Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
En una pulpería de Comayagua, tres grupos de amigos piden baleadas sencillas, con huevo y con carne, en combinaciones distintas, y cada grupo paga un total diferente. Hay tres incógnitas (el precio de cada baleada) y tres condiciones. Con dos incógnitas alcanzaban dos ecuaciones; con tres necesita tres, y un método ordenado para no perderse: el método de Gauss.
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Para el camino inverso, construir un sistema con una solución dada, elija los coeficientes que quiera y calcule cada término independiente reemplazando la terna. Por ejemplo, con $(2, 0, -1)$: la ecuación $x + y + z$ da $1$, la ecuación $x - y + 2z$ da $0$, y así con las demás. Cuidado: las tres ecuaciones deben ser realmente distintas (que ninguna sea combinación de las otras) para que esa terna sea la única solución.
Si quiere que el sistema ya salga escalonado, construya de abajo hacia arriba. Con la terna $(3, 1, -2)$: la última ecuación lleva solo $z$, por ejemplo $4z=-8$. La segunda lleva $y$ y $z$: $5y+3z=-1$, porque $5\cdot 1+3\cdot(-2)=-1$. La primera lleva las tres: $2x-3y+z=1$, porque $6-3-2=1$.
Comprueba si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ es solución del siguiente sistema. Justifica tu respuesta. $3x + y - z = 0$ $x - 2y + z = 5$ $2x + y + z = 3$
Comprueba si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ es solución del siguiente sistema. Justifica tu respuesta.
$3x + y - z = 0$
$x - 2y + z = 5$
$2x + y + z = 3$
Escribe un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya única solución sea la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.
Escribe un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya única solución sea la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.
Sistemas escalonados: sustitución hacia atrás
Hay sistemas que no están escalonados pero igual se resuelven rápido, como $x+y=5$, $y+z=7$, $x+z=6$: en cada ecuación falta una incógnita. Sumando las tres queda $2(x+y+z)=18$, o sea $x+y+z=9$, y restando cada ecuación original aparece cada incógnita.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra escalonado, utilizando el método de sustitución hacia atrás: $x + 2y - z = 4$ $3y + z = 5$…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra escalonado, utilizando el método de sustitución hacia atrás:
$x + 2y - z = 4$
$3y + z = 5$
$2z = 4$
Resuelve el siguiente sistema donde en cada ecuación falta una incógnita: $x + y = 5$ $y + z = 7$ $x + z = 6$
Resuelve el siguiente sistema donde en cada ecuación falta una incógnita:
$x + y = 5$
$y + z = 7$
$x + z = 6$
El método de Gauss: escalonar cualquier sistema
¿Por qué se puede? Reemplazar una ecuación por ella más un múltiplo de otra no cambia las soluciones: toda terna que cumple las dos originales cumple la combinación, y se puede volver atrás restando.
También puede intercambiar dos ecuaciones: no cambia las soluciones. Conviene hacerlo para que la primera fila tenga $x$ con coeficiente $1$ y los cálculos queden sin fracciones. Por ejemplo, en $2x+y-z=3$, $x+3y+z=8$, $3x-y+2z=7$ intercambie la 1.ª y la 2.ª; luego $F_2-2F_1$ da $-5y-3z=-13$ y $F_3-3F_1$ da $-10y-z=-17$.
Cuando hay coeficientes fraccionarios, antes de aplicar Gauss multiplique cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. Por ejemplo, $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}-z=1$ multiplicada por $6$ queda $3x+2y-6z=6$.
Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $x - y + z = 2$ $2x + y - z = 1$ $x + 2y + z = 7$
Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$x - y + z = 2$
$2x + y - z = 1$
$x + 2y + z = 7$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contiene coeficientes fraccionarios. Simplifica las ecuaciones antes de aplicar el método de Gauss:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contiene coeficientes fraccionarios. Simplifica las ecuaciones antes de aplicar el método de Gauss:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$
$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$
$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$
Los tres tipos de solución
Si dos ecuaciones son múltiplos una de otra, por ejemplo $x-y+2z=3$ y $-2x+2y-4z=-6$, al combinar aparece $0=0$ y el sistema pierde una ecuación. Con tres ecuaciones que son todas múltiplos de una sola, queda un único plano de soluciones, con dos parámetros.
