Introducción a la estadística

Para conocer las preferencias musicales de los estudiantes de un instituto de $850$ alumnos, el profesor de música ha preguntado a los $30$ alumnos de su clase de 4º ESO. Identifica la población, la muestra, el tamaño de la muestra y los individuos de este estudio estadístico.

Una empresa de mensajería entrega $5\,000$ paquetes al día. Para evaluar el tiempo medio de entrega, el supervisor selecciona aleatoriamente $100$ paquetes y anota los minutos que tardan en llegar a su destino. Determina el tamaño de la población y el tamaño de la muestra.

Indique en cuáles de los siguientes casos es más conveniente estudiar la población entera y en cuáles es necesario seleccionar una muestra. Razone brevemente su respuesta.

• Comprobar el estado de los frenos de todos los carros que fabrica una marca antes de venderlos.

• Estudiar la duración media de los focos que produce una fábrica (teniendo en cuenta que para comprobarlo hay que dejarlos encendidos hasta que se quemen).

• Conocer la edad de los $25$ alumnos de una clase.

• Conocer el nivel de colesterol de los habitantes de un país.

Clasifique las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas:

• El color de los ojos de los pacientes de un oftalmólogo.

• El número de libros leídos en un año por los socios de una biblioteca.

• La temperatura máxima diaria registrada en una ciudad durante el mes de agosto.

• La marca de teléfono celular que usan los profesores de un colegio.

En una investigación sobre hábitos de vida saludable en un colegio, Lucas recoge cuatro datos de cada estudiante: su código postal, el número que lleva en la camiseta del equipo de fútbol sala, el tiempo en minutos que tarda en llegar a clase y la valoración del menú de la cafetería («insuficiente», «aceptable», «bueno» o «excelente»). Al clasificar las variables, Lucas afirma en su cuaderno: «El código postal y el dorsal son números, así que ambas son variables cuantitativas discretas; además, el menú es cualitativa nominal porque no se puede medir con un aparato». Localice los dos errores conceptuales cometidos por Lucas, explique detalladamente por qué su razonamiento es erróneo apoyándose en la definición de cada tipo de variable y clasifique de forma correcta las cuatro variables analizadas.

Clasifica las siguientes variables cuantitativas en discretas o continuas:

• El número de goles marcados por un equipo de fútbol en cada partido de liga.

• El tiempo que tardan los corredores en completar una maratón.

• La cantidad de agua, en litros, que consume una familia al mes.

• El número de pasajeros que viajan en un avión.

Imagine que se realiza un estudio estadístico sobre las computadoras portátiles que tienen los estudiantes de su ciudad. Escriba un ejemplo de variable cualitativa, uno de variable cuantitativa discreta y uno de variable cuantitativa continua que se puedan investigar en este estudio.

En un hospital se recogen los siguientes datos de los pacientes ingresados en urgencias: grupo sanguíneo, número de pulsaciones por minuto, temperatura corporal en grados Celsius y número de veces que han visitado urgencias en el último año. Clasifica cada una de estas cuatro variables estadísticas y justifica por qué la temperatura corporal y el número de pulsaciones pertenecen a categorías distintas.

A la hora de llenar un formulario, se pide a los ciudadanos que ingresen su número de Documento Nacional de Identificación (DNI) y el código postal de su municipio. Aunque ambos datos están formados por cifras numéricas, desde el punto de vista de la estadística no se consideran variables cuantitativas. Explique de qué tipo de variables se trata y por qué no tiene sentido calcular la media aritmética de los códigos postales.

El dinero que una persona lleva en el monedero se mide en lempiras y centavos (por ejemplo, $12.50\text{ \text{L}\ }$). Debata si esta variable estadística debe considerarse cuantitativa discreta o cuantitativa continua. Aporte argumentos a favor de ambas clasificaciones y concluya cuál es la más rigurosa desde el punto de vista matemático.

En un estudio de salud se mide el peso (en $\text{kg}$) y la altura (en $\text{m}$) de los individuos. A partir de estos datos, se calcula el Índice de Masa Corporal (IMC) mediante la fórmula $\text{IMC} = \frac{\text{Peso}}{\text{Altura}^2}$. Posteriormente, se clasifica a los pacientes en tres categorías: "Bajo peso" (IMC $< 18.5$), "Peso normal" (IMC entre $18.5$ y $24.9$) y "Sobrepeso" (IMC $\geq 25$). Identifica y clasifica el tipo de variable estadística en cada una de las fases del estudio: el peso, la altura, el valor numérico del IMC y la categoría final asignada al paciente.

En un estacionamiento de un centro comercial hay $450$ vehículos. Un empleado anota el tipo de vehículo (automóvil, motocicleta, furgoneta, camioneta) de $50$ de ellos elegidos al azar. Identifique la variable estadística que se está estudiando y diga de qué tipo es.

