Eventos compuestos

Lanzamos dos monedas al aire de forma independiente. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos cruces.

Lanzamos un dado cúbico equilibrado (con las caras numeradas del $1$ al $6$) y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el dado y una cara en la moneda?

Hacemos girar las dos ruletas independientes que se muestran en la figura. Calcula la probabilidad de que la primera ruleta marque el número $3$ y la segunda ruleta marque el color verde (V).

En una caja hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extrae una bola, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Halla la probabilidad de que ambas bolas sean rojas.

De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas consecutivamente sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que las dos cartas sean Reyes.

En un restaurante, el $60\%$ de los clientes pide menú del día y el $40\%$ pide a la carta. De los que piden menú, el $70\%$ toma postre. De los que piden a la carta, el $50\%$ toma postre. Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar pida menú del día y tome postre.

En una clase de 4º ESO hay $12$ chicos y $18$ chicas. Se sabe que $4$ chicos y $6$ chicas llevan gafas. Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica que lleva gafas?

En una calle hay dos semáforos independientes. La probabilidad de que el primero esté en verde es de $0.4$ y la probabilidad de que el segundo esté en verde es de $0.5$. Halla la probabilidad de encontrarse los dos semáforos en verde al pasar por esa calle.

Se extraen tres cartas consecutivamente y sin reemplazo de una baraja española de $40$ cartas. Calcule la probabilidad de obtener tres cartas del palo de oros.

En un centro deportivo se ofrecen clases de tenis y pádel. Hay $120$ socios inscritos en estas clases, y cada socio practica un solo deporte. Se sabe que $70$ socios juegan pádel y que hay $50$ mujeres en total. Además, $30$ mujeres juegan tenis. Si se elige un socio al azar, calcule la probabilidad de que sea un hombre que juega pádel.

En una caja hay $6$ bolígrafos azules y $4$ bolígrafos negros. Extraemos dos bolígrafos consecutivamente y sin reemplazo. Queremos calcular la probabilidad de que los dos bolígrafos extraídos sean del mismo color.

Sergio realiza la siguiente resolución:

«Como hay dos colores posibles, primero calculo la probabilidad de dos azules: $\frac{6}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{36}{100}$. Luego la de dos negros: $\frac{4}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{16}{100}$. Por último, como me sirve cualquiera de los dos casos, multiplico ambos resultados: $\frac{36}{100} \times \frac{16}{100} = 0.0576$, es decir, un $5.76\,\%$».

1. a) Identifique y explique los dos errores conceptuales que ha cometido Sergio: uno relativo a la dependencia entre etapas consecutivas y otro a la combinación de las ramas finales.
2. b) Corrija el planteamiento y calcule la probabilidad exacta de obtener dos bolígrafos del mismo color, en forma de fracción irreducible y como porcentaje.

Una urna contiene $x$ bolas blancas y $5$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Si sabemos que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es de $\frac{1}{6}$, plantea una ecuación de segundo grado y determina el número inicial de bolas blancas $x$ que había en la urna.

En una gaveta hay guardadas exactamente $10$ medias idénticas al tacto: $n$ de ellas son de color azul y las $10 - n$ restantes son de color gris. Una persona extrae a oscuras y de manera consecutiva dos medias sin reemplazamiento.

Sabiendo que la probabilidad de que las dos medias extraídas sean de distinto color es exactamente igual a $\frac{8}{15}$:

1. a) Modele el experimento como un evento compuesto de dos etapas consecutivas y escriba la expresión algebraica de dicha probabilidad en función de $n$.
2. b) Plantee una ecuación a partir del dato conocido y resuelva algebraicamente el valor de $n$ para determinar cuántas medias azules puede haber en la gaveta.
3. c) Interprete el hecho de obtener dos soluciones matemáticas distintas: ¿por qué tiene pleno sentido lógico en el contexto físico del problema que existan dos valores válidos para $n$?

