Ejercicios: Teorema del coseno

En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.

En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.

En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.

Determina la medida del ángulo $B$ en un triángulo cuyos lados son $a=7$ cm, $b=8$ cm y $c=9$ cm.

Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.

Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.

En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.

Determina el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 6 cm.

Lucía necesita calcular la distancia entre dos balizas, $B$ y $C$, conociendo las distancias desde su posición de observación $A$ ($b = AC = 6\text{ m}$ y $c = AB = 10\text{ m}$) y el ángulo que forman las visuales, $\widehat{A} = 120^\circ$. En su examen escribe el siguiente desarrollo:

1. a) Sin rehacer las operaciones numéricas al principio, razona geométricamente por qué el resultado de Lucía no puede ser correcto comparando la figura con un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ m}$ y $10\text{ m}$.
2. b) Localiza el error matemático concreto cometido por Lucía, explica qué propiedad de las razones trigonométricas no ha tenido en cuenta y calcula el valor correcto del lado $a$ redondeado a dos cifras decimales.

Dos tramos rectos de una senda homologada en la comarca de Cazorla miden $b = 7\text{ km}$ y $c = 8\text{ km}$, y se bifurcan formando un ángulo $\widehat{A} = 58^\circ$. El comité del parque quiere trazar un camino recto directo que conecte los dos extremos libres (lado $a$).

1. a) Antes de realizar ningún cálculo con calculadora: teniendo en cuenta que $58^\circ$ es muy próximo a $60^\circ$ y que los lados son casi iguales ($7\text{ km}$ y $8\text{ km}$), haz una estimación razonada de cuánto medirá aproximadamente el lado $a$. ¿Entre qué dos valores extremos debe encontrarse obligatoriamente por la desigualdad triangular?
2. b) Aplica el teorema del coseno con $\cos(58^\circ) \approx 0.530$ para calcular la longitud exacta de $a$ redondeando a dos cifras decimales.
3. c) Contrasta tu estimación previa con el resultado obtenido y justifica si el valor es físicamente verosímil.

Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1.5 horas de vuelo?

Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125.5$ m y $CB = 180.2$ m, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcula la distancia $AB$.

Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcula la magnitud de la fuerza resultante.

Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.

Una cercha de techo triangular tiene lados de 5 m, 7 m y 9 m. Calcula el ángulo opuesto al lado más largo.

En un campo de fútbol, un jugador se encuentra a 25 m de un poste de la portería y a 28 m del otro poste. Sabiendo que la portería tiene una anchura reglamentaria de 7.32 m, ¿bajo qué ángulo ve el jugador la portería de extremo a extremo?

Dos satélites orbitan la Tierra. Desde una estación de seguimiento, las distancias en línea recta a los satélites son 400 km y 600 km, y el ángulo entre sus líneas de visión es de $35^\circ$. ¿A qué distancia se encuentran los satélites entre sí?

En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el triángulo formado por los radios y la cuerda.

En un triángulo de lados conocidos $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ y $c = 9\text{ cm}$, se desea hallar la amplitud de sus tres ángulos combinando el teorema del coseno con el teorema del seno para ahorrar tiempo de cálculo. Dos compañeros proponen estrategias distintas para el primer paso:

• Marcos propone: «Calculemos primero el ángulo menor, $\widehat{A}$, usando el teorema del coseno y, después, despejemos el ángulo mayor, $\widehat{C}$, mediante el teorema del seno».

• Sara rebate: «Es mucho más seguro calcular primero el ángulo mayor, $\widehat{C}$, mediante el teorema del coseno y, a partir de él, hallar $\widehat{A}$ con el teorema del seno».

1. a) Justifica matemáticamente cuál de los dos métodos es preferible y explica qué riesgo o ambigüedad matemática entraña el otro al emplear la función inversa $\operatorname{arcsen}$ en el intervalo $[0^\circ, 180^\circ]$.
2. b) Siguiendo la estrategia correcta, determina razonadamente si el triángulo es acutángulo u obtusángulo examinando únicamente el signo de $\cos \widehat{C}$, y calcula el valor de los tres ángulos del triángulo redondeados al grado más próximo.