En una empresa tecnológica trabajan $300$ programadores y $200$ diseñadores gráficos. El departamento de recursos humanos quiere realizar una encuesta sobre el clima laboral seleccionando una muestra de $50$ empleados mediante un muestreo aleatorio estratificado proporcional. ¿Cuántos programadores y cuántos diseñadores deben formar parte de la muestra?

En una ciudad de $120\,000$ habitantes se realiza una encuesta telefónica a $600$ personas.

• ¿Qué porcentaje de la población total ha sido encuestado?

• Se sabe que en la ciudad el $15\,\%$ de los habitantes son jóvenes de entre $18$ y $25$ años. Para que la muestra de $600$ personas sea representativa en cuanto a la edad, ¿cuántos jóvenes de esa franja de edad deberían estar incluidos en la muestra?

Un municipio está dividido en tres distritos: el distrito Norte tiene $4\,500$ habitantes, el distrito Sur tiene $2\,700$ habitantes y el distrito Este tiene $1\,800$ habitantes. La alcaldía necesita seleccionar una muestra de $200$ personas aplicando un muestreo estratificado con afijación proporcional. Calcule paso a paso cuántos encuestados deben extraerse de cada uno de los tres distritos para que la muestra sea representativa.

En un instituto de $800$ alumnos, el $60\,\%$ son chicas. Además, se sabe que el $25\,\%$ del total de alumnos del centro cursa 4º ESO. Se desea seleccionar una muestra representativa de $40$ alumnos utilizando un muestreo estratificado que tenga en cuenta simultáneamente el sexo y el curso. Suponiendo que la proporción de chicas en 4º ESO es la misma que en el resto del instituto, calcula cuántas chicas que cursan 4º ESO deben estar incluidas en la muestra.

En una empresa de desarrollo de software con $500$ trabajadores repartidos en tres sedes (Tegucigalpa, San Pedro Sula y La Ceiba) se ha llevado a cabo un muestreo estratificado con afijación proporcional para una encuesta de clima laboral, seleccionando una muestra total de $80$ personas. Al revisar el archivo del estudio, se han borrado los datos del censo original de cada sede, pero se conservan los tamaños muestrales extraídos: en la muestra participaron $44$ trabajadores de Tegucigalpa y $24$ de San Pedro Sula. Determine cuántos trabajadores de La Ceiba formaron parte de la muestra y reconstruya el número total de empleados ($N_i$) que tiene la empresa en cada una de las tres sedes justificando matemáticamente cada paso. Por último, si en lugar del muestreo estratificado se hubiese decidido aplicar un muestreo sistemático sobre la lista completa de los $500$ empleados para obtener los $80$ encuestados, calcule el salto $k = N/n$, interprete por qué dicho cociente no es un número entero y reflexione sobre qué dificultad práctica plantea esto al investigador.

Una mancomunidad de municipios de $18\,000$ habitantes en edad laboral encarga un estudio sobre el impacto del teletrabajo en la comarca. La población activa se distribuye en tres sectores económicos: Servicios ($10\,800$ personas), Industria ($5\,400$ personas) y Agricultura ($1\,800$ personas). El equipo técnico dispone de recursos para encuestar a $n = 600$ personas y baraja dos propuestas metodológicas: la Propuesta 1 consiste en aplicar un muestreo estratificado con afijación proporcional por sector laboral a partir del registro del padrón; la Propuesta 2 consiste en difundir un cuestionario abierto en redes sociales locales y portales de noticias de la comarca hasta registrar las primeras $600$ respuestas recibidas. Modela matemáticamente la muestra de la Propuesta 1 calculando cuántos trabajadores deben seleccionarse de cada sector y demuestra que la proporción muestral de cada estrato coincide con su peso real en la población. Posteriormente, evalúa la Propuesta 2 identificando al menos dos sesgos de selección graves en función de los sectores laborales analizados y argumenta por qué, en estadística, una muestra amplia no corrige las deficiencias de un diseño muestral sesgado.

El director de un colegio tiene una lista alfabética con los $600$ alumnos matriculados. Quiere seleccionar una muestra de $30$ alumnos mediante un muestreo aleatorio sistemático.

• Calcule el coeficiente de elevación (el salto entre un individuo y el siguiente).

• Si el primer alumno elegido al azar es el que ocupa la posición número $12$ en la lista, indique qué posiciones ocuparán los tres siguientes alumnos seleccionados para la muestra.

En una sala de cine hay $1\,200$ butacas numeradas del $1$ al $1\,200$. El gerente quiere encuestar a $40$ espectadores.

• Explica cómo seleccionarías la muestra utilizando un muestreo sistemático. Si el primer asiento elegido es el $17$, ¿cuál será el último asiento de la muestra?

• Si las butacas se dividen en Platea ($800$ butacas) y Anfiteatro ($400$ butacas), explica cómo realizarías la selección mediante un muestreo estratificado proporcional.

