Inecuaciones lineales con dos incógnitas: sistemas
Una pastelería de Comayagüela tiene 10 horas de preparación y 8 horas de horno por día, y hace dos tipos de tartas. ¿Qué cantidades de cada tipo puede producir sin pasarse de las horas disponibles? Con una incógnita, la solución de una inecuación era un intervalo de la recta. Con dos incógnitas ($x$ e $y$) la solución ya no entra en una recta: es una región del plano. Un sistema de varias inecuaciones recorta esa región hasta dejar, muchas veces, un polígono: la región factible. Vamos a resolver el problema de la pastelería a lo largo de la página.
Una inecuación con dos incógnitas es una región
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$,…
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ y $D(4, 0)$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Considera el siguiente sistema de inecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + y \le 6 \\ 2x + y \ge 4 \\ x \ge 0, \quad y \ge 0 \end{cases}$$ a) Estima: Sin dibujar los…
Considera el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
$$\begin{cases} x + y \le 6 \\ 2x + y \ge 4 \\ x \ge 0, \quad y \ge 0 \end{cases}$$- a) Estima: Sin dibujar los ejes ni realizar cálculos por escrito, observa las expresiones algebraicas e intuye razonadamente si los puntos $P(2, 3)$ y $Q(4, 3)$ pertenecerán a la región factible. Justifica tu predicción estimando mentalmente las sumas $x+y$ y $2x+y$ de cada punto frente a los valores límite $6$ y $4$.
- b) Comprueba: Sustituye formalmente las coordenadas de $P$ y de $Q$ en cada una de las inecuaciones del sistema para verificar si tu estimación era correcta.
- c) Valora: Representa gráficamente la región factible y confirma de forma visual que la posición de $P$ y $Q$ concuerda con lo que habías deducido.
Representar la región: la recta frontera y el semiplano
Para dibujar la región, primero se traza la recta frontera (como si fuera una igualdad) y después se decide, con un punto de prueba, qué lado sombrear. La recta se dibuja discontinua si la desigualdad es estricta ($<$ o $>$) y continua si incluye el igual.
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no…
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no pertenezcan.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Para resolver gráficamente la inecuación $x - 2y > 0$, Mateo realiza el siguiente procedimiento en su cuaderno: 1.º Dibuja la recta frontera $x - 2y = 0$ con trazo…
Para resolver gráficamente la inecuación $x - 2y > 0$, Mateo realiza el siguiente procedimiento en su cuaderno:
1.º Dibuja la recta frontera $x - 2y = 0$ con trazo continuo.
2.º Como punto de prueba para averiguar qué semiplano rayar, elige el origen de coordenadas $(0,0)$.
3.º Sustituye en la inecuación: $0 - 2 \times 0 > 0 \implies 0 > 0$, y razona: «Como la desigualdad es falsa, el origen no es solución; por tanto, la solución es el semiplano donde no está el origen, e incluyo la recta frontera porque es la que separa ambas regiones».
- a) Identifica y explica los dos errores conceptuales que ha cometido Mateo (uno respecto a la elección del punto de prueba y otro respecto al tipo de trazo de la recta frontera).
- b) Corrige el ejercicio: indica qué tipo de trazo corresponde a la frontera, elige un punto de prueba adecuado que no pertenezca a la recta (justificando tu elección) y determina con claridad qué semiplano es la solución.
Sistemas: la región factible y sus vértices
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante. Puedes hacerlo…
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los…
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los vértices de la región resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Armar un sistema a partir de una región
Si le dan un polígono con sus vértices, cada lado es un tramo de una recta frontera. Para cada lado: halle la ecuación de la recta que pasa por dos vértices consecutivos y elija el sentido de la desigualdad con un punto interior (por ejemplo, un vértice no usado). El sistema es el conjunto de todas esas inecuaciones.
Con una sola recta es igual: con dos de sus puntos halla la ecuación y elige el sentido de la desigualdad según el lado sombreado que contiene al punto de prueba.
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos…
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ y que la región incluye el origen de coordenadas.
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el…
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el sistema de inecuaciones que define dicha región, sabiendo que sus vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(2, 3)$.
En un plano de ordenación urbana se ha delimitado una zona verde triangular cuyos vértices exactos son $A(0, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(2, 5)$. a) Obtén la ecuación general o…
En un plano de ordenación urbana se ha delimitado una zona verde triangular cuyos vértices exactos son $A(0, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(2, 5)$.