Disponemos de dos urnas. La urna $A$ contiene $4$ bolas blancas y $2$ negras. La urna $B$ contiene $3$ bolas blancas y $5$ negras. Lanzamos una moneda equilibrada; si sale cara, extraemos una bola de la urna $A$, y si sale cruz, extraemos una bola de la urna $B$. Encuentre la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos máquinas. La máquina $M_1$ produce el $60\%$ de los componentes y la máquina $M_2$ el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de los componentes producidos por $M_1$ son defectuosos, mientras que el $5\%$ de los producidos por $M_2$ son defectuosos. Si se selecciona un componente al azar en el almacén, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

En un juego, un participante extrae primero una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si la carta extraída es del palo de copas, lanza un dado cúbico equilibrado (del $1$ al $6$). Si la carta NO es de copas, lanza una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que el participante termine obteniendo un $5$ en el dado?

Tenemos dos cajas. La caja 1 contiene $3$ fichas rojas y $2$ verdes. La caja 2 contiene $1$ ficha roja y $4$ verdes. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y, sin mirar su color, se introduce en la caja 2. A continuación, se extrae una ficha al azar de la caja 2. Calcula la probabilidad de que esta segunda ficha sea roja.

Se extraen cartas de una baraja española de $40$ cartas una a una y sin reemplazo, hasta que aparezca el primer As. El experimento termina en el momento en que sale un As o cuando se han extraído $3$ cartas como máximo. Calcule la probabilidad de que el experimento termine habiendo encontrado un As.

Disponemos de dos urnas. La urna $U_1$ contiene $2$ bolas rojas y $2$ bolas negras. La urna $U_2$ está inicialmente vacía. Se extraen simultáneamente dos bolas de $U_1$ y se introducen en $U_2$. A continuación, se extrae una bola al azar de $U_2$. Calcula la probabilidad de que la bola extraída de $U_2$ sea roja.

Según los registros de una oficina departamental de tránsito en Honduras relativos a los aspirantes que obtienen la licencia de conducir:

• La probabilidad de que un alumno apruebe el examen teórico en su primer intento es del $70\,\%$.

• Entre quienes aprueban el teórico a la primera, la probabilidad de aprobar el examen práctico a la primera es del $60\,\%$.

• Entre quienes reprueban el teórico en el primer intento (y lo aprueban en intentos posteriores), la probabilidad de aprobar el práctico a la primera es del $40\,\%$.

1. a) Modele el proceso describiendo las etapas del experimento compuesto y las probabilidades asignadas a cada rama.
2. b) Si se elige un aspirante al azar, calcule la probabilidad de que apruebe tanto el examen teórico como el práctico a la primera.
3. c) Calcule la probabilidad total de que un aspirante elegido al azar apruebe el examen práctico a la primera, con independencia de si aprobó el teórico a la primera o necesitó más intentos. Explique por qué es necesario sumar las probabilidades de dos caminos distintos del árbol.

Una prueba médica para detectar una enfermedad tiene las siguientes características: si una persona está enferma, la prueba da positivo en el $95\%$ de los casos. Si la persona está sana, la prueba da positivo (falso positivo) en el $3\%$ de los casos. Se sabe que el $2\%$ de la población padece esta enfermedad. Si se elige a una persona al azar y se le realiza la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea positivo?

En un juego de mesa, para superar un obstáculo usted debe lanzar un dado de seis caras dos veces seguidas. La regla establece que supera el obstáculo si obtiene al menos un número mayor que $4$ (es decir, un $5$ o un $6$) en cualquiera de los dos lanzamientos.

1. a) Estime: Antes de realizar cualquier cálculo matemático exacto, reflexione y responda: ¿cree que la probabilidad final de superar el reto será menor del $50\,\%$, exactamente el $50\,\%$ o mayor del $50\,\%$? Escriba una frase justificando su intuición.
2. b) Compruebe: Modele la tirada doble como un evento compuesto. Calcule primero la probabilidad del evento contrario («no obtener más de 4 en ningún lanzamiento») aplicando la regla del producto y, a partir de él, obtenga la probabilidad real de superar el obstáculo en forma de fracción irreducible y porcentaje.
3. c) Compare el resultado con su estimación inicial: ¿coincidió con lo que había pensado? Razone por qué al encadenar dos oportunidades la probabilidad global acumulada resulta notablemente mayor que la de una sola tirada individual (que es $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33.3\,\%$).

Un arquero tiene una probabilidad de $0.85$ de dar en el centro de la diana en cada disparo. Si realiza tres disparos consecutivos e independientes, halla la probabilidad de que falle los tres disparos.

