Funciones de proporcionalidad inversa: k/x

Identifica en la siguiente tabla si las magnitudes $x$ e $y$ son inversamente proporcionales y, en caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe la función que las relaciona.

• $x$: 1, 2, 3, 4, 6

• $y$: 24, 12, 8, 6, 4

Dada la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ para $x = 3$, $x = -9$ y $x = 0.5$.

Determina el dominio, el recorrido y las ecuaciones de las asíntotas de la función $y = \frac{-8}{x}$.

Asocia cada una de las siguientes funciones con la descripción de los cuadrantes en los que se sitúan sus ramas al representarlas gráficamente:

1. a) $y = \frac{5}{x}$
2. b) $y = \frac{-2}{x}$
3. c) $y = \frac{0.1}{x}$

Descripciones:

1. Ramas situadas en el primer y tercer cuadrante.

2. Ramas situadas en el segundo y cuarto cuadrante.

Observa la siguiente gráfica de una función de proporcionalidad inversa y determina su constante $k$ y su expresión algebraica $y = \frac{k}{x}$.

Indica cuáles son las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal de la hipérbola cuya expresión algebraica es $y = \frac{5}{x-4} + 3$.

Halla el dominio de definición de la función racional $y = \frac{7}{x+5}$.

La gráfica de la función $y = \frac{8}{x}$ se traslada en el plano cartesiano $4$ unidades hacia la izquierda y $3$ unidades hacia abajo. Escribe la expresión algebraica de la nueva función, determina su dominio y halla las coordenadas del punto donde se cortan sus asíntotas.

Halla analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.

Escribe la ecuación de una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ sabiendo que sus asíntotas son las rectas $x = -2$ e $y = 4$, y que su gráfica pasa por el punto $(0, 5)$.

Una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ tiene su centro de simetría en el punto $(-1, 3)$ y corta al eje de abscisas en $x = 1$. Halla su expresión algebraica y calcula el punto de corte con el eje de ordenadas.

Lucía está estudiando la monotonía de la función $f(x) = \frac{8}{x}$. Sabe que la constante es $k = 8 > 0$ y su profesor ha explicado en clase que las funciones con $k > 0$ son decrecientes. Para comprobarlo empíricamente, toma dos valores de la variable: $x_1 = -2$ y $x_2 = 4$. Al calcular sus imágenes, obtiene $f(-2) = -4$ y $f(4) = 2$. Sorprendida, observa que $-2 < 4$ y, sin embargo, $f(-2) < f(4)$, por lo que concluye que «la teoría falla, porque al avanzar hacia la derecha la función ha subido». Identifica y explica con precisión el error conceptual de Lucía, aclara por qué su ejemplo no contradice la teoría y redacta cómo debe enunciarse de forma matemáticamente rigurosa el decrecimiento de $f(x)$.

Determina el dominio, el recorrido, las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de la función $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indica también sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

A partir de la gráfica de esta hipérbola trasladada, determina las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas de su centro de simetría y deduce su expresión algebraica de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.

Un premio de lotería de $7\,500$ lempiras se va a repartir a partes iguales entre un grupo de $x$ amigos. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el dinero que recibe cada uno con el número de amigos y calcula cuánto reciben si son $6$ personas.

Para recorrer una distancia fija de $120$ km, el tiempo $t$ empleado (en horas) y la velocidad media $v$ (en km/h) son magnitudes inversamente proporcionales. Escriba la función $v(t)$ y calcule a qué velocidad constante debe ir un carro si quiere tardar exactamente $2.5$ horas en realizar el trayecto.

Un grupo de personas alquila una cancha de pádel por $600$ lempiras. Escriba la función $C(x)$ que expresa el costo por persona en función del número de jugadores $x$. Si el costo final ha sido de $150$ lempiras por persona, ¿cuántos jugadores alquilaron la cancha? ¿Cuál es el dominio lógico de esta función teniendo en cuenta el contexto del problema?

Para llenar una piscina, $4$ llaves de igual caudal tardan $9$ horas. Escriba la función que relaciona el tiempo de llenado $t$ (en horas) con el número de llaves abiertas $n$. ¿Cuánto tiempo tardarían $6$ llaves en llenar la misma piscina?

Según la ley de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, la presión $P$ de un gas y su volumen $V$ son magnitudes inversamente proporcionales ($P \times V = k$). Si un gas determinado ocupa un volumen de $20$ litros a una presión de $1.5$ atmósferas, escribe la función $V(P)$ y calcula qué volumen ocupará a $3$ atmósferas.

La resistencia eléctrica $R$ (en ohmios, $\Omega$) de un hilo conductor de longitud constante es inversamente proporcional al área de su sección transversal $S$ (en mm$^2$). Si para una sección de $2 \text{ mm}^2$ la resistencia es de $0.02\ \Omega$, expresa $R$ en función de $S$. ¿Cuál debe ser la sección mínima del hilo para que la resistencia sea menor o igual a $0.01\ \Omega$?

En un tramo de obras de $30\text{ km}$ en una autovía de Castilla y León, la DGT establece restricciones temporales. El tiempo $t$ (en horas) necesario para recorrer dicho tramo depende de la velocidad media $v$ (en $\text{km/h}$) a la que circula un vehículo según la relación $t(v) = \frac{30}{v}$.

1. a) Justifica por qué $t$ y $v$ son magnitudes inversamente proporcionales e indica las unidades y el significado físico de la constante $k = 30$.
2. b) Analiza las asíntotas de la función en el contexto de este trayecto: ¿qué significado físico tendría aproximarse a la asíntota vertical $v = 0$? ¿Y a la asíntota horizontal $t = 0$? Razona si es físicamente posible alcanzar alguna de las dos.
3. c) Un conductor argumenta: «Si bajo mi velocidad de $120\text{ km/h}$ a $60\text{ km/h}$, el tiempo que pierdo es exactamente el mismo que si bajo de $60\text{ km/h}$ a $30\text{ km/h}$, porque en ambos casos he reducido la velocidad a la mitad». Demuestra cuantitativamente si su afirmación es verdadera o falsa calculando los minutos de retraso en cada caso, y explica qué propiedad de la hipérbola hace que las pérdidas de tiempo no sean iguales.

Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos gastos fijos diarios de $12\,500$ lempiras por encender la maquinaria, y producir cada unidad cuesta $50$ lempiras. Escriba la función del costo medio por unidad $C_m(x)$ en función del número de unidades $x$ fabricadas al día. Encuentre sus asíntotas e interprete el significado de la asíntota horizontal en el contexto del problema.

La distancia focal de una lente delgada convergente es de $20$ cm. La relación entre la distancia del objeto a la lente $s_o$ y la distancia de la imagen $s_i$ viene dada por la ecuación $\frac{1}{20} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Expresa $s_i$ en función de $s_o$. ¿Qué ocurre con la distancia de la imagen cuando el objeto se acerca a $20$ cm de la lente por la derecha?

Expresa la función racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ realizando la división de polinomios. A continuación, indica las ecuaciones de sus asíntotas y las coordenadas de su centro de simetría.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{-4}{x-1}$ y la recta $y = -x + 4$.

Halla el valor de la constante $k$ para que la hipérbola $y = \frac{k}{x}$ sea tangente a la recta $y = -x + 6$ (es decir, para que se corten en un único punto).