Discusión de un sistema de dos ecuaciones
Dos drones sobrevuelan una plantación de palma africana en el valle del Aguán siguiendo trayectorias rectas que dependen de un parámetro $v$, relacionado con la velocidad del viento. Según el valor de $v$, las trayectorias se cruzan en un único punto o van paralelas (en otros sistemas, incluso podrían coincidir por completo). Discutir un sistema es responder esa pregunta para todos los valores posibles del parámetro, sin resolver el sistema valor por valor.
Qué significa «discutir» un sistema
Recuerde la clasificación y su significado geométrico (cada ecuación es una recta):
| Tipo | Soluciones | Rectas |
|---|---|---|
| Compatible determinado (SCD) | una sola | secantes |
| Compatible indeterminado (SCI) | infinitas | coincidentes |
| Incompatible (SI) | ninguna | paralelas distintas |
Pruebe con el deslizador: las rectas son $x-2y=3$ y $mx+4y=-6$. ¿Para qué valor de $m$ se superponen?
Clasificar con el determinante
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $x - 2y = 3$ $mx + 4y = -6$
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$x - 2y = 3$
$mx + 4y = -6$
Para el sistema $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ se define el determinante de los coeficientes:
$$\Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$$Si los denominadores no se anulan, es lo mismo que comparar razones: $\dfrac{a_1}{a_2}\neq\dfrac{b_1}{b_2}$ da SCD. El determinante tiene la ventaja de que no obliga a dividir, así que no se rompe cuando el parámetro anula un coeficiente.
Esto sirve también para la posición relativa de dos rectas: $\Delta\neq0$ son secantes; si $\Delta=0$ son coincidentes o paralelas, según el caso.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible: $3x + ky = 5$ $6x - 4y = 2$
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:
$3x + ky = 5$
$6x - 4y = 2$
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$: $tx + y = t$ $x + ty = 1$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$:
$tx + y = t$
$x + ty = 1$
Valores especiales y solución general
Hay que buscar todos los valores del parámetro que anulan $\Delta$, y estudiar cada uno por separado. Muchas veces $\Delta$ da una ecuación de segundo grado con dos valores.
Cuando el sistema es SCI, las infinitas soluciones se escriben con un parámetro libre. En el caso $k=3$ anterior, hacemos $y=\lambda$ y despejamos de $x+3y=1$:
$$x=1-3\lambda,\qquad y=\lambda,\qquad \lambda\in\mathbb{R}$$Son todos los puntos de la recta $x+3y=1$.
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso. $2x - y = a$ $-4x + 2y = 8$
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso.
$2x - y = a$
$-4x + 2y = 8$
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado: $x + by = 2$ $bx + y = 2$
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado:
$x + by = 2$
$bx + y = 2$
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:…
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$mx + (m+1)y = m$
$mx + 2my = 2$
Considera el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} x + my = 3 \\ mx + 9y = 9 \end{cases}$, donde $m$ es un parámetro real. a) Estima: Antes de realizar…
Considera el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} x + my = 3 \\ mx + 9y = 9 \end{cases}$, donde $m$ es un parámetro real.
- a) Estima: Antes de realizar transformaciones algebraicas formales, observa detenidamente los coeficientes:
-
Estima qué dos valores opuestos de $m$ harán que las pendientes de ambas rectas coincidan.
-
Conjetura razonadamente si para ambos signos de $m$ las rectas llegarán a coincidir en todos sus puntos o si para alguno de ellos resultarán ser paralelas distintas, fijándote en el signo de los términos independientes.
- b) Comprueba: Discute rigurosamente el sistema para todo $m \in \mathbb{R}$ mediante el estudio de las razones $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$ y $\dfrac{c_1}{c_2}$. Clasifícalo en compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
- c) Valora: Compara el resultado formal con tu estimación inicial del apartado a). ¿Se cumplió tu conjetura sobre la coincidencia de las rectas? Justifica por qué la igualdad algebraica confirma o corrige la intuición visual.
