Funciones exponenciales

Dada la función exponencial $f(x) = 2^x$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

La gráfica de una función exponencial del tipo $f(x) = a^x$ pasa por el punto $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.

Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes funciones exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes:

• a) $f(x) = 1.2^x$

• b) $g(x) = 0.7^x$

• c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$

• d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Observa las gráficas A y B representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de ellas con su correspondiente expresión analítica: $y = 3^x$ o $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Halla el valor de $x$ en las siguientes igualdades exponenciales elementales:

• a) $2^x = 64$

• b) $3^x = \frac{1}{9}$

Determina el dominio, el recorrido y el punto de corte con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 0.5^x$.

Representa gráficamente la función $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborando previamente una tabla de valores. Indica cuál es la ecuación de su asíntota horizontal y calcula las coordenadas de su punto de corte con el eje de ordenadas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = a^x + b$. Observa sus elementos característicos, como la asíntota horizontal y los puntos por los que pasa, y determina los valores de los parámetros $a$ y $b$.

Halla, de forma analítica, las coordenadas exactas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales igualando las bases a ambos lados de la igualdad:

• a) $5^{2x-1} = 125$

• b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$

Resuelve la siguiente ecuación exponencial extrayendo factor común previamente:

$3^x + 3^{x+1} = 36$

Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando las propiedades de las potencias y extrayendo factor común:

$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$

Una familia ingresa $50\,000$ lempiras en una cuenta bancaria que ofrece un interés compuesto del $4 \%$ anual. ¿Qué capital tendrán al cabo de $2$ años si no retiran ningún dinero de la cuenta?

El número de seguidores de una cuenta que acaba de hacerse viral se triplica cada día. Si inicialmente tiene $100$ seguidores, escribe la función que relaciona el número de seguidores con el tiempo transcurrido en días, y calcula cuántos seguidores habrá al cabo de $3$ días.

Un inversionista desea obtener un capital final de $125\,000$ lempiras dentro de $5$ años. Si su banco le ofrece un depósito con un interés compuesto del $3 \%$ anual, ¿qué capital inicial debe invertir hoy para lograr su objetivo? (Redondee el resultado a los centavos).

Una muestra de un isótopo radiactivo tiene una masa inicial de $200$ gramos. Se sabe que su masa se reduce a la mitad cada $10$ años. Escribe la expresión analítica de la función que da la masa restante en función del tiempo (en años) y calcula cuántos gramos quedarán exactamente al cabo de $30$ años.

El precio de un teléfono celular de alta gama recién salido al mercado es de $20\,000$ lempiras. Debido a la obsolescencia tecnológica, su valor se deprecia un $20 \%$ cada año. Escriba la función que modela el precio del celular en función de los años transcurridos y calcule cuál será su valor al cabo de $4$ años.

La evolución de una determinada plaga de insectos sigue un modelo exponencial de la forma $N(t) = k \times a^t$, donde $N(t)$ es el número de insectos y $t$ es el tiempo en semanas. Sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) había $5$ insectos y que a las $2$ semanas había $45$ insectos, calcula los valores de las constantes $k$ y $a$. A continuación, determina cuántos insectos habrá a las $4$ semanas.

Dos hermanos reciben una herencia de $250\,000$ lempiras cada uno. El primero decide invertir su dinero a un interés simple del $5 \%$ anual, mientras que el segundo lo invierte a un interés compuesto del $4 \%$ anual. Escribe las funciones que describen el capital de cada hermano a lo largo del tiempo. ¿Quién tendrá más dinero al cabo de $10$ años? ¿Y al cabo de $20$ años?

La población de una ciudad A es actualmente de $100000$ habitantes y crece a un ritmo constante del $4 \%$ anual. La población de una ciudad B es de $150000$ habitantes y decrece a un ritmo del $2 \%$ anual. Escribe las funciones de población de ambas ciudades. Comprueba, usando la calculadora mediante ensayo y error (o aplicando logaritmos), en qué año exacto la ciudad A superará en población a la ciudad B.

Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de una taza de té en una habitación se modeliza mediante la función $T(t) = 20 + 70 \times 0.8^t$, donde $T(t)$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ es el tiempo en minutos transcurrido desde que se sirvió.

• a) ¿Cuál era la temperatura inicial del té?

• b) ¿Cuál es la temperatura ambiente de la habitación? (Razona qué ocurre cuando el tiempo $t$ se hace muy grande).

• c) Plantea la ecuación para calcular en qué minuto la temperatura del té será exactamente de $55$ ºC y resuélvela.

La farmacocinética estudia cómo se elimina un medicamento del cuerpo humano. A un paciente se le administra una dosis inicial de $50$ mg de un fármaco. La cantidad en sangre disminuye exponencialmente de modo que cada $6$ horas la cantidad se reduce a la mitad.

• a) Escribe la función $C(t)$ que expresa los miligramos de fármaco en sangre en función del tiempo $t$ medido en horas.

• b) ¿Qué cantidad de fármaco quedará en la sangre del paciente al cabo de un día completo ($24$ horas)?

Un banco ofrece un producto de inversión con un interés nominal anual del $6 \%$.

• a) Escribe la función que modeliza el capital final si se invierten $75\,000$ lempiras y los intereses se abonan anualmente (interés compuesto anual).

• b) Escribe la función si los intereses se abonan mensualmente (interés compuesto mensual).

• c) Calcula la diferencia exacta de capital obtenido entre ambas modalidades al cabo de $5$ años.

Dada la función con valor absoluto $f(x) = |3^x - 9|$:

• a) Escríbela como una función definida a trozos, calculando previamente en qué punto la expresión interior cambia de signo.

• b) Determina sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.

• c) Indica en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente.