Función lineal y función afín. Polinomio de primer grado
Un taxi en Tegucigalpa cobra una tarifa de arranque y después una cantidad fija por cada kilómetro. ¿Cómo se escribe esa regla con una fórmula y qué dice cada número de ella? En esta página usted verá que una sola expresión, $mx + n$, describe todas las situaciones de este tipo.
El polinomio de primer grado como función
Según los valores de $m$ y $n$ hay tres casos:
Mueva $m$ y $n$ y observe qué cambia: $m$ inclina la recta y $n$ la sube o la baja.
Identifique la pendiente $m$ y la ordenada en el origen $n$ de las siguientes funciones lineales: a) $y = -4x + 7$ b) $y = \frac{2}{5}x$ c) $y = -3$
Identifique la pendiente $m$ y la ordenada en el origen $n$ de las siguientes funciones lineales:
- a) $y = -4x + 7$
- b) $y = \frac{2}{5}x$
- c) $y = -3$
Escriba la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada en el origen es $-2$.
Escriba la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada en el origen es $-2$.
Clasifique las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal estricta), función afín o función constante: a) $f(x) = 3x - 1$ b)…
Clasifique las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal estricta), función afín o función constante:
- a) $f(x) = 3x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x}{4}$
- c) $h(x) = 8$
Marcos tiene la función afín $f(x) = 3x + 4$ y necesita calcular la imagen de $x = 10$. Como sabe que $f(5) = 3 \times 5 + 4 = 19$, razona de la siguiente manera: «Dado…
Marcos tiene la función afín $f(x) = 3x + 4$ y necesita calcular la imagen de $x = 10$. Como sabe que $f(5) = 3 \times 5 + 4 = 19$, razona de la siguiente manera: «Dado que $10$ es el doble de $5$, el valor de $f(10)$ tiene que ser exactamente el doble de $19$, es decir, $f(10) = 38$».\na) Identifique el error conceptual de Marcos y explique por qué no es válido aplicar una regla de tres directa en este tipo de funciones.\nb) ¿Qué valor debería tener la ordenada en el origen $n$ para que el razonamiento de Marcos hubiera sido totalmente correcto?\nc) Calcule el valor real de $f(10)$ mediante su fórmula y compruebe algebraicamente cuántas unidades aumenta en realidad el valor de $y$ cuando $x$ se incrementa en $5$ unidades.
Considera la familia de funciones $f_k(x) = (2k - 4)x + (3k + 6)$, donde $k$ es un parámetro real fijo en cada caso.\na) Determina el valor de $k$ para el cual la…
Considera la familia de funciones $f_k(x) = (2k - 4)x + (3k + 6)$, donde $k$ es un parámetro real fijo en cada caso.\na) Determina el valor de $k$ para el cual la función es constante. Escribe su ecuación y describe la posición geométrica de su gráfica respecto a los ejes de coordenadas.\nb) Encuentra el valor de $k$ que convierte a $f_k$ en una función lineal (de proporcionalidad directa). ¿Cuál es el valor de su pendiente en este caso?\nc) Averigua analíticamente si existe algún valor de $k$ tal que la recta pase por el punto $A(2, 4)$ y, al mismo tiempo, la función resultante sea estrictamente creciente. Justifica con rigor tu conclusión.\nd) Para $k = 1$, halla los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas y calcula el área del triángulo que dicha recta determina junto con los ejes cartesianos.
Imágenes y antiimágenes
Calcular la imagen de $a$ es hallar $f(a)$: se reemplaza $x$ por $a$. Calcular la preimagen (antiimagen) de $b$ es hallar los $x$ tales que $f(x) = b$: hay que resolver la ecuación $mx + n = b$.
Esto sirve para hallar las intersecciones con los ejes. La intersección con el eje $y$ es $f(0) = n$: el punto $(0, n)$. La raíz (o cero) es la antiimagen de $0$: se resuelve $mx + n = 0$, o sea $x = -\dfrac{n}{m}$.
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 37.50x + 75$, donde $C(x)$ es el costo en lempiras y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará…
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 37.50x + 75$, donde $C(x)$ es el costo en lempiras y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará un viaje de $8$ kilómetros?
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Pertenencia de un punto al gráfico
Un punto $P(a, b)$ pertenece al gráfico de $f$ si y solo si $f(a) = b$. Se reemplaza y se compara.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Hallar la ecuación de la recta
Para escribir $y = mx + n$ se necesitan dos datos. Los casos más comunes:
Pendiente e intersección con el eje $y$: se escribe directo.
Pendiente y un punto $(x_0, y_0)$: se reemplaza en $y = mx + n$ y se despeja $n$.
Dos puntos: primero la pendiente, $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, y después $n$ como en el caso anterior.
