Conjuntos numéricos

Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos numéricos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ pertenecen (ten en cuenta que un número puede pertenecer a varios conjuntos a la vez):

$-5$, $3.14$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $0,\widehat{3}$, $\frac{4}{2}$.

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta:

1. a) Todo número entero es un número racional.
2. b) El número $0$ es un número irracional.
3. c) Todos los números decimales se pueden expresar como fracción.

En una clase de Física se miden o utilizan diferentes magnitudes para un experimento: la masa de una partícula $m = 2.5 \times 10^{-3}$ kg, el período de un péndulo $T = 2\pi$ s, el número de oscilaciones $n = 15$, la variación de temperatura $\Delta \theta = -4^\circ$C y la energía $E = \sqrt{2}$ J. Clasifica los valores numéricos exactos de estas medidas según el conjunto numérico más restrictivo (el más pequeño) al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$).

Obtén la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales:

1. a) $2.45$
2. b) $1,\widehat{6}$
3. c) $0.1\widehat{25}$

Hugo tiene que hallar la fracción generatriz del número decimal $2.1\widehat{45}$ y escribe en su cuaderno lo siguiente:

«Llamo $x = 2.1454545\ldots$

Como el período tiene dos cifras, multiplico por $100$:

$100x = 214.54545\ldots$

Ahora resto ambas expresiones para quitar los decimales:

$100x - x = 214.54545\ldots - 2.1454545\ldots = 212.4$

Por tanto, $99x = 212.4 \implies x = \frac{212.4}{99} = \frac{2124}{990} = \frac{118}{55}$.

Como he obtenido una fracción de números enteros, el resultado es correcto».

1. a) Explica cuál es el error de concepto en el método que ha seguido Hugo. Fíjate en la resta que realiza: ¿se cancela realmente la parte periódica infinita o queda distorsionada?
2. b) Corrige su resolución explicando qué potencias de $10$ deben utilizarse para alinear de forma exacta los períodos y escribe el procedimiento paso a paso.
3. c) Obtén la fracción generatriz irreducible correcta y compárala con la de Hugo. ¿Coinciden por casualidad o el resultado de Hugo era incorrecto?

Una empresa divide una ganancia de $1000$ lempiras entre $3$ socios en partes iguales. El programa de contabilidad trunca el resultado y transfiere $333.33$ lempiras a cada cuenta.

1. a) Exprese la cantidad exacta que corresponde a cada socio utilizando fracciones.
2. b) Calcule el error absoluto total que comete la empresa al usar la aproximación decimal para los tres socios en lugar del valor exacto.

En la figura se muestra la construcción geométrica de un número sobre la recta real utilizando un triángulo rectángulo y un arco de circunferencia.

1. a) Identifica qué número real exacto representa el punto $P$ sobre el eje horizontal.
2. b) Clasifica dicho número en los conjuntos numéricos.
3. c) Demuestra analíticamente su valor aplicando el teorema de Pitágoras.

Quieres demostrar de forma rigurosa que el número $x = \sqrt{2} + \sqrt{5}$ es un número irracional. En tu grupo de trabajo surgen tres propuestas distintas:

• Método 1 (Aproximación decimal): Calcular $\sqrt{2} \approx 1.4142\ldots$ y $\sqrt{5} \approx 2.2360\ldots$, sumar las cifras obtenidas y observar que la parte decimal resultante no presenta repetición periódica alguna.

• Método 2 (Reducción al absurdo aislando un radical): Suponer que $\sqrt{2} + \sqrt{5} = q$ con $q \in \mathbb{Q}$, transformar la igualdad en $\sqrt{5} = q - \sqrt{2}$, elevar ambos miembros al cuadrado y despejar $\sqrt{2}$ para analizar la naturaleza de la igualdad resultante.

• Método 3 (Elevación directa al cuadrado): Elevar directamente al cuadrado la suma para obtener $(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{10}$, y afirmar que como la suma contiene $\sqrt{10}$, el número original debe ser irracional.

1. a) Analiza críticamente el Método 1: ¿constituye una demostración matemática válida? Justifica por qué el uso de aproximaciones finitas jamás puede demostrar la ausencia de periodicidad en los infinitos decimales de un número.
2. b) Evalúa el Método 3: explica qué fallo de implicación lógica comete (¿es cierto que si $x^2$ es irracional, entonces $x$ es irracional?, ¿y se ha demostrado ya formalmente que $\sqrt{10}$ es irracional?).
3. c) Aplica y desarrolla por completo el Método 2: redacta la demostración formal por reducción al absurdo, detallando cada paso algebraico y explicando con precisión matemática la contradicción final a la que se llega.

Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes utilizar su expresión decimal aproximada:

$3.14$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $3.1\widehat{4}$, $\frac{22}{7}$

Considera el número real $N = \sqrt{10} + \sqrt{26}$.

