Inecuaciones racionales
Dania tiene una pequeña pulpería en Comayagua donde vende baleadas. Gasta $\text{L}\,600$ por día en alquiler y servicios, y $\text{L}\,5$ por cada baleada en ingredientes. Cuantas más prepara, menos le cuesta cada una. Entonces se pregunta: ¿cuántas baleadas tiene que preparar por día para que el costo medio no pase de $\text{L}\,15$? Para responder hace falta una desigualdad con la incógnita en el denominador. Al final de la página volvemos a ella.
Por qué no se multiplica en cruz
En una inecuación racional la incógnita aparece en un denominador. La tentación es "sacar" la fracción multiplicando en cruz. Pero usted no sabe si lo que multiplica es positivo o negativo, y si es negativo la desigualdad se invierte.
Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo: $\frac{x-4}{x+3} > 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo:
$\frac{x-4}{x+3} > 0$
Resuelve la inecuación: $\frac{x}{x-5} < 0$
Resuelve la inecuación:
$\frac{x}{x-5} < 0$
Marcos intenta resolver en la pizarra la inecuación racional $\frac{x - 3}{x + 2} \le 0$ y realiza el siguiente procedimiento: «Multiplico ambos miembros por $(x + 2)$…
Marcos intenta resolver en la pizarra la inecuación racional $\frac{x - 3}{x + 2} \le 0$ y realiza el siguiente procedimiento:
«Multiplico ambos miembros por $(x + 2)$ para eliminar el denominador: $(x - 3) \le 0 \times (x + 2) \implies x - 3 \le 0 \implies x \le 3$. Por tanto, el conjunto solución es $(-\infty, 3]$».
- a) Identifica y explica de forma razonada el error conceptual que comete Marcos al multiplicar por $(x + 2)$. ¿Por qué esa operación no es válida en una inecuación si no conocemos el signo de la expresión?
- b) Corrige el ejercicio resolviendo la inecuación paso a paso mediante el estudio de signos en los intervalos correspondientes y escribe la solución correcta en forma de intervalo, justificando por qué un extremo es abierto y el otro cerrado.
El denominador nunca es igual a cero
Observe la gráfica de $\frac{x-4}{x+3}$: está por encima del eje $x$ (positiva) a la izquierda de $-3$ y a la derecha de $4$. En $x=-3$ la función no existe.
Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad: $\frac{-x+5}{x+2} \ge 0$
Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:
$\frac{-x+5}{x+2} \ge 0$
Determina los valores de $x$ que verifican: $\frac{4}{x-6} \le 0$
Determina los valores de $x$ que verifican:
$\frac{4}{x-6} \le 0$
Factorizar para hallar los ceros
Cuando el numerador o el denominador son de grado 2 o más, primero los factoriza (factor común, diferencia de cuadrados, fórmula general, división sintética). Con los factores escritos, el signo de cada uno se estudia fácil y el cociente es el producto de signos.
Resuelve la siguiente inecuación: $\frac{x^2-9}{x+1} > 0$
Resuelve la siguiente inecuación:
$\frac{x^2-9}{x+1} > 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional y expresa la solución mediante intervalos: $\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional y expresa la solución mediante intervalos:
$\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional en la que el numerador es un polinomio de tercer grado: $\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional en la que el numerador es un polinomio de tercer grado:
$\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$
Raíces dobles: el signo no cambia
Si un factor aparece al cuadrado, como $(x-2)^2$, se anula en $x=2$ pero no cambia de signo al pasar por ahí: es siempre mayor o igual que $0$. Entonces, en la tabla ese factor no altera el signo de los tramos, pero el punto $x=2$ sigue siendo especial: ahí el numerador vale $0$.
Resuelve la inecuación racional, prestando especial atención a las raíces múltiples del numerador: $\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$
Resuelve la inecuación racional, prestando especial atención a las raíces múltiples del numerador:
$\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$
Resuelve la inecuación racional, factorizando previamente los polinomios del numerador y denominador: $\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$
Resuelve la inecuación racional, factorizando previamente los polinomios del numerador y denominador:
$\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$
Cuando hay un término en el otro miembro
Si la inecuación es $\frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless k$ con $k\neq0$, o tiene fracciones en los dos miembros, el primer paso es pasarlo todo a un solo miembro y reducir a una sola fracción comparada con $0$. Recién ahí arma la tabla de signos.
Encuentra el conjunto solución de la inecuación: $\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Encuentra el conjunto solución de la inecuación:
$\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Determina el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad entre fracciones algebraicas: $\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$
Determina el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad entre fracciones algebraicas:
$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$
Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación racional: $\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$
Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación racional:
$\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$
Problemas con funciones racionales
El costo medio por unidad, el tiempo en función de la velocidad o la concentración de un fármaco son funciones racionales. Se resuelven igual: traduce el enunciado a una inecuación, la lleva a una fracción comparada con $0$ y estudia los signos. Al final, controle que la respuesta tenga sentido en el contexto (por ejemplo, $x>0$ si es una cantidad de objetos).