Durante las labores de vigilancia de incendios del Instituto Nacional de Conservación y Desarrollo Forestal (ICF) en la Montaña de Celaque, una torre de control situada en el punto de observación $P$ divisa dos columnas de humo en puntos inaccesibles entre sí, $F_1$ y $F_2$.

Con el telémetro láser y el goniómetro de la estación se obtienen las siguientes medidas:

• Distancia a la primera columna: $d(P, F_1) = 3.4\text{ km}$.

• Distancia a la segunda columna: $d(P, F_2) = 5.2\text{ km}$.

• Ángulo horizontal formado por ambas visuales: $\widehat{F_1 P F_2} = 115^\circ$.

1. a) Modele la disposición de los tres puntos mediante un triángulo, identifique los elementos conocidos y calcule la distancia en línea recta que separa a ambos focos de humo (redondee a dos cifras decimales).
2. b) La brigada helitransportada dispone de una manguera de tendido rápido de emergencia de $7\text{ km}$. Justifique si con ese equipamiento sería viable conectar de forma directa ambos focos sin necesidad de pasar por el puesto de observación $P$.

En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.

Demuestra algebraicamente que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente relación:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.

Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantea un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.

Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.

Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ cm y un perímetro constante $p = 26$ cm. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y halla las longitudes exactas de los otros dos lados $a$ y $b$.

Dos circunferencias de radios 5 cm y 8 cm se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 cm. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas circunferencias. (Sugerencia: Usa el teorema del coseno para hallar el ángulo central en el triángulo formado por los radios y la línea de centros, y a partir de ahí obtén la altura del triángulo).

Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema del coseno en el triángulo formado por las mitades de dos diagonales y una arista del cubo.

Se proyecta una cercha triangular de acero para el tejado de una nave industrial. Dos de las barras estructurales tienen longitudes fijas de $b = 5\text{ m}$ y $c = 8\text{ m}$.

1. a) Escribe una inecuación en función de la longitud del tercer lado, $a$, que garantice que el ángulo $\widehat{A}$ comprendido entre las dos barras dadas sea estrictamente obtuso ($90^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$). Determina el intervalo de valores reales posibles para la longitud $a$.
2. b) Supón ahora que se modifica el pliego de condiciones fijando la barra $a = 7\text{ m}$ y el ángulo $\widehat{A} = 60^\circ$, manteniendo $c = 8\text{ m}$, pero dejando la longitud de la barra $b$ como incógnita a dimensionar. Plantea la ecuación de segundo grado que debe cumplir $b$ aplicando el teorema del coseno.
3. c) Resuelve la ecuación obtenida, comprueba si las soluciones halladas son geométricamente viables mediante la desigualdad triangular y explica por qué este caso proporciona dos configuraciones triangulares distintas y válidas con los mismos datos iniciales.

En las maniobras de atraque en el puerto exterior de Ferrol, dos remolcadores tiran simultáneamente de un buque mercante aplicando fuerzas coplanarias de magnitudes fijas $|\vec{F}_1| = 50\text{ kN}$ y $|\vec{F}_2| = 70\text{ kN}$. Los cables de arrastre forman entre sí un ángulo $\alpha = 40^\circ$.

1. a) Estima razonadamente entre qué dos cotas extremas debe situarse el módulo de la fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ considerando las situaciones límite en que los cables tiraran en la misma dirección y sentido, o en sentidos opuestos.
2. b) Al representar la suma vectorial mediante la regla del paralelogramo, se obtiene un triángulo cuyos lados contiguos son $|\vec{F}_1|$ y $|\vec{F}_2|$, y cuyo tercer lado representa el vector resultante $\vec{R}$. Justifica geométricamente por qué el ángulo opuesto a $\vec{R}$ en dicho triángulo mide $180^\circ - \alpha = 140^\circ$, y no $40^\circ$.
3. c) Aplica el teorema del coseno para determinar el módulo exacto de la fuerza resultante $\vec{R}$ (en $\text{kN}$, redondeado a un decimal) y verifica la precisión de tu estimación.
4. d) Por exigencias de seguridad estructural del casco, la fuerza resultante total no puede superar los $105\text{ kN}$. Plantea la inecuación correspondiente y deduce el ángulo mínimo $\alpha$ que deben formar los cables de los remolcadores para no sobrepasar dicho límite.