- a) Obtén la ecuación general o implícita ($ax + by = c$) de cada una de las tres rectas que contienen a los lados del triángulo (lados $AB$, $AC$ y $BC$).
- b) Escribe un sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas cuya región factible coincida exactamente con el interior y los lados de dicho triángulo.
- c) Justifica cómo has decidido el sentido de cada desigualdad ($\le$ o $\ge$) comprobando que las coordenadas de un punto interior evidente (como el punto $(2, 2)$) satisfacen simultáneamente las tres inecuaciones planteadas.
Problemas: plantear el sistema desde un enunciado
Lo más útil de este apartado es modelar situaciones con recursos limitados (horas, libras, presupuesto en lempiras, aforo) mediante un sistema de inecuaciones, y hallar la región factible. Volvamos a la pastelería.
Respuesta al problema del comienzo: la pastelería puede producir cualquier combinación $(x, y)$ de tartas que sea un punto de este cuadrilátero.
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de…
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de preparación y $2$ horas de horneado. Se dispone de un máximo de $10$ horas de preparación y $8$ horas de horneado al día. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación (considerando que las cantidades no pueden ser negativas) y representa gráficamente la región de posibles producciones diarias.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para sembrar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $500$ lempiras por hectárea y la de cebada $750$ lempiras por hectárea.…
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para sembrar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $500$ lempiras por hectárea y la de cebada $750$ lempiras por hectárea. El presupuesto máximo para semillas es de $30\,000$ lempiras. Además, por normativas ambientales, la superficie de cebada no puede superar el doble de la superficie de trigo. Escriba el sistema de inecuaciones asociado y encuentre los vértices de la región factible.
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad…
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad para $5$ toneladas. Por restricciones de personal, no se pueden enviar más de $10$ vehículos en total. Plantea el sistema de inecuaciones que determina el número de camiones de cada tipo que se pueden utilizar y halla analíticamente los vértices de la región solución.
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$…
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$ minutos. Cada ejercicio de fuerza dura $5$ minutos y cada uno de cardio $10$ minutos. Además, el número de ejercicios de fuerza debe ser al menos igual al número de ejercicios de cardio. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente.
Regiones no acotadas, vacías y casos especiales
Cuando hay un parámetro (por ejemplo $y\ge k$), se mueve la recta frontera según $k$ y se analiza para qué valores cambia la cantidad de vértices o la región queda vacía. Del mismo modo, si el lado derecho de una restricción se modifica, el área se calcula con los vértices que dependen del parámetro.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.
Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada…
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada y determina las coordenadas de los vértices que posee esta región.
Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región…
Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región factible. ¿Para qué valores de $k$ la región factible se reduce al conjunto vacío?
Hallar el máximo o el mínimo: la función objetivo
Muchas veces no alcanza con saber qué producciones son posibles: interesa la mejor. Eso se mide con una función objetivo, una expresión lineal como $G=ax+by$ (ganancia, costo, cantidad de carros…) que se quiere maximizar o minimizar sobre la región factible.
A veces el problema fija una de las variables. Entonces la solución es un tramo de una recta (una "rebanada" de la región) y se resuelve reemplazando.
Una empresa de alquiler de vehículos dispone de carros y furgonetas. El mantenimiento diario de un carro cuesta $250$ lempiras y el de una furgoneta $500$ lempiras. El…
Una empresa de alquiler de vehículos dispone de carros y furgonetas. El mantenimiento diario de un carro cuesta $250$ lempiras y el de una furgoneta $500$ lempiras. El presupuesto diario para mantenimiento no supera los $7\,500$ lempiras. El estacionamiento tiene capacidad máxima para $20$ vehículos. Determine la región factible y halle el número máximo de furgonetas que pueden mantenerse si se tienen exactamente $5$ carros.
Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad…
Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad y rentabilidad, el número de entradas estándar no puede superar el triple de las entradas VIP. Además, los organizadores exigen que se vendan al menos $1000$ entradas VIP. Escribe el sistema de inecuaciones, halla los vértices de la región factible y determina algebraicamente si es posible vender exactamente $1500$ entradas VIP y $4000$ estándar.
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de…
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de ensamblaje. Los trabajadores pueden dedicar un máximo de $40$ horas semanales al corte y $60$ horas al ensamblaje. Además, por un contrato previo, se deben fabricar al menos $5$ mesas semanales y el número de sillas no puede ser inferior al número de mesas. Plantea el sistema de inecuaciones, represéntalo y halla todos los vértices de la región factible.