Volvamos a Dania: el costo medio de preparar $x$ baleadas es $\frac{600+5x}{x}$ lempiras. En la gráfica buscamos dónde la curva queda por debajo de $15$.
El costo medio diario (en lempiras) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica viene dado por la expresión $C(x) = \frac{20\,000+375x}{x}$. Determine para…
El costo medio diario (en lempiras) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica viene dado por la expresión $C(x) = \frac{20\,000+375x}{x}$. Determine para qué niveles de producción el costo medio será estrictamente inferior a $625$ lempiras por componente.
El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$…
El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$ es la velocidad propia del barco en km/h. ¿Para qué velocidades $v > 0$ el trayecto se realizará en menos de $5$ horas?
La tasa de crecimiento de una población bacteriana (en miles de bacterias por hora) en función del tiempo $t$ (en horas) está dada por la función…
La tasa de crecimiento de una población bacteriana (en miles de bacterias por hora) en función del tiempo $t$ (en horas) está dada por la función $R(t) = \frac{t^2-16}{t+2}$. ¿En qué intervalos de tiempo $t \ge 0$ la tasa de crecimiento es estrictamente positiva?
La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$.…
La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. ¿Durante qué intervalo de tiempo $t \ge 0$ la concentración del fármaco es mayor o igual a $1$ mg/L?
Dominios, parámetros y sistemas
Dominio de una raíz cuadrada
Una raíz cuadrada solo existe si lo de adentro es mayor o igual que $0$. Si adentro hay una fracción, el dominio sale de una inecuación racional.
Un parámetro en la inecuación
Si quiere que $\frac{x^2-kx+9}{x^2+1}>0$ para todo $x$, mire el denominador: $x^2+1>0$ siempre. Entonces el signo depende solo del numerador, y tiene que ser positivo para todo $x$. Una parábola abierta hacia arriba es siempre positiva cuando no corta al eje $x$, es decir, cuando su discriminante es negativo. El resto es resolver esa desigualdad en $k$.
Sistemas de inecuaciones
Un sistema pide que se cumplan las dos inecuaciones a la vez: la solución es la intersección de los conjuntos solución.
En el ejercicio de la gráfica de eficiencia térmica, la función cambia de signo en los ceros del numerador y del denominador. Puede leer la solución mirando dónde la curva queda por debajo del eje $x$, y comprobarla con la tabla de signos.
Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$: $\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$:
$\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$
En óptica, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia focal $f$, la distancia del objeto $p$ y la distancia de la imagen $q$ mediante la fórmula…
En óptica, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia focal $f$, la distancia del objeto $p$ y la distancia de la imagen $q$ mediante la fórmula $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$. Si se utiliza una lente con una distancia focal $f = 12$ cm, determina para qué distancias del objeto $p > 0$ la distancia de la imagen $q$ será mayor de $24$ cm.
El índice de eficiencia térmica $E(r)$ de un sistema de refrigeración cilíndrico depende del radio $r$ (en metros) de los conductos según la función…
El índice de eficiencia térmica $E(r)$ de un sistema de refrigeración cilíndrico depende del radio $r$ (en metros) de los conductos según la función $E(r) = \frac{r^2-4r+3}{r^2-6r+8}$. Los ingenieros necesitan que este índice sea estrictamente negativo para que el sistema no se sobrecaliente. ¿Para qué valores del radio $r > 0$ el sistema es seguro? Apóyate en la representación gráfica de la función para justificar tu respuesta.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones racionales y expresa el resultado como unión de intervalos:…
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones racionales y expresa el resultado como unión de intervalos:
$\begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ \frac{x^2-16}{x} \le 0 \end{cases}$
Se considera la familia de inecuaciones racionales dependientes del parámetro real $k$: $$\frac{x^2 - kx + 16}{x - 2} \le 0$$ a) Realiza un análisis previo: estudia el…
Se considera la familia de inecuaciones racionales dependientes del parámetro real $k$:
$$\frac{x^2 - kx + 16}{x - 2} \le 0$$- a) Realiza un análisis previo: estudia el discriminante del numerador, $\Delta = k^2 - 64$. Razona cómo influye el signo de $\Delta$ en la cantidad de raíces reales del numerador y en los posibles cambios de signo en la recta real.
- b) Determina razonadamente el valor positivo de $k$ para el cual el conjunto solución de la inecuación es exactamente $(-\infty, 2) \cup \{4\}$. Justifica por qué aparece un punto aislado ($x = 4$) como parte de la solución en lugar de un intervalo continuo.
- c) Con el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, comprueba la validez del resultado construyendo la tabla de signos en cada uno de los tramos que determinan las raíces.
- d) Sin realizar cálculos adicionales, deduce cuál sería el conjunto solución si la inecuación original hubiera sido estricta: $\frac{x^2 - kx + 16}{x - 2} < 0$.