Triangula el siguiente sistema mediante el método de Gauss e indica si es un Sistema Incompatible (SIN): $x + y + z = 1$ $2x + y - z = 0$ $3x + 2y = 5$
Triangula el siguiente sistema mediante el método de Gauss e indica si es un Sistema Incompatible (SIN):
$x + y + z = 1$
$2x + y - z = 0$
$3x + 2y = 5$
Aplica el método de Gauss al siguiente sistema y comprueba que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) al obtener una ecuación del tipo $0 = 0$:…
Aplica el método de Gauss al siguiente sistema y comprueba que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) al obtener una ecuación del tipo $0 = 0$:
$x - y + 2z = 3$
$-2x + 2y - 4z = -6$
$3x - 3y + 6z = 9$
Resuelve el siguiente sistema compatible indeterminado y expresa sus infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$: $x + 2y - z = 4$ $2x - y + 3z = 3$…
Resuelve el siguiente sistema compatible indeterminado y expresa sus infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$x + 2y - z = 4$
$2x - y + 3z = 3$
$3x + y + 2z = 7$
Sistemas con parámetros
Cuando un coeficiente es una letra ($k$, $m$, $a$, $b$), el tipo de sistema puede cambiar según su valor. «Discutir» el sistema es decir, para cada valor del parámetro, si es SCD, SCI o SI. La idea es la misma: escalonar con Gauss y mirar la última fila, que ahora depende del parámetro.
Con dos parámetros ($a$ y $b$, o $k$ y $m$) se procede igual: se escalona y se mira la última fila, que queda $a(k)\,z=b(m)$. Si $a(k)\ne0$, el sistema es SCD. Si $a(k)=0$, es SCI cuando $b(m)=0$ y SI cuando $b(m)\ne0$. Cada condición que pida el problema da una ecuación para los parámetros.
Encuentra los valores del parámetro $k$ para los que el siguiente sistema es incompatible: $x + y - z = 2$ $2x - y + z = 1$ $3x + y - z = k$
Encuentra los valores del parámetro $k$ para los que el siguiente sistema es incompatible:
$x + y - z = 2$
$2x - y + z = 1$
$3x + y - z = k$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$. Indica para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$. Indica para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.
$x + y + z = 1$
$x + my + z = m$
$x + y + m^{2}z = m^{2}$
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea Compatible Indeterminado: $x - y + 2z = 1$ $2x + ay - z = 3$…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea Compatible Indeterminado:
$x - y + 2z = 1$
$2x + ay - z = 3$
$3x + y + bz = 4$
Planos en el espacio
Cada ecuación lineal con tres incógnitas es un plano. Resolver el sistema es buscar los puntos que están en los tres planos a la vez.
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SCD: los tres planos se cortan en un único punto.
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SCI con un parámetro: los tres planos comparten una recta (como las hojas de un libro abierto). Las soluciones $(x, y, z)$ dependen de $\lambda$ y son las ecuaciones paramétricas de esa recta.
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SCI con dos parámetros: los tres planos coinciden.
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SI: no hay punto común. Por ejemplo, dos planos paralelos, o tres planos que se cortan de a dos formando un «prisma».
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa la siguiente representación gráfica donde tres planos se intersecan a…
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa la siguiente representación gráfica donde tres planos se intersecan a lo largo de una única recta, formando un haz de planos.
Dado el sistema:
$\pi_{1}: x + 2y - z = 3$
$\pi_{2}: 2x - y + z = 1$
$\pi_{3}: 4x + 3y - z = k$
Calcula el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una única recta (Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad) y expresa la ecuación paramétrica de dicha recta de intersección.
Demuestra algebraicamente que si un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas admite dos soluciones distintas, por ejemplo $S_{1} = (1, 0, 0)$ y…
Demuestra algebraicamente que si un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas admite dos soluciones distintas, por ejemplo $S_{1} = (1, 0, 0)$ y $S_{2} = (0, 1, 0)$, entonces admite infinitas soluciones. Para ello, comprueba que cualquier combinación lineal de la forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ también es solución del sistema.
Problemas con tres incógnitas
Dos tipos de enunciado se repiten mucho:
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«Suman…»: una ecuación con la suma de las tres, y otras con sumas de a dos (como $x+y=7$). Puede restar ecuaciones para despejar.
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Cifras de un número: un número de tres cifras $c$, $d$, $u$ vale $100c+10d+u$. «La cifra de las decenas es la media de las otras dos» se escribe $d=\frac{c+u}{2}$.
Y en las mezclas (aleaciones, soluciones) conviene una ecuación por cada componente: cada una dice cuántos kilos o litros de ese componente hay en total, sumando lo que aporta cada ingrediente.
Hay problemas con menos ecuaciones que incógnitas: el sistema queda SCI, y el contexto da condiciones extra. Por ejemplo, si las incógnitas son cantidades de vehículos, solo sirven las soluciones enteras y positivas: de la solución con parámetro se queda con los valores del parámetro que cumplen eso.
Si el sistema no es lineal pero se vuelve lineal con un cambio de variable, hágalo. Por ejemplo, con $u=\frac1x$, $v=\frac1y$, $w=\frac1z$ aparecen ecuaciones lineales en $u$, $v$, $w$; resuelve y recién después vuelve a $x=\frac1u$, etc. Recuerde que $x$, $y$, $z$ no pueden ser cero.