¿Por qué? La pendiente mide cuánto sube $y$ por cada unidad que avanza $x$; en una recta ese cociente es el mismo entre cualquier par de puntos.
También se puede leer la recta de un gráfico: la intersección con el eje $y$ es donde corta a ese eje, y la pendiente se obtiene con dos puntos claros de la recta.
Rectas paralelas: tienen la misma pendiente. Rectas coincidentes: misma pendiente e igual intersección con el eje $y$. Para saber dónde se cortan dos rectas, se igualan sus fórmulas y se resuelve.
Para comprobar si una tabla de valores es de primer grado, se calcula $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre filas consecutivas: si siempre da lo mismo, es una recta.
Cuando el enunciado da condiciones como «la preimagen de $b$ es $c$» o «corta al eje $y$ por debajo del origen», cada una se traduce en un punto: $f(c) = b$ o $n < 0$.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
A partir de la siguiente representación gráfica, determine la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación de la recta.
A partir de la siguiente representación gráfica, determine la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación de la recta.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente…
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente gráfica.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el…
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el primer cuadrante.
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada en el origen es la mitad de la ordenada en el origen de $r$. Determine…
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada en el origen es la mitad de la ordenada en el origen de $r$. Determine la ecuación de la recta $s$.
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta…
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta (rectas coincidentes).
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de…
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de intersección de las rectas $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.
Se busca una función polinómica de primer grado $f(x) = mx + n$ que cumpla simultáneamente tres condiciones:\n1. Es una función afín decreciente.\n2. Corta al eje de…
Se busca una función polinómica de primer grado $f(x) = mx + n$ que cumpla simultáneamente tres condiciones:\n1. Es una función afín decreciente.\n2. Corta al eje de ordenadas $Y$ en un punto situado a $4$ unidades por debajo del origen de coordenadas.\n3. La preimagen de $2$ es igual a $-3$.\na) Determine de manera razonada los valores exactos de la pendiente $m$ y de la ordenada en el origen $n$, y escriba la expresión algebraica de $f(x)$.\nb) Justifique a partir del signo de la pendiente por qué la función es decreciente.\nc) Compruebe algebraicamente si el punto $Q(-6, 8)$ pertenece a la gráfica de esta función.
Se tiene la siguiente tabla de valores experimentales correspondientes a una función desconocida $f(x)$:\n$x$: $-3$, $1$, $3$, $7$\n$y$: $14$, $6$, $2$, $-6$\n\nPara…
Se tiene la siguiente tabla de valores experimentales correspondientes a una función desconocida $f(x)$:\n$x$: $-3$, $1$, $3$, $7$\n$y$: $14$, $6$, $2$, $-6$\n\nPara averiguar si la tabla se puede describir con una función de primer grado y hallar su fórmula, dos estudiantes proponen estrategias distintas:\n- Método de Lucía: Plantea un sistema de dos ecuaciones con incógnitas $m$ y $n$ usando las dos primeras filas. Luego sustituye los valores de $x$ de las otras dos filas para verificar si coinciden los valores de $y$.\n- Método de David: Calcula el cociente $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre cada fila y la siguiente; si todos dan el mismo resultado, asegura que la función es polinómica de primer grado, toma ese valor como pendiente $m$ y despeja $n$ con un punto cualquiera.\n\na) Compare ambos métodos y justifique cuál de ellos permite descartar antes que la función sea de primer grado en caso de que una de las filas contenga un error de medición.\nb) Utilice el método que considere más eficiente para demostrar si los datos corresponden a una recta. En caso afirmativo, clasifíquela razonadamente (lineal o afín) y halle su fórmula $f(x) = mx + n$.\nc) Sin calcular explícitamente el valor de $x$, razone a priori si la antiimagen de $-100$ será un número positivo o negativo basándose en las propiedades de la función obtenida. A continuación, calcúlela exactamente.
Modelizar con funciones de primer grado
Al leer un enunciado, busque primero si hay un valor fijo que no depende de $x$ (eso es $n$) y después cuánto cambia $y$ por cada unidad de $x$ (eso es $m$). Si hay valor fijo distinto de cero, la función es afín. Si el valor disminuye con el tiempo, $m$ es negativa.
Cuando hay costos e ingresos, se arman dos funciones y se estudia su diferencia (la ganancia). Si una condición dice "al menos", se resuelve una inecuación de primer grado: $G(x) \geq$ valor pedido.
Si dos magnitudes se relacionan linealmente, dos pares de valores alcanzan para hallar la fórmula (como en la conversión de grados Celsius a Fahrenheit). Y si $y = mx + n$ con $m \neq 0$, puede despejar $x$ y obtener la función inversa: por ejemplo, de $y = 2x + 3$ resulta $x = \dfrac{y - 3}{2}$. Con esa inversa, a partir de un valor de $y$ se halla directamente el $x$ que lo produce.
