Teorema del coseno

En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.

En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.

Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.

En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.

Lucía necesita calcular la distancia entre dos balizas, $B$ y $C$, conociendo las distancias desde su posición de observación $A$ ($b = AC = 6\text{ m}$ y $c = AB = 10\text{ m}$) y el ángulo que forman las visuales, $\widehat{A} = 120^\circ$. En su examen escribe el siguiente desarrollo:

1. a) Sin rehacer las operaciones numéricas al principio, razona geométricamente por qué el resultado de Lucía no puede ser correcto comparando la figura con un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ m}$ y $10\text{ m}$.
2. b) Localiza el error matemático concreto cometido por Lucía, explica qué propiedad de las razones trigonométricas no ha tenido en cuenta y calcula el valor correcto del lado $a$ redondeado a dos cifras decimales.

Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1.5 horas de vuelo?

En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.

Determina la medida del ángulo $B$ en un triángulo cuyos lados son $a=7$ cm, $b=8$ cm y $c=9$ cm.

En un campo de fútbol, un jugador se encuentra a 25 m de un poste de la portería y a 28 m del otro poste. Sabiendo que la portería tiene una anchura reglamentaria de 7.32 m, ¿bajo qué ángulo ve el jugador la portería de extremo a extremo?

Determina el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 6 cm.

En un triángulo de lados conocidos $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ y $c = 9\text{ cm}$, se desea hallar la amplitud de sus tres ángulos combinando el teorema del coseno con el teorema del seno para ahorrar tiempo de cálculo. Dos compañeros proponen estrategias distintas para el primer paso:

• Marcos propone: «Calculemos primero el ángulo menor, $\widehat{A}$, usando el teorema del coseno y, después, despejemos el ángulo mayor, $\widehat{C}$, mediante el teorema del seno».

• Sara rebate: «Es mucho más seguro calcular primero el ángulo mayor, $\widehat{C}$, mediante el teorema del coseno y, a partir de él, hallar $\widehat{A}$ con el teorema del seno».

1. a) Justifica matemáticamente cuál de los dos métodos es preferible y explica qué riesgo o ambigüedad matemática entraña el otro al emplear la función inversa $\operatorname{arcsen}$ en el intervalo $[0^\circ, 180^\circ]$.
2. b) Siguiendo la estrategia correcta, determina razonadamente si el triángulo es acutángulo u obtusángulo examinando únicamente el signo de $\cos \widehat{C}$, y calcula el valor de los tres ángulos del triángulo redondeados al grado más próximo.

Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.

Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125.5$ m y $CB = 180.2$ m, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcula la distancia $AB$.

En las maniobras de atraque en el puerto exterior de Ferrol, dos remolcadores tiran simultáneamente de un buque mercante aplicando fuerzas coplanarias de magnitudes fijas $|\vec{F}_1| = 50\text{ kN}$ y $|\vec{F}_2| = 70\text{ kN}$. Los cables de arrastre forman entre sí un ángulo $\alpha = 40^\circ$.

1. a) Estima razonadamente entre qué dos cotas extremas debe situarse el módulo de la fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ considerando las situaciones límite en que los cables tiraran en la misma dirección y sentido, o en sentidos opuestos.
2. b) Al representar la suma vectorial mediante la regla del paralelogramo, se obtiene un triángulo cuyos lados contiguos son $|\vec{F}_1|$ y $|\vec{F}_2|$, y cuyo tercer lado representa el vector resultante $\vec{R}$. Justifica geométricamente por qué el ángulo opuesto a $\vec{R}$ en dicho triángulo mide $180^\circ - \alpha = 140^\circ$, y no $40^\circ$.
3. c) Aplica el teorema del coseno para determinar el módulo exacto de la fuerza resultante $\vec{R}$ (en $\text{kN}$, redondeado a un decimal) y verifica la precisión de tu estimación.
4. d) Por exigencias de seguridad estructural del casco, la fuerza resultante total no puede superar los $105\text{ kN}$. Plantea la inecuación correspondiente y deduce el ángulo mínimo $\alpha$ que deben formar los cables de los remolcadores para no sobrepasar dicho límite.

Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.

En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.

Demuestra algebraicamente que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente relación:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.

Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantea un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.

Se proyecta una cercha triangular de acero para el tejado de una nave industrial. Dos de las barras estructurales tienen longitudes fijas de $b = 5\text{ m}$ y $c = 8\text{ m}$.

1. a) Escribe una inecuación en función de la longitud del tercer lado, $a$, que garantice que el ángulo $\widehat{A}$ comprendido entre las dos barras dadas sea estrictamente obtuso ($90^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$). Determina el intervalo de valores reales posibles para la longitud $a$.
2. b) Supón ahora que se modifica el pliego de condiciones fijando la barra $a = 7\text{ m}$ y el ángulo $\widehat{A} = 60^\circ$, manteniendo $c = 8\text{ m}$, pero dejando la longitud de la barra $b$ como incógnita a dimensionar. Plantea la ecuación de segundo grado que debe cumplir $b$ aplicando el teorema del coseno.
3. c) Resuelve la ecuación obtenida, comprueba si las soluciones halladas son geométricamente viables mediante la desigualdad triangular y explica por qué este caso proporciona dos configuraciones triangulares distintas y válidas con los mismos datos iniciales.

Dos tramos rectos de una senda homologada en la comarca de Cazorla miden $b = 7\text{ km}$ y $c = 8\text{ km}$, y se bifurcan formando un ángulo $\widehat{A} = 58^\circ$. El comité del parque quiere trazar un camino recto directo que conecte los dos extremos libres (lado $a$).

1. a) Antes de realizar ningún cálculo con calculadora: teniendo en cuenta que $58^\circ$ es muy próximo a $60^\circ$ y que los lados son casi iguales ($7\text{ km}$ y $8\text{ km}$), haz una estimación razonada de cuánto medirá aproximadamente el lado $a$. ¿Entre qué dos valores extremos debe encontrarse obligatoriamente por la desigualdad triangular?
2. b) Aplica el teorema del coseno con $\cos(58^\circ) \approx 0.530$ para calcular la longitud exacta de $a$ redondeando a dos cifras decimales.
3. c) Contrasta tu estimación previa con el resultado obtenido y justifica si el valor es físicamente verosímil.

Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema del coseno en el triángulo formado por las mitades de dos diagonales y una arista del cubo.