La suma de tres números es $12$. El primero más el segundo suman $7$. El segundo más el tercero suman $9$. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y…
La suma de tres números es $12$. El primero más el segundo suman $7$. El segundo más el tercero suman $9$. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y determina el valor de dichos números.
En una cafetería se venden tres tipos de sándwiches: de jamón, de queso y de tortilla. Un grupo de amigos pide $3$ de jamón, $2$ de queso y $1$ de tortilla, pagando…
En una cafetería se venden tres tipos de sándwiches: de jamón, de queso y de tortilla. Un grupo de amigos pide $3$ de jamón, $2$ de queso y $1$ de tortilla, pagando $350$ lempiras. Otro grupo pide $2$ de jamón, $1$ de queso y $3$ de tortilla, pagando $325$ lempiras. Un tercer grupo pide $1$ de jamón, $3$ de queso y $2$ de tortilla, pagando $375$ lempiras. Plantee y resuelva un sistema para calcular el precio de cada tipo de sándwich.
La edad de un abuelo, su hijo y su nieto suman $120$ años. El abuelo tiene exactamente el doble de años que el hijo. Además, el hijo es $30$ años mayor que el nieto.…
La edad de un abuelo, su hijo y su nieto suman $120$ años. El abuelo tiene exactamente el doble de años que el hijo. Además, el hijo es $30$ años mayor que el nieto. Determina la edad de cada uno de ellos planteando un sistema de tres ecuaciones.
En un partido de baloncesto, un jugador ha anotado un total de $15$ canastas, consiguiendo $31$ puntos. Sabiendo que el número de canastas de dos puntos es el triple que…
En un partido de baloncesto, un jugador ha anotado un total de $15$ canastas, consiguiendo $31$ puntos. Sabiendo que el número de canastas de dos puntos es el triple que el de canastas de tres puntos, y que también ha anotado tiros libres (que valen un punto), plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas canastas de cada tipo ha encestado.
Tres máquinas A, B y C fabrican piezas en una industria. Trabajando juntas, la máquina A y la B fabrican $50$ piezas por hora. La máquina B y la C fabrican juntas $70$…
Tres máquinas A, B y C fabrican piezas en una industria. Trabajando juntas, la máquina A y la B fabrican $50$ piezas por hora. La máquina B y la C fabrican juntas $70$ piezas por hora. Finalmente, la máquina A y la C fabrican juntas $60$ piezas por hora. Calcula cuántas piezas por hora fabrica cada máquina individualmente.
En un triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores $A$, $B$ y $C$ es $180^{\circ}$. El ángulo $A$ es igual a la suma de los ángulos $B$ y $C$. Además, el ángulo $B$…
En un triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores $A$, $B$ y $C$ es $180^{\circ}$. El ángulo $A$ es igual a la suma de los ángulos $B$ y $C$. Además, el ángulo $B$ es el doble del ángulo $C$. Plantea un sistema de tres ecuaciones y determina la medida de los tres ángulos.
La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el número original. Además, la…
La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el número original. Además, la cifra de las decenas es la media aritmética de las cifras de las centenas y de las unidades. Encuentra el número original. (Nota: Un número de tres cifras $c$, $d$, $u$ tiene un valor de $100c + 10d + u$).
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$
Una empresa de transportes adquiere tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. Se sabe que el número total de vehículos adquiridos es…
Una empresa de transportes adquiere tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. Se sabe que el número total de vehículos adquiridos es $30$. El costo de cada furgoneta es de $500\,000$ lempiras, el de cada camión ligero $750\,000$ lempiras y el de cada camión pesado $1\,250\,000$ lempiras. Si la inversión total ha sido de $21\,250\,000$ lempiras, plantee el sistema y demuestre que es un Sistema Compatible Indeterminado. Luego, encuentre todas las soluciones enteras posibles sabiendo que la empresa ha comprado al menos un vehículo de cada tipo.
Se dispone de tres aleaciones de plata, cobre y zinc. La primera contiene un $10\%$ de plata, un $70\%$ de cobre y un $20\%$ de zinc. La segunda contiene un $30\%$ de…
Se dispone de tres aleaciones de plata, cobre y zinc. La primera contiene un $10\%$ de plata, un $70\%$ de cobre y un $20\%$ de zinc. La segunda contiene un $30\%$ de plata, un $40\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. La tercera contiene un $20\%$ de plata, un $50\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. Queremos obtener $100$ kg de una nueva aleación que contenga exactamente un $22\%$ de plata y un $52\%$ de cobre. Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cuántos kilogramos de cada aleación debemos mezclar y resuélvelo.
Vuelva al principio: resolviendo con Gauss el sistema de la pulpería ($3x+2y+z=155$, $2x+y+3z=175$, $x+3y+2z=180$), se obtiene $x=20$, $y=30$, $z=35$. La baleada sencilla cuesta L 20, la de huevo L 30 y la de carne L 35.