Un tirador de precisión tiene una probabilidad fija de $0.7$ de acertar a una diana en cada disparo. Si realiza $3$ disparos de manera totalmente independiente, queremos calcular la probabilidad de que consiga hacer diana al menos una vez.

Para resolver este problema se pueden plantear dos estrategias distintas:

• Método A (directo): Identificar todos los resultados favorables (acertar exactamente una vez, acertar exactamente dos veces o acertar los tres tiros), calcular la probabilidad de cada rama del árbol y sumarlas.

• Método B (evento contrario): Calcular la probabilidad de fallar los tres disparos de forma consecutiva y restar ese valor de $1$.

1. a) Compare ambos caminos: ¿cuántas ramas del diagrama de árbol tendría que calcular y sumar con el Método A frente a las operaciones necesarias con el Método B? Justifique cuál es más eficiente y seguro contra descuidos algebraicos.
2. b) Aplique el método más conveniente para calcular la probabilidad pedida, expresando el resultado final en formato decimal y como porcentaje.
3. c) Si el tirador realizara $5$ disparos en lugar de $3$, razone cómo cambiaría la cantidad de cálculos necesarios en el Método A en comparación con el Método B.

Dos jugadoras de baloncesto, Marta y Laura, lanzan un tiro libre cada una. La probabilidad de que Marta enceste es $0.8$ y la probabilidad de que Laura enceste es $0.7$. Sus lanzamientos son eventos independientes. Calcule la probabilidad de que al menos una de las dos enceste su tiro libre.

Dos equipos de e-sports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas se proclama campeón). La probabilidad de que Alpha gane una partida es $0.6$ y la de que gane Beta es $0.4$ (no hay empates). Los resultados de las partidas son independientes. Calcula la probabilidad de que el equipo Alpha gane el torneo.

El siguiente esquema muestra un sistema de tuberías con tres válvulas $A$, $B$ y $C$. El agua fluye de izquierda a derecha. Para que el agua llegue al final, debe pasar por la válvula $A$ o por la rama inferior que contiene las válvulas $B$ y $C$ en serie. Las probabilidades de que las válvulas estén abiertas son $P(A) = 0.7$, $P(B) = 0.8$ y $P(C) = 0.9$. Sabiendo que el funcionamiento de cada válvula es independiente, calcula la probabilidad de que el agua logre atravesar el sistema.

En un congreso internacional, el $40\%$ de los asistentes son europeos y el $60\%$ son americanos. Se sabe que el $30\%$ de los europeos y el $20\%$ de los americanos son bilingües. Si seleccionamos a dos asistentes al azar con reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los dos sea bilingüe?

Se lanza un dardo a la diana de la figura, formada por dos círculos concéntricos de radios $R$ y $2R$. El dardo siempre impacta en la diana y la probabilidad de impactar en una región es proporcional a su área. Si se lanzan dos dardos de forma independiente, calcula la probabilidad de que un dardo caiga en la zona central (A) y el otro en la zona exterior (B).

Un museo protege una escultura valiosa mediante un sistema de seguridad compuesto por dos sensores independientes: una barrera perimetral de infrarrojos (Sensor A) y una base de presión bajo el pedestal (Sensor B). En caso de intrusión real, el Sensor A se activa con una probabilidad de $0.90$, mientras que el Sensor B se activa con una probabilidad de $0.85$.

La empresa de seguridad propone dos posibles configuraciones técnicas para disparar la alarma general:

• Configuración en paralelo (redundante): La alarma suena si se activa al menos uno de los dos sensores.

• Configuración en serie (restrictiva): La alarma suena únicamente si se activan ambos sensores simultáneamente (pensada para minimizar falsas alarmas provocadas por corrientes de aire o polvo).

1. a) Modele la configuración en paralelo mediante eventos compuestos y calcule la probabilidad de que la alarma suene si entra un intruso (emplee la regla del producto con los eventos complementarios).
2. b) Modele la configuración en serie y calcule su probabilidad de activación ante una intrusión.
3. c) La dirección del museo duda entre mantener la configuración en paralelo o sustituir todo el equipo por un único sensor láser de última generación cuya fiabilidad de detección individual es del $0.96$. Basándose en sus cálculos anteriores, justifique matemáticamente qué opción ofrece mayor protección real contra robos y argumente qué inconveniente operativo presenta el sistema más sensible frente a falsas alarmas.