Valor absoluto de un número real

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.

Determina qué valores reales de $x$ cumplen la ecuación $|x| = -5$ y justifica tu respuesta.

Resuelve la ecuación con valor absoluto: $|3x| = 12$.

Encuentra todos los valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación con dos valores absolutos: $|3x - 1| = |x + 5|$.

Resuelve la siguiente ecuación que contiene valores absolutos anidados: $||x - 2| - 5| = 3$.

Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -6$ y $B = 11$ utilizando el valor absoluto.

Halla todos los números reales $x$ tales que su distancia al punto $7$ es exactamente el doble de su distancia al punto $-2$.

Expresa la desigualdad $|x| \le 5$ en forma de intervalo.

Resuelve la inecuación $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ y representa la solución en forma de intervalo.

Resuelve la inecuación fraccionaria $\frac{3}{|x - 1|} \ge 2$.

Demuestra, utilizando la desigualdad triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que para cualesquiera números reales $a$ y $b$, se cumple la desigualdad $|a - b| \ge ||a| - |b||$.

En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo que $|y - 15| \le 1.5$ y $|t - 15| \le 2.5$, determina una cota superior para el error máximo posible $E$ utilizando las propiedades del valor absoluto, y encuentra el intervalo de valores posibles para la diferencia $y - t$.

Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.

Para resolver la inecuación $|2x - 3| \le |x + 3|$, dos estudiantes de bachillerato proponen caminos diferentes:

• Método A: Dividir la recta real en tres intervalos a partir de los puntos críticos que anulan cada valor absoluto ($x = -3$ y $x = 1.5$), reescribir la expresión sin barras en cada zona y resolver los tres sistemas resultantes.

• Método B: Como ambos miembros son no negativos para cualquier $x \in \mathbb{R}$, elevar ambos miembros al cuadrado obteniendo $(2x - 3)^2 \le (x + 3)^2$, y resolver mediante la factorización de una diferencia de cuadrados $(2x - 3)^2 - (x + 3)^2 \le 0$.

1. a) Aplique el Método B factorizando la diferencia de cuadrados (sin desarrollar los binomios al cuadrado) para hallar el conjunto de soluciones en forma de intervalo.
2. b) Justifique formalmente por qué el Método B es matemáticamente riguroso en este ejercicio y explique por qué dejaría de ser aplicable de forma directa si la inecuación fuese $|2x - 3| \le |x + 3| - 4$.
3. c) Compare la carga algebraica y el riesgo de error entre ambos métodos. ¿Cuál de los dos resulta más ventajoso para inecuaciones de la forma $|A(x)| \le |B(x)|$?

La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y los tramos constantes en la figura, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$, y escribe la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos sin usar valores absolutos.