Estudiar una función

Calcula el dominio de definición de la función irracional $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

A partir de una función cuya gráfica está formada por dos tramos continuos:

• El primer tramo va desde el punto $(-3, 2)$ (incluido) hasta el punto $(1, 4)$ (no incluido), y tiene un máximo relativo en $(-1, 5)$.

• El segundo tramo va desde el punto $(1, -1)$ (incluido) hasta el punto $(8, 3)$ (incluido), y tiene un mínimo relativo en $(4, -2)$.

Determina su dominio y su recorrido.

Halla el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.

Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.

Marcos tiene que estudiar los puntos de corte con los ejes de la función racional $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. En su examen escribe el siguiente procedimiento:

«1. Corte con el eje $Y$: calculo $f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2$, luego la gráfica corta en el punto $(0, 2)$.

1. Cortes con el eje $X$: resuelvo $f(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ y $x = -2$. Por tanto, la gráfica corta al eje $X$ en dos puntos: $(2, 0)$ y $(-2, 0)$».

1. a) Localiza el error conceptual cometido por Marcos: ¿qué paso fundamental del guion de estudio de una función ha omitido antes de buscar los cortes y por qué ese olvido invalida una de sus conclusiones?
2. b) Determina el dominio real de la función $f(x)$ y escribe la lista corregida de los puntos de corte que verdaderamente existen.
3. c) A partir de lo anterior, razona si en el punto $x = 2$ existe una asíntota vertical o si la función presenta otro comportamiento, simplificando la fórmula para $x \neq 2$.

Para estudiar si la función racional $g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 9}$ presenta algún tipo de simetría (par, impar o ninguna), tres estudiantes proponen caminos diferentes:

• Alba propone comprobarlo mediante valores numéricos: calcular pares de imágenes opuestas como $g(1)$ y $g(-1)$, $g(2)$ y $g(-2)$, $g(4)$ y $g(-4)$, y comprobar si coinciden o cambian de signo.

• Bruno propone aplicar la definición algebraica formal: sustituir $x$ por $-x$, calcular la expresión de $g(-x)$, simplificarla y compararla directamente con $g(x)$ y con $-g(x)$.

• Carlos propone descomponer la función: analizar por separado que el numerador es una función impar y el denominador es una función par, y deducir la simetría global aplicando una regla de signos análoga a la multiplicación y división de números.

1. a) Analiza con sentido crítico los tres métodos: ¿cuál o cuáles constituyen una demostración matemática válida para todos los números del dominio y cuál solo sirve como indicio o comprobación experimental?
2. b) Aplica el método algebraico de Bruno para demostrar con rigor qué simetría posee $g(x)$.
3. c) Explica detalladamente de qué forma el resultado de la simetría te permite ahorrar la mitad del trabajo al estudiar las asíntotas verticales y el signo de la función en su dominio.

A partir de la siguiente gráfica, indica los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) y las coordenadas de sus extremos relativos.

Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$

La posición de un objeto en movimiento rectilíneo viene dada por la función $e(t) = 5t^2 + 2t$, donde $e$ es el espacio en metros y $t$ el tiempo en segundos. Calcula la velocidad media (tasa de variación media) en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$, e indica en qué intervalo el objeto se movió más rápido.

Expresa la función con valor absoluto $f(x) = |2x - 4|$ como una función definida a trozos y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

A partir de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$, obtén la expresión analítica como función a trozos de $g(x) = |x^2 - 4x|$. Representa mentalmente la situación y determina los intervalos de concavidad y convexidad de $g(x)$.

Dada la siguiente función definida a trozos, estudia su dominio, su continuidad, sus puntos de corte con los ejes y sus intervalos de monotonía:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$

A partir de los registros de una estación de la AEMET situada en la meseta castellana durante un día despejado de otoño, la temperatura $T$ (en grados Celsius, ºC) a lo largo de las $24$ horas del día viene modelizada por la función cuadrática:

$T(t) = -0.05 \times (t - 15)^2 + 14$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde la medianoche ($0 \leq t \leq 24$).

1. a) Justifica cuál es el dominio de definición de esta función atendiendo al contexto físico del problema.
2. b) Sin necesidad de derivar, a partir de la estructura del vértice de la parábola, identifica razonadamente el intervalo de horas en el que la temperatura asciende, el intervalo en el que desciende y las coordenadas completas $(t, T)$ del extremo relativo (máximo diario).
3. c) Calcula la tasa de variación media (TVM) de la temperatura en el tramo de la mañana comprendido entre las $t = 7$ horas y las $t = 11$ horas. Interpreta el significado real del signo y de las unidades de la magnitud obtenida.
4. d) Plantea y resuelve la ecuación necesaria para averiguar si en algún momento de la jornada se alcanzaron los $0$ ºC (puntos de corte con el eje horizontal de las horas).

Un proyectil es lanzado hacia arriba y sigue una trayectoria descrita por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, donde $h$ es la altura en metros y $t$ el tiempo en segundos desde el lanzamiento. Determina el dominio de la función restringido a la duración real del vuelo (hasta que impacta contra el suelo), la altura desde la que fue lanzado, la altura máxima que alcanza y el tiempo total de vuelo.

En un triángulo isósceles de base $12$ cm y altura $10$ cm, se inscribe un rectángulo cuya base $x$ descansa sobre la base del triángulo, como muestra la figura. Expresa el área del rectángulo en función de su base $x$ y determina el dominio de esta función en el contexto geométrico del problema.

Considera la función racional $f(x) = \frac{6x - 2}{2x + 1}$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo preciso, realiza una estimación: cuando los valores de $x$ se hacen extremadamente grandes (por ejemplo, $x$ cercano a un millón), los términos independientes ($-2$ y $+1$) apenas influyen en el resultado. Teniendo esto en cuenta, ¿a qué valor numérico simple crees que se aproximarán las imágenes $f(x)$? ¿Qué recta sospechas que será la asíntota horizontal?
2. b) Comprueba numéricamente si tu estimación era acertada calculando con exactitud los valores de $f(10)$, $f(100)$ y $f(1\,000)$ (redondea con tres cifras decimales si es necesario).
3. c) A partir de tus comprobaciones, deduce la ecuación de la asíntota horizontal tanto cuando $x \to +\infty$ como cuando $x \to -\infty$, y explica qué información visual aporta esta asíntota sobre el trazado de la curva en los extremos del papel.

Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.

La función racional $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ pasa por el punto $(0, 1)$, tiene una asíntota vertical en la recta $x = 2$ y una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Plantea un sistema de ecuaciones y halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Describe el comportamiento de la función $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analizando su dominio, sus puntos de corte con los ejes, su simetría y sus asíntotas horizontales y verticales.

Demuestra analíticamente si la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ es simétrica par, impar o ninguna de las dos. A continuación, calcula sus puntos de corte con los ejes y determina las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.

Esboza en tu cuaderno la gráfica de una función $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Su dominio es $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

• Es una función con simetría impar.

• Tiene asíntotas verticales en $x = -2$ y $x = 2$, y una asíntota horizontal en $y = 0$.

• Presenta un máximo relativo en el punto $(-4, 1)$ y un mínimo relativo en $(4, -1)$.

• Pasa por el origen de coordenadas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.