1. a) Estima: sin utilizar la calculadora, acota cada una de las raíces entre dos números enteros consecutivos a partir de los cuadrados perfectos más cercanos. Con esa información, deduce entre qué dos números enteros tiene que encontrarse el valor de $N$.
2. b) Comprueba: tomando las aproximaciones con tres cifras decimales $\sqrt{10} \approx 3.162$ y $\sqrt{26} \approx 5.099$, calcula el valor aproximado de $N$. ¿Es coherente el resultado obtenido con tu estimación previa?
3. c) Justifica razonadamente si $N$ pertenece al intervalo cerrado $[8, 9]$. A continuación, clasifica $N$ en el conjunto numérico más restrictivo posible ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$), justificando por qué ni $\sqrt{10}$ ni $\sqrt{26}$ pueden expresarse como números racionales.

Sin utilizar calculadora, determina si el resultado de las siguientes operaciones es un número racional o irracional, desarrollando las expresiones algebraicas:

1. a) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{12}$
3. c) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

Considera el número real $x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3}$.

Simplifica la expresión al máximo (pista: intenta expresar el radicando $7 - 4\sqrt{3}$ como un binomio al cuadrado perfecto) y determina a qué conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$) pertenece el valor exacto de $x$.

En una prueba escrita, se plantea la siguiente afirmación para razonar si es verdadera o falsa: «La suma de dos números irracionales cualesquiera es siempre un número irracional». Marcos responde:

«Es verdadera. Un número irracional tiene infinitos decimales que no siguen ningún patrón periódico. Al sumar dos números cuyas cifras decimales son aperiódicas, es imposible que las infinitas cifras se sincronicen mágicamente para formar un ciclo periódico que se repita. Por tanto, la suma tendrá siempre infinitos decimales sin período y pertenecerá a $\mathbb{I}$».

1. a) Localiza y explica el error conceptual de Marcos. ¿Por qué su intuición sobre la «suma de cifras que no pueden sincronizarse» carece de validez matemática?
2. b) Proporciona dos contraejemplos numéricos explícitos que desmientan la afirmación:

1. Dos números $x, y \in \mathbb{I}$ tales que su suma $x + y$ sea un número entero $\mathbb{Z}$.

2. Dos números $u, v \in \mathbb{I}$ tales que su producto $u \times v$ sea un número racional no entero (es decir, perteneciente a $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$).

1. c) Demuestra formalmente, utilizando el método de reducción al absurdo, la propiedad que sí se cumple siempre: «La suma de cualquier número racional $q \in \mathbb{Q}$ y cualquier número irracional $r \in \mathbb{I}$ es siempre un número irracional ($q + r \in \mathbb{I}$)».

Escribe en forma de intervalo y representa gráficamente en la recta real el siguiente conjunto de números:

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dados los intervalos $A = [-3, 4)$ y $B = (0, 7]$, determina en forma de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$

Determina exactamente qué números enteros pertenecen al intervalo $(-2.5; 3]$. Expresa el resultado utilizando notación de conjuntos con llaves.

Una reacción química es viable si la temperatura $T$ (en $^\circ$C) pertenece al intervalo $A = [-10, 45)$ y, simultáneamente, la presión obliga a que un parámetro de control de temperatura $k = \frac{T}{10}$ pertenezca al intervalo $B = (0, 5]$. Calcula el intervalo exacto de temperaturas $T$ para el cual la reacción es viable cumpliendo ambas condiciones a la vez.

Dados los conjuntos definidos en la recta real $A = (-\infty, 3k-1]$ y $B = [k+5, \infty)$, determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para el cual la intersección $A \cap B$ está formada por un único número real. Clasifica dicho número en los conjuntos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$.

Un analista deportivo modela el rendimiento óptimo de un atleta mediante la intersección de tres intervalos de tiempo de reacción (en segundos) obtenidos de diferentes estudios biomecánicos:

$I_1 = [0.15; 0.25]$

$I_2 = (0.18; 0.30)$

$I_3 = [0.20; \infty)$

1. a) Calcula el intervalo resultante de la intersección $I_1 \cap I_2 \cap I_3$.
2. b) Si el tiempo de reacción ideal absoluto debe ser un número irracional contenido estrictamente dentro de esa intersección, propón un valor exacto (usando raíces) que cumpla la condición.

En el diseño de un microchip, la tolerancia admisible para el grosor de una pista de silicio está dada por el conjunto $T = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1.25| \le 0.05\}$ en micrómetros.

1. a) Expresa este conjunto como un intervalo.
2. b) Determina si los grosores $x_1 = 1.30$ y $x_2 = 1.25 + \frac{\sqrt{2}}{100}$ cumplen con la tolerancia exigida.

Dados los conjuntos de números reales $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \le 0\}$ y $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 1\}$, halla los conjuntos resultantes de las operaciones $A \cup B$ y $A \cap B$. Expresa los resultados finales en forma de intervalo.

Encuentra un número racional y un número irracional que estén comprendidos estrictamente entre $1.5$ y $1.6$.

La propiedad de densidad de los números racionales establece que entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional. Demuestra esta propiedad encontrando tres números racionales distintos comprendidos estrictamente entre $\frac{4}{7}$ y $\frac{5}{7}$.

Sabiendo que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números racionales e irracionales, construye un número irracional $x$ que cumpla simultáneamente las siguientes dos condiciones:

1. a) $0.01 < x < 0.02$
2. b) En su desarrollo decimal infinito solo aparecen los dígitos $0$ y $1$.

Escribe al menos los primeros 12 decimales de tu número para dejar clara la regla de formación que garantiza su irracionalidad.