En una planta de distribución logística se inspeccionan palés de $N = 1\,400$ paquetes que avanzan por una cinta automatizada continua. Las cajas se cargan en la cinta en un orden cíclico y repetitivo de $7$ tipos de producto: el 1.º es frágil, el 2.º textil, el 3.º alimentación, el 4.º electrónica, el 5.º calzado, el 6.º droguería y el 7.º papelería (y el 8.º vuelve a ser frágil, repitiéndose siempre la misma secuencia). El inspector de calidad debe extraer una muestra de $n = 50$ paquetes de un palé y valora dos métodos: el Método A (muestreo sistemático con salto $k = N/n$ y arranque aleatorio $a$ entre $1$ y $k$) y el Método B (muestreo estratificado con afijación proporcional considerando cada tipo de producto como un estrato). Calcula el salto $k$ del Método A y determina los números de posición de los cuatro primeros paquetes que se revisarían si el arranque aleatorio resultante fuera $a = 15$. Demuestra qué tipo de mercancía tendrían absolutamente todos los paquetes seleccionados con ese arranque en el Método A y explica qué fenómeno periódico arruina la representatividad. Finalmente, compara ambos métodos y justifica de forma concluyente cuál debe elegirse para asegurar un control de calidad riguroso.

Se quiere hacer un estudio sobre el grado de satisfacción de los clientes de una pizzería. Para ello, el encargado decide encuestar únicamente a las personas que piden pizza con piña. ¿Crees que la muestra elegida es representativa de todos los clientes? Justifica tu respuesta.

La directiva de un colegio con $720$ alumnos matriculados desea realizar dos investigaciones estadísticas distintas: en primer lugar, conocer el grado de satisfacción de los $45$ alumnos que utilizan a diario el servicio de transporte escolar con respecto a la puntualidad del bus; en segundo lugar, conocer el número medio de horas semanales que dedican a las pantallas de ocio los estudiantes de todo el colegio. Para este segundo estudio, una profesora propone colocar a un encuestador en la puerta de la biblioteca a las 8:00 de la mañana y preguntar a los $60$ primeros estudiantes que entren. Para cada uno de los dos casos, determine justificadamente si es más conveniente realizar un censo o seleccionar una muestra. Además, analice críticamente la propuesta de la profesora para el segundo estudio explicando qué tipo de sesgo introduce y por qué esa muestra no sería representativa.

Un programa de televisión de ámbito nacional lanza una encuesta a través de su cuenta de Twitter preguntando: "¿Crees que se debería prohibir el uso de redes sociales a menores de 16 años?". Responden $15\,000$ personas. Identifica cuál es la población objetivo del programa y explica detalladamente por qué los resultados de esta muestra pueden estar sesgados y no ser representativos.

La alcaldía de su municipio quiere estudiar los hábitos de lectura de los ciudadanos. Diseñe un plan de estudio estadístico indicando:

• Cuál sería la población.

• Un método adecuado para elegir una muestra representativa de $200$ personas, evitando encuestar solo a las personas que salen de la biblioteca municipal.

• Dos variables estadísticas cualitativas y dos variables cuantitativas que incluiría en el cuestionario.

Un periódico publica el siguiente titular: "El $80\,\%$ de los accidentes de tránsito ocurren a menos de $20\text{ km}$ del domicilio del conductor. Por tanto, conducir cerca de casa es mucho más peligroso que hacer viajes largos". Analice críticamente esta afirmación desde el punto de vista estadístico. Identifique el error en la interpretación de los datos y explique qué información adicional sobre la población de conductores haría falta para sacar una conclusión válida.

Durante un conflicto bélico, los ingenieros militares analizaron los aviones bombarderos que regresaban a la base con impactos de fuego enemigo. Observaron que la mayoría de los impactos estaban en las alas y en el fuselaje, por lo que propusieron reforzar el blindaje en esas zonas. Un estadístico se opuso a esta decisión argumentando un grave sesgo en la muestra. Identifica cuál era la población total de aviones, cuál era la muestra analizada y explica estadísticamente por qué la conclusión de los ingenieros era errónea (lo que se conoce como "sesgo de supervivencia").

La alcaldía de una gran ciudad está evaluando la construcción de una nueva ciclovía que eliminaría espacios de estacionamiento para carros. Proponga tres métodos de diseño de muestra o recolección de datos que darían resultados intencionadamente sesgados: uno que favorezca el "Sí" a la ciclovía, otro que favorezca el "No", y explique por qué se produce el sesgo en cada caso. Finalmente, proponga un método riguroso para obtener una muestra verdaderamente representativa de la opinión de la ciudad.

Dos empresas encuestadoras quieren predecir el resultado de unas elecciones nacionales. La empresa A coloca una encuesta en la página principal de un conocido periódico deportivo de internet y consigue $50\,000$ respuestas voluntarias. La empresa B realiza llamadas telefónicas a $1\,500$ personas seleccionadas mediante un muestreo aleatorio estratificado según edad, sexo y provincia del censo electoral. Argumenta detalladamente, basándote en los conceptos de población, muestra, tamaño y representatividad, cuál de las dos encuestas proporcionará una predicción más fiable a pesar de la enorme diferencia en el tamaño muestral.