Medida de ángulos: grados y radianes

Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.

En una pista de entrenamiento circular de $50\text{ m}$ de radio, un atleta recorre un arco que subtiende un ángulo central de $2.4\text{ rad}$.

1. a) Antes de operar, haz una estimación intuitiva: sabiendo que un radián es el ángulo central cuyo arco mide exactamente lo mismo que el radio, razona sin calculadora si la distancia recorrida por el atleta superará los $100\text{ m}$ y si será mayor o menor que $150\text{ m}$.
2. b) Teniendo en cuenta que $1\text{ rad} \approx 57.3^\circ$ (casi $60^\circ$), estima mentalmente el valor aproximado del ángulo en grados sexagesimales.
3. c) Calcula ahora con precisión la longitud del arco recorrido y el valor exacto del ángulo en grados sexagesimales (redondeado a dos decimales). Compara los resultados con tus estimaciones previas y valora razonadamente si tu aproximación inicial fue acertada.

Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.

Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.

Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.

Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en radianes (utilizando fracciones de $\pi$).

Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.

Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.

Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en grados sexagesimales.

Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.

En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros, calcula el ángulo que ha descrito respecto al centro de la pista en radianes. Expresa también este resultado en grados, minutos y segundos.

Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcula el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.

Lucía tiene que calcular el área de una parcela ajardinada con forma de sector circular, cuyo radio mide $6\text{ m}$ y cuyo ángulo central es de $45^\circ$. Para resolverlo, aplica directamente la fórmula $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ y escribe en su examen:

Al ver el resultado, el profesor le indica que revise sus cálculos, pues el círculo completo de radio $6\text{ m}$ apenas tiene unos $113.1\text{ m}^2$ de superficie. Identifica y explica detalladamente el error conceptual cometido por Lucía, justifica por qué la fórmula empleada exige que el ángulo se exprese en radianes y calcula la solución correcta tanto de forma exacta (en función de $\pi$) como con aproximación a dos decimales.

Para regar una pradera de césped en un parque público, se utiliza un aspersor oscilante con un alcance de $8\text{ m}$ que barre un ángulo de $135^\circ$. Dos técnicos de mantenimiento calculan la superficie regada siguiendo caminos diferentes:

• Método A (Marcos): Plantea una proporción directa basada en la geometría clásica en grados: $\frac{A}{135^\circ} = \frac{\pi\times 8^2}{360^\circ}$.

• Método B (Sara): Convierte primero el ángulo a radianes en forma de fracción irreducible de $\pi$ y aplica a continuación la expresión $A = \frac{1}{2}r^2\theta$.

1. a) Desarrolla ambos procedimientos paso a paso y comprueba si ambos técnicos obtienen el mismo resultado numérico exacto.
2. b) Analiza las ventajas e inconvenientes de cada método. ¿Cuál de los dos resulta más directo y coherente si a continuación se pide calcular la velocidad lineal del agua en el extremo sabiendo que el aspersor completa ese barrido en $3\text{ s}$? Justifica tu respuesta utilizando la relación $v = \omega\times r$.

Se proyecta construir una zona de juegos infantiles con forma de sector circular, la cual se cercará perimetralmente en su totalidad (los dos bordes rectilíneos correspondientes a los radios y el borde curvo del arco) utilizando exactamente $36\text{ m}$ de valla metálica.

1. a) Expresa el área $A$ del sector circular en función exclusivamente del radio $r$, eliminando el ángulo $\theta$ (en radianes) mediante la condición del perímetro total de la valla.
2. b) Si se decide fijar el radio de la zona en $r = 9\text{ m}$, determina el ángulo central $\theta$ que debe tener el sector (en radianes y en grados sexagesimales). ¿Qué fracción exacta del círculo completo representa dicha zona?
3. c) Resuelve el problema inverso: si se impone que el ángulo central sea obligatoriamente $\theta = 2\text{ rad}$, ¿cuánto debe medir el radio para consumir exactamente los $36\text{ m}$ de valla? Demuestra que, con ese valor de ángulo central, la longitud del arco curvo es siempre igual a la suma de los dos radios rectilíneos, sea cual sea la longitud total de valla disponible.

Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea exactamente igual a la del sector original. Si por restricciones de diseño el radio del nuevo sector debe ser el triple que el original ($3R$), determina algebraicamente qué fracción del ángulo $\alpha$ debe tener el nuevo sector.

Dos ciudades, A y B, se encuentran situadas sobre el mismo meridiano terrestre. La latitud de la ciudad A es $41^\circ$ Norte y la latitud de la ciudad B es $28^\circ$ Sur. Asumiendo que la Tierra es una esfera perfecta con un radio medio de $6371$ km, calcula la distancia en línea recta sobre la superficie terrestre que separa ambas ciudades.

Una noria de feria tiene un diámetro de $40$ metros y cuenta con $24$ cabinas espaciadas uniformemente a lo largo de su borde exterior. Calcula la distancia a lo largo del arco de la noria que separa dos cabinas consecutivas y el ángulo en radianes que forman respecto al eje central.

En el histórico experimento de Eratóstenes, se observó que en la ciudad de Siena los rayos del sol incidían perpendicularmente al suelo (ángulo $0^\circ$) en el mediodía del solsticio de verano. Al mismo tiempo, en Alejandría, situada aproximadamente a $800$ km al norte sobre el mismo meridiano, los rayos formaban un ángulo de $\frac{\pi}{25}$ radianes con la vertical. A partir exclusivamente de estos datos, deduce el radio de la Tierra y la longitud de su circunferencia meridiana.

Un péndulo de longitud $L = 1$ metro oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera oscilación, el ángulo máximo que forma con la vertical es de $\frac{\pi}{6}$ radianes. Debido a la fricción, en cada oscilación posterior, el ángulo máximo alcanzado se reduce en un $10\%$ respecto a la oscilación inmediatamente anterior. Planteando la suma de la serie geométrica infinita correspondiente, calcula la distancia total recorrida por la masa del péndulo hasta detenerse por completo.

Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2.5$ segundos.

El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determina el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértelo a número de vueltas completas.

En un parque eólico situado en el departamento de Choluteca, un aerogenerador de tres palas cuenta con un rotor cuyo radio (longitud de cada pala) es de $65\text{ m}$. El rotor gira a una velocidad angular constante de $14\text{ rpm}$ (revoluciones por minuto).

1. a) Modele la velocidad angular $\omega$ del rotor expresándola en $\text{rad/s}$ (proporcione tanto la fracción exacta en múltiplos de $\pi$ como el valor decimal aproximado con tres cifras significativas).
2. b) Determine la velocidad lineal $v$ a la que se desplaza la punta exterior de cada pala en $\text{m/s}$ y conviértala a $\text{km/h}$. Compare razonadamente este resultado con la velocidad máxima permitida en una carretera de Honduras ($120\text{ km/h}$) e interprete las exigencias mecánicas que sufren los extremos de las palas respecto a las zonas cercanas al eje.
3. c) Un técnico de mantenimiento instala un sensor de vibración en un punto intermedio de una pala. Si el sensor registra una velocidad lineal de exactamente $50\text{ km/h}$, calcule a qué distancia del eje de giro se encuentra colocado y deduzca la longitud total del arco (en kilómetros) que habrá trazado dicho sensor tras una jornada ininterrumpida de funcionamiento de $8\text{ horas}$.

Un faro marítimo proyecta un haz de luz que gira a una velocidad angular constante de $4$ revoluciones por minuto. El haz ilumina la superficie del mar hasta una distancia máxima de $5$ km. Debido a la orografía de la costa, existe un sector ciego de $\frac{2\pi}{5}$ radianes hacia tierra adentro donde la luz no es visible. Calcula el área total del mar que ilumina el faro en cada vuelta completa y el tiempo exacto en segundos que el haz de luz tarda en atravesar la zona visible.

Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.

Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 h y las 8:00 h, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente superpuestas. Expresa también el ángulo total barrido por la aguja horaria desde las 7:00 h hasta ese instante preciso, en radianes.

El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida tiene un radio de $45$ cm. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcula cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da.

Un tren de engranajes está compuesto por tres ruedas dentadas A, B y C montadas en serie, de forma que A engrana con B, y B engrana con C. Los radios primitivos de las ruedas son $R_A = 12$ cm, $R_B = 8$ cm y $R_C = 20$ cm. Si la rueda A gira un ángulo de $150^\circ$ en sentido horario, determina el ángulo de giro de la rueda C en radianes y especifica su sentido de giro.

Un rodillo cilíndrico de $25$ cm de radio se utiliza para compactar el asfalto de una calle. Al empujarlo, el rodillo avanza en línea recta rodando sin deslizar y da exactamente $14.5$ vueltas completas. Calcula la distancia horizontal recorrida por el eje del rodillo en metros y el ángulo total girado por cualquier punto de su superficie, expresado en grados sexagesimales.

Durante una etapa llana de la Vuelta Ciclista a España, un corredor rueda en una bicicleta de competición cuya rueda trasera tiene un radio exterior total de $35\text{ cm}$ (incluida la cubierta). El sistema de transmisión consta de un plato de pedales de radio $r_1 = 10.5\text{ cm}$ y un piñón trasero de radio $r_2 = 4.2\text{ cm}$, unidos por una cadena tensa inextensible que no patina.

1. a) Deduzca algebraicamente la relación entre la velocidad angular del plato de pedales $\omega_{\text{plato}}$ y la velocidad angular de la rueda trasera $\omega_{\text{rueda}}$, apoyándose en el hecho de que la cadena transmite la misma velocidad lineal a los bordes de ambos engranajes ($v = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$). Razone si este desarrollo mecánico multiplica la velocidad angular o la fuerza del ciclista.
2. b) La bicicleta rueda por el asfalto a una velocidad lineal de avance constante de $42\text{ km/h}$. Mediante un planteamiento inverso, calcule la velocidad angular de la rueda trasera en $\text{rad/s}$ y la cadencia de pedaleo del ciclista expresada en revoluciones por minuto (rpm).
3. c) Si el ciclista recorre un tramo recto de $2.1\text{ km}$, calcule el ángulo total girado por la rueda trasera en radianes y el ángulo total girado por el eje de los pedales en radianes. Compruebe que el cociente entre ambos ángulos coincide con la relación de transmisión deducida en el primer apartado.