno na outra. Parece simples. Mas, quando tenta desenhar o Sol e a Terra com o tamanho certo, percebe que eles quase desaparecem. Porquê? Vais descobrir neste apartado e responder no fim.
O que é uma escala
Um modelo é uma representação simplificada da realidade. Num mapa, numa maqueta ou numa bola que representa o Sol, tudo o que é real aparece reduzido sempre pela mesma razão. Essa razão é a escala.
Porque é que a razão tem de ser a mesma para tudo? Porque só assim o modelo mantém as proporções: se o Sol no modelo é 100 vezes maior do que a Terra no modelo, também na realidade tem de ser 100 vezes maior. Isto é proporcionalidade direta.
Para comparar medidas, convém usar a mesma unidade (por exemplo, tudo em metros ou tudo em centímetros). No Sistema Solar, os números reais são enormes, por isso usa-se a notação científica: $1\ 400\ 000\ \text{km} = 1{,}4\times10^{6}\ \text{km}$.
Calcular tamanhos num modelo
Todos os cálculos com escalas seguem três passos: converter para a mesma unidade, calcular a escala (ou usá-la) e fazer a divisão ou a multiplicação.
Repara na ideia importante: o modelo mantém as proporções, mas a distância Terra–Sol é enorme comparada com o tamanho do Sol e da Terra.
Numa visita de estudo ao planetário, a turma do Salvador ficou a saber que é impossível representar o Sistema Solar à escala numa folha de papel. O professor propôs um…
Numa visita de estudo ao planetário, a turma do Salvador ficou a saber que é impossível representar o Sistema Solar à escala numa folha de papel. O professor propôs um modelo em que o Sol, cujo diâmetro real é de cerca de $1\ 400\ 000\ \text{km}$, é representado por uma bola com $20\ \text{cm}$ de diâmetro.
- a) Determina quantas vezes o modelo é mais pequeno do que a realidade (a escala do modelo).
- b) Calcula o diâmetro que a Terra, com cerca de $12\ 700\ \text{km}$ de diâmetro, teria neste modelo, e compara o resultado com o tamanho de uma cabeça de alfinete (cerca de $2\ \text{mm}$).
- c) Calcula a que distância da «bola-Sol» ficaria a «Terra» do modelo, sabendo que a distância real Terra–Sol é de $150\ 000\ 000\ \text{km}$. Exprime o resultado em metros.
- d) Com base nos resultados anteriores, explica por que razão os livros e os cartazes nunca representam o Sistema Solar com tamanhos e distâncias à mesma escala.
Modelo das distâncias: 1 ua = 1 m
As distâncias entre planetas são tão grandes que se usa a unidade astronómica (ua). Para fazer um modelo das distâncias, basta escolher: 1 ua representa 1 m.
Assim, a distância de cada planeta ao Sol (em ua) é igual ao seu afastamento no modelo (em metros). É uma proporcionalidade direta com constante $1\ \text{m/ua}$.
| Planeta | Mercúrio | Vénus | Terra | Marte | Júpiter | Saturno | Úrano | Neptuno |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Distância ao Sol (ua) | 0,4 | 0,7 | 1,0 | 1,5 | 5,2 | 9,5 | 19 | 30 |
| Distância no modelo (m) | 0,4 | 0,7 | 1,0 | 1,5 | 5,2 | 9,5 | 19 | 30 |
Para quem monta este modelo no pátio da escola, Neptuno fica a $30\ \text{m}$ do Sol, e os quatro planetas rochosos ficam todos nos primeiros $1{,}5\ \text{m}$.
E o tamanho dos astros, nesta mesma escala? A escala da distância é $1{,}5\times10^{11}\ \text{m} \to 1\ \text{m}$, ou seja, $1{,}5\times10^{11}$. Então:
-
Sol: $\dfrac{1{,}4\times10^{9}\ \text{m}}{1{,}5\times10^{11}} \approx 0{,}009\ \text{m} = 9\ \text{mm}$;
-
Terra: $\dfrac{1{,}27\times10^{7}\ \text{m}}{1{,}5\times10^{11}} \approx 8{,}5\times10^{-5}\ \text{m} \approx 0{,}09\ \text{mm}$, mais pequena do que um grão de pó.
O esquema seguinte representa o Sistema Solar, sem escala: os pontos sobre a linha correspondem aos oito planetas, por ordem de afastamento ao Sol, e os seus tamanhos…
O esquema seguinte representa o Sistema Solar, sem escala: os pontos sobre a linha correspondem aos oito planetas, por ordem de afastamento ao Sol, e os seus tamanhos sugerem apenas a comparação entre planetas pequenos e planetas grandes.
O quadro seguinte indica as distâncias médias dos planetas ao Sol.
| Planeta | Mercúrio | Vénus | Terra | Marte | Júpiter | Saturno | Úrano | Neptuno |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Distância média ao Sol (ua) | 0,4 | 0,7 | 1,0 | 1,5 | 5,2 | 9,5 | 19 | 30 |
- a) Identifica os planetas representados pelas letras A, B, C e D.
- b) Os oito pontos do esquema agrupam-se em quatro pequenos seguidos de quatro maiores. Que grupos de planetas estão assim representados? O que distingue a constituição desses dois grupos?
- c) Identifica a região X, assinalada a tracejado entre o quarto e o quinto planetas, e descreve o que nela se encontra.
Vantagens e limitações dos modelos
Nenhum modelo é perfeito. Convém saber o que ele ensina bem e o que ensina mal.
Vantagens de um modelo à escala:
-
permite «ver» e comparar o que é grande de mais ou longe de mais para a nossa experiência;
-
mostra proporções corretas (se medimos distâncias, as razões entre elas estão certas);
-
pode ser usado para medir, calcular e fazer previsões.
Limitações:
-
não é possível representar tamanhos e distâncias à mesma escala com materiais que caibam numa sala ou numa folha: ou os planetas ficam invisíveis, ou as distâncias não cabem;
-
os esquemas «sem escala» (como os dos manuais) mostram a ordem dos planetas e a diferença entre pequenos e grandes, mas dão uma ideia errada das distâncias, porque desenham os planetas muito juntos;
-
o modelo é estático: não mostra os movimentos (rotação e translação) nem a inclinação dos eixos.
Por isso, quando vês um esquema do Sistema Solar, convém perguntar sempre: «Isto está à escala? Em quê: tamanhos, distâncias ou ambos?»
Em resumo
Voltemos à Leonor: com $30\ \text{cm}$ para as distâncias, 1 ua ocupa $1\ \text{cm}$, e o Sol fica com cerca de $0{,}09\ \text{mm}$, quase invisível. A Terra seria ainda cem vezes mais pequena. Não é falta de jeito: é impossível.