Parámetros en distintos lugares y contextos
El parámetro puede aparecer también en los términos independientes, o en más de un coeficiente a la vez. El método es el mismo: calcule $\Delta$, halle los valores que lo anulan y estudie cada uno. Cuando el parámetro está solo en los términos independientes, $\Delta$ no depende de él.
Para los drones, $\Delta=v\cdot v-2\cdot2=v^2-4$. Se anula en $v=2$ y $v=-2$; para cualquier otro viento las trayectorias se cruzan en un punto. En los dos valores especiales hay que reemplazar y comparar las ecuaciones.
Dos situaciones que conviene revisar:
-
Parámetro en una cuenta con letras en el término independiente, como $cx+4y=c^2$: al reemplazar un valor especial, calcule también el $c^2$.
-
Condiciones extra, como «la solución está sobre el eje de ordenadas ($x=0$)» o «no existe punto de equilibrio»: primero discuta, y después resuelva el sistema solo en el caso SCD, o imponga la condición.
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:…
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:
$vx + 2y = 4$
$2x + vy = v$
Discute para qué valores de $v$ las trayectorias de los drones se cruzan en un único punto, son paralelas o coinciden exactamente.
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$: $2x - ty = 3$…
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$:
$2x - ty = 3$
$tx + 2y = 4$
Discute la compatibilidad del sistema según los valores de $t$. ¿Puede darse el caso de que no exista un punto de equilibrio (es decir, que el sistema sea incompatible) si $t$ es un número real?
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$: $ax + y = b$ $x + ay = 2$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:
$ax + y = b$
$x + ay = 2$
Algunos casos con trampa:
-
Si la ecuación tiene fracciones con el parámetro en el denominador (como $\frac{x}{k}$), multiplique para eliminarlas, sabiendo que $k$ no puede ser cero.
-
Si el parámetro es un ángulo $\alpha$ con senos y cosenos, calcule igual $\Delta$ y use $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
-
Si hay dos parámetros ($m$ y $n$), separe casos: primero cuándo $\Delta=0$ (una condición entre $m$ y $n$), y dentro de ella mire los términos independientes.
Discute el sistema en función del parámetro $m$: $x + y = m$ $m^2 x + y = m^2$
Discute el sistema en función del parámetro $m$:
$x + y = m$
$m^2 x + y = m^2$
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función…
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función del parámetro $k$ para evitar posibles cortocircuitos.
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$: $mx + ny = 1$ $nx + my = 1$ Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea…
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$:
$mx + ny = 1$
$nx + my = 1$
Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea incompatible.
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$: $(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$ $(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$ ¿Existe algún…
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$:
$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$
$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$
¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el sistema no sea compatible determinado? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Recta y curva: cuántos puntos de intersección
Si una de las ecuaciones no es lineal, ya no hay determinante. Pero la idea de discutir se mantiene: sustituye una ecuación en la otra, llega a una ecuación cuadrática y el discriminante $\Delta=b^2-4ac$ dice cuántas soluciones hay:
-
$\Delta>0$: dos puntos (la recta es secante a la curva).
-
$\Delta=0$: un punto (tangente).
-
$\Delta<0$: ningún punto.
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el…
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el número de puntos de intersección entre el proyectil y el láser en función del parámetro $m$ (que representa la pendiente del láser).
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$: $x^2 - y^2 = k$ $x + y = 2$
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$:
$x^2 - y^2 = k$
$x + y = 2$
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación…
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación $x + y = c$, donde $c$ es un parámetro que depende de su posición inicial. Discute el número de puntos de colisión entre el satélite y el cometa en función de $c$.
Vuelva al principio: para clasificar las trayectorias de los drones se calcula $\Delta=v^2-4$. Si $v\neq\pm2$ se cruzan en un único punto; para $v=2$ y $v=-2$ los términos independientes no guardan la misma razón, así que las trayectorias van paralelas (SI). En este sistema nunca coinciden (no hay caso SCI).