Regla de Ruffini

Divida el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indique el cociente y el residuo resultantes.

Aplique la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escriba claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.

Encuentre el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.

Compruebe, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.

Calcule el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del residuo mediante la regla de Ruffini.

Para calcular el valor numérico del polinomio $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x - 7$ en $x = 3$, se pueden plantear dos caminos distintos: sustituir directamente $x = 3$ y calcular cada potencia, o bien aplicar la regla de Ruffini dividiendo entre $x - 3$ para hallar el residuo.

1. a) Compare ambos métodos analizando el tipo y número de operaciones que requiere cada uno (potencias elevadas frente a sumas y productos sucesivos) y justifique cuál es más rápido y menos propenso a errores cuando no se dispone de calculadora.
2. b) Aplique la regla de Ruffini (prestando atención a los términos ausentes) para obtener el residuo, deduzca el valor de $P(3)$ e indique razonadamente si $x - 3$ es un factor de $P(x)$.

Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.

Determine, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del residuo o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.

Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.

Aplique la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduzca y escriba la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.

El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.

El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es $x + 3$, encuentra el polinomio que representa su longitud.

El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, plantee la ecuación correspondiente y utilice la regla de Ruffini para encontrar la altura $h$.

Los beneficios de una empresa, en miles de lempiras, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encuentre los años exactos en los que el beneficio de la empresa fue nulo (puntos de equilibrio).

La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).

La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.

Resuelva la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factorice primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudie el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.

Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.

Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.

Se desea hallar los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + mx^2 + nx + 6$ sea divisible exactamente por el trinomio $D(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

Dos estudiantes plantean estrategias distintas:

• Álvaro propone efectuar directamente la división euclídea tradicional («en galera») de $P(x)$ entre $D(x)$ e igualar a cero los dos coeficientes del resto lineal obtenido.

• Blanca propone factorizar $D(x) = (x - 2)(2x + 1)$ y encadenar dos tablas de Ruffini sucesivas: primero dividir entre $x - 2$ imponiendo resto cero, y luego dividir el cociente resultante entre $2x + 1$ imponiendo de nuevo resto cero.

1. a) Compare razonadamente ambas estrategias evaluando la carga de cálculo y los riesgos habituales de error algebraico (manejo de fracciones vs. monomios semejantes con parámetros).
2. b) Ejecute la estrategia de Blanca aplicando la regla de Ruffini de manera rigurosa para encontrar los valores exactos de $m$ y $n$, indicando las dos tablas y el cociente final simplificado de la división $P(x) : D(x)$.
3. c) Justificación teórica: Si en un caso general se divide sucesivamente un polinomio $P(x)$ entre $(x - a)$ obteniendo resto $R_1 \neq 0$, y el cociente resultante se divide entre $(cx - b)$ obteniendo resto $R_2 \neq 0$, deduzca algebraicamente cuál es la expresión del resto global de la división de $P(x)$ entre $(x - a)(cx - b)$ y explique por qué no es simplemente la suma $R_1 + R_2$.

Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.

Mateo tiene que dividir el polinomio $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x - 5$ entre el binomio $2x - 1$. Para ello, aplica la regla de Ruffini usando el valor $a = 1/2$. En la última fila de su tabla obtiene sucesivamente los coeficientes $4$, $-4$, $6$ y, como último número, $-2$. A partir de esto, Mateo concluye en su examen: «El cociente de la división es $C(x) = 4x^2 - 4x + 6$ y el resto es $R = -2$». Identifique y explique razonadamente el error conceptual cometido por Mateo, demuestre mediante la prueba de la división que su cociente no puede ser correcto y escriba la solución completa y corregida (cociente real y residuo).

Divida el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Exprese el resultado final indicando cociente y residuo.

Realice la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Tenga en cuenta que debe adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el residuo obtenidos.