Las tarifas que cambian de regla después de cierto tiempo (como un estacionamiento) usan una función definida por partes: una fórmula afín para cada tramo, con la condición sobre $t$ al lado.
Un plomero cobra $750$ lempiras por el desplazamiento a domicilio, más $375$ lempiras por cada hora de trabajo. Escriba la expresión algebraica de la función que…
Un plomero cobra $750$ lempiras por el desplazamiento a domicilio, más $375$ lempiras por cada hora de trabajo. Escriba la expresión algebraica de la función que relaciona el costo con el tiempo trabajado y calcule cuánto cobrará por una reparación que le toma $3.5$ horas.
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de…
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de agua en el depósito con el tiempo transcurrido y calcula en qué minuto el depósito se vaciará por completo.
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a…
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, y hierve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Encuentra la función lineal que permite convertir grados Celsius ($x$) a grados Fahrenheit ($y$).
Una fábrica de tenis tiene costos fijos mensuales de $125\,000$ lempiras. Además, producir cada par de tenis cuesta $375$ lempiras. Si la empresa vende cada par a…
Una fábrica de tenis tiene costos fijos mensuales de $125\,000$ lempiras. Además, producir cada par de tenis cuesta $375$ lempiras. Si la empresa vende cada par a $1\,000$ lempiras, escriba las funciones de costo $C(x)$ e ingresos $R(x)$. ¿Cuántos pares de tenis deben vender al mes para obtener una ganancia de al menos $50\,000$ lempiras?
Un estacionamiento cobra $62.50$ lempiras por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $1.25$ lempiras por cada minuto adicional. Escriba…
Un estacionamiento cobra $62.50$ lempiras por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $1.25$ lempiras por cada minuto adicional. Escriba la función definida por partes $C(t)$ que representa el costo total en lempiras en función del tiempo $t$ en minutos que un vehículo está estacionado.
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0.2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de…
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0.2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de la función inversa $p(L)$ y utilízala para calcular qué peso se ha colgado si el muelle mide exactamente $22$ cm.
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la…
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la función $d(t)$ y calcula cuál fue la velocidad constante del ciclista durante el viaje de regreso.
La tarifa de un servicio de taxi urbano en una capital española se compone de una «bajada de bandera» fija de $1.80$ lempiras nada más comenzar el recorrido y un costo…
La tarifa de un servicio de taxi urbano en una capital española se compone de una «bajada de bandera» fija de $1.80$ lempiras nada más comenzar el recorrido y un costo de $1.15$ lempiras por cada kilómetro completado.\na) Escriba la expresión analítica de la función $C(x)$ que proporciona el costo total del viaje en lempiras en función de los kilómetros $x$ recorridos. Justifique si es una función lineal, afín o constante, e interprete qué representan la pendiente y la ordenada en el origen en el contexto del problema.\nb) Un cliente afirma: «Si hago un trayecto de $18$ km, pagaré exactamente el triple que si hago uno de $6$ km». Justifique matemáticamente si esta afirmación es verdadera o falsa calculando ambos importes.\nc) Si una persona dispone de un presupuesto máximo de $20$ lempiras, plantee y resuelva una ecuación o inecuación para determinar cuántos kilómetros completos (número entero) puede viajar como máximo.
Según mediciones meteorológicas del Servicio Meteorológico Nacional en la troposfera, la temperatura disminuye de manera uniforme aproximadamente $0.65$ °C por cada…
Según mediciones meteorológicas del Servicio Meteorológico Nacional en la troposfera, la temperatura disminuye de manera uniforme aproximadamente $0.65$ °C por cada $100$ m de incremento en la altitud. En Valle de Ángeles, pueblo situado a $1200$ m sobre el nivel del mar, el termómetro marca $17$ °C a mediodía.\na) Antes de formular ninguna ecuación, estime mentalmente qué temperatura aproximada habrá en el Parque Nacional La Tigra ($1860$ m de altitud): ¿estará más cerca de $12$ °C o de $15$ °C? Explique su razonamiento aproximando la diferencia de altitud a centenas enteras.\nb) Modele la temperatura mediante una función de primer grado $T(h) = mh + n$, donde $h$ es la altitud en metros. Determine razonadamente el valor de la pendiente $m$ (en °C/m) y el valor de la ordenada en el origen $n$.\nc) Calcule con la función matemática el valor exacto de la temperatura en el Parque Nacional La Tigra y compárelo con su estimación inicial para valorar si fue acertada.
Vuelva al principio: la tarifa de arranque del taxi es la intersección con el eje $y$, $n$, y el precio por kilómetro es la pendiente $m$. Con $C(x) = 15x + 30$, un viaje de $8$ km cuesta L 150.