Funciones definidas a trozos

Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida a trozos: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos hasta alcanzar los 200ºC. Se mantiene a esa temperatura durante 40 minutos para hornear una pizza y, finalmente, se apaga, descendiendo su temperatura hasta la temperatura ambiente (20ºC) de forma constante en 30 minutos."

Escribe los intervalos de tiempo que definirían los tres tramos de la función temperatura $T(t)$.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcula el valor de la función en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Represéntala gráficamente y determina sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.

Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba matemáticamente si la función resulta ser continua también en $x=3$.

Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.

Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.

Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos resultantes.

Para expresar la función $g(x) = |2x - 6| + 1$ como una función definida a trozos, Alejandro escribe en su examen:

Alejandro argumenta que el cambio de tramo siempre se produce en $x = 0$ porque ahí es donde los números pasan de negativos a positivos.

1. a) Explica razonadamente el error conceptual de Alejandro. ¿Qué expresión es la que realmente debe cambiar de signo para separar los tramos del valor absoluto y en qué valor de $x$ ocurre el cambio?
2. b) Escribe la expresión correcta de $g(x)$ a trozos y comprueba, calculando los límites laterales en el punto de cambio de tramo, que la función no presenta ningún salto (es continua).

Para resolver la ecuación $|x - 1| + |x - 3| = 4$, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Método A (Analítico mediante función a trozos): Definir $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ a trozos. Para ello, se estudia el signo de $x - 1$ y de $x - 3$ dividiendo la recta real en tres intervalos ($x < 1$, $1 \le x \le 3$ y $x > 3$), se eliminan las barras según corresponda y se resuelve una ecuación de primer grado en cada tramo, comprobando si cada solución hallada pertenece a su intervalo.

• Método B (Geométrico por distancias): Interpretar $|x - a|$ como la distancia en la recta real entre el valor $x$ y el punto fijo $a$. De este modo, $|x - 1| + |x - 3|$ representa la suma de las distancias desde un punto $x$ hasta el $1$ y hasta el $3$.

1. a) Aplica el Método A: escribe $f(x)$ desglosada en tres tramos simplificados y resuelve la ecuación comprobando la validez de las soluciones en cada intervalo.
2. b) Aplica el Método B: razona sobre la recta numérica cuál es la distancia mínima posible entre $x$ y los puntos $1$ y $3$ (y en qué intervalo de $x$ se alcanza). A partir de ese análisis geométrico, deduce las soluciones de $|x - 1| + |x - 3| = 4$ sin recurrir al álgebra de tramos.
3. c) Compara ambos métodos y justifica cuál de los dos elegirías si la ecuación fuera $|2x - 1| + 3|x - 3| = 8$, y cuál elegirías si te pidieran justificar rápidamente por qué la ecuación $|x - 1| + |x - 3| = 1.5$ no tiene ninguna solución real.

A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.

A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.

Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las discontinuidades que presenta.

Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en metros se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos se apaga el motor y el cohete sigue una trayectoria parabólica de caída libre $h(t) = at^2 + bt + c$, de forma que la transición es continua. Sabiendo que el cohete alcanza su altura máxima a los $25$ segundos e impacta contra el suelo a los $50$ segundos, encuentra la expresión de la parábola y determina la altura máxima alcanzada por el cohete.

Se desea diseñar el perfil vertical de una rampa para patineta formada por dos tramos que empalman en la coordenada horizontal $x = 2$:

La rampa debe cumplir rigurosamente las siguientes condiciones de diseño:

1. Para $x < 2$, el tramo $f_1(x)$ es una función lineal (recta) cuya gráfica pasa por el punto $(-1, 0)$.

2. Para $x \ge 2$, el tramo $f_2(x)$ es una función cuadrática (parábola) cuyo vértice se ubica en el punto $(4, 1)$.

3. La pista no puede tener escalones: la función debe ser continua en $x = 2$, siendo la altura en dicho punto de unión exactamente $f(2) = 5$.

1. a) Halle la expresión algebraica de la parábola $f_2(x)$ a partir de la forma de su vértice, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, y del punto de unión $(2, 5)$.
2. b) Halle la expresión algebraica de la recta $f_1(x)$ determinando su pendiente a partir de los puntos por los que debe pasar.
3. c) Escriba la función $f(x)$ completa con sus dominios y compruebe formalmente, calculando $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, que no existe discontinuidad en $x = 2$.

Un estacionamiento céntrico cobra una tarifa de $50$ lempiras por la primera hora de estancia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $37.50$ lempiras por cada hora adicional, facturando el tiempo extra de forma proporcional a los minutos exactos de estancia. Escriba la función definida por partes $C(x)$ que representa el costo total en función de las horas $x$ que el carro permanece en el estacionamiento.

Una empresa de paquetería urgente en Honduras tarifica los envíos nacionales según su peso $x$ (en kilogramos) mediante la función de costo $P(x)$ (en lempiras):

1. a) Sin realizar cálculos numéricos exactos, observe con atención las dos ramas: la cuota fija pasa de $4$ lempiras a $8$ lempiras, pero el costo por kilogramo baja de $1.5$ lempiras a $0.7$ lempiras. Estime razonadamente si un cliente que envía un paquete de $5.1\text{ kg}$ pagará mucho más, mucho menos o una cantidad prácticamente idéntica a la de otro que envía un paquete de $4.9\text{ kg}$.
2. b) Compruebe su estimación calculando los costos exactos $P(4,9)$ y $P(5,1)$. A continuación, calcule los límites laterales $\lim_{x \to 5^-} P(x)$ y $\lim_{x \to 5^+} P(x)$ para determinar si en el umbral de los $5\text{ kg}$ se produce un salto brusco o si la gráfica empalma de forma continua. ¿Es razonable este resultado para el cliente?

Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $375$ lempiras que incluye los primeros $5$ GB de descarga. Si se supera ese límite, cada gigabyte adicional (o fracción proporcional) se cobra a $50$ lempiras.

Escriba la función $C(x)$ que representa el costo mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos, y calcule cuánto pagará un cliente que ha consumido $3$ GB y otro que ha consumido $8.5$ GB.

El recibo de la luz de una vivienda tiene un término fijo de $250$ lempiras mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $3$ lempiras/kWh. Si se superan los $100$ kWh, el exceso de consumo se cobra a $3.75$ lempiras/kWh. Escribe la función $F(x)$ que da el importe total del recibo en función de los kWh $x$ consumidos.

En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $250\,000$ lempiras de ingresos no se pagan impuestos ($0$%). Por la cantidad que exceda de $250\,000$ lempiras y hasta $500\,000$ lempiras, se paga un $10$%. Por la cantidad que exceda de $500\,000$ lempiras, se paga un $20$%.

Escribe la función definida a trozos $I(x)$ que calcula el impuesto a pagar en función de los ingresos $x$.

En una localidad hondureña, la factura bimensual del agua para uso doméstico se divide en tres tramos de consumo para incentivar el ahorro de agua:

• Tramo 1 (consumo básico): hasta $15\text{ m}^3$, se cobra una cuota fija de servicio de $6$ lempiras más $0.50$ lempiras por cada metro cúbico consumido.

• Tramo 2 (consumo medio): entre $15\text{ m}^3$ y $30\text{ m}^3$, los primeros $15\text{ m}^3$ se pagan según el tramo 1 y el volumen restante que exceda de $15\text{ m}^3$ se factura a $1.20$ lempiras por cada metro cúbico adicional.

• Tramo 3 (consumo elevado): para consumos superiores a $30\text{ m}^3$, los primeros $30\text{ m}^3$ se pagan según los tramos anteriores y cada metro cúbico adicional por encima de $30\text{ m}^3$ cuesta $2.50$ lempiras.

1. a) Modele la factura escribiendo la función $C(x)$ (costo en lempiras) en función del volumen $x$ de agua consumido (en $\text{m}^3$), detallando la expresión algebraica simplificada para cada uno de los tres tramos: $[0, 15]$, $(15, 30]$ y $(30, +\infty)$.
2. b) Compruebe analíticamente mediante los límites laterales correspondientes si la función $C(x)$ es continua en los puntos de cambio de tramo ($x = 15$ y $x = 30$).
3. c) ¿Qué problema de equidad se produciría para los usuarios si la empresa cobrara directamente todo el volumen a $1.20$ lempiras/$\text{m}^3$ en cuanto el consumo superara los $15\text{ m}^3$?

El Congreso Nacional de Honduras aprueba una reforma del tramo del impuesto sobre la renta para rentas del trabajo $x$ (expresadas en miles de lempiras anuales). El impuesto total $T(x)$ (también en miles de lempiras) se modela mediante una función a trozos:

Para garantizar la progresividad y evitar el «salto impositivo» (que un contribuyente termine con menos dinero neto al ganar un poco más de sueldo bruto), la ley impone dos requisitos:

1. La función $T(x)$ debe ser continua en todo su dominio, en particular en $x = 20$.

2. A partir de $20$ mil lempiras, el tipo marginal es del $28\,\%$ (es decir, por cada mil lempiras adicionales sobre los $20$, el impuesto aumenta en $0.28$ mil lempiras, lo que determina el valor de la pendiente $a$).

1. a) Determine razonadamente los valores de $a$ y de $b$ para que se cumplan las dos condiciones legales.
2. b) Defina a trozos la función del sueldo neto restante, $S(x) = x - T(x)$, y calcule el sueldo neto de una persona que gana $20\,000$ lempiras anuales ($x = 20$) y el de otra que gana $20\,500$ lempiras anuales ($x = 20.5$). Compruebe si quien tiene mayor salario bruto conserva efectivamente mayor salario neto.
3. c) Un diputado propuso una fórmula alternativa sin parámetro corrector: $T_{\text{alt}}(x) = 0.18x$ si $0 \le x \le 20$, y $T_{\text{alt}}(x) = 0.28x$ si $x > 20$ (aplicar el $28\,\%$ íntegro a todo el sueldo en cuanto se superen los $20$ mil lempiras). Calcule el salto $\lim_{x \to 20^+} T_{\text{alt}}(x) - \lim_{x \to 20^-} T_{\text{alt}}(x)$ y explique qué situación económicamente absurda sufriría un trabajador que recibiera un aumento de sueldo de $20\,000$ lempiras a $20\,100$ lempiras.

Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero durante $30$ segundos y, finalmente, frena de manera uniforme hasta detenerse por completo en la siguiente estación en $5$ segundos. Escribe la función a trozos $v(t)$ que describe la velocidad del tren en función del tiempo transcurrido desde el arranque.

Un depósito de agua de $6000$ litros de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ litros por minuto. Pasados $60$ minutos, se enciende una segunda bomba auxiliar que añade un caudal adicional de $30$ litros por minuto. Escribe la función a trozos $V(t)$ que representa el volumen de agua en el depósito en función del tiempo, y calcula cuánto tiempo en total se tardará en llenar el depósito por completo.

Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $250$ lempiras si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que exceda de $50$, el precio de la entrada para todos los asistentes se reduce en $2.50$ lempiras.

Escribe la función de ingresos totales del teatro $I(x)$ en función del número de asistentes $x$ (como función a trozos) y determina cuántas personas deben asistir para que el teatro obtenga el máximo ingreso posible.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcula el valor del parámetro $k$ para que el área total de la figura geométrica encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas (eje $X$) sea exactamente de $24$ unidades cuadradas.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ y la recta $y = x + 2$.