Diagramas de caja

Dada la siguiente lista de temperaturas en grados Celsius registradas durante 8 días, desordenadas: $15, 12, 19, 14, 18, 10, 21, 16$.

Ordena los datos de menor a mayor y calcula el resumen de los cinco números necesario para dibujar un diagrama de caja.

Se han registrado las edades de 7 estudiantes de un taller de teatro: $12, 14, 15, 18, 20, 22, 25$.

Calcula el mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer cuartil ($Q_3$) y el máximo. Determina también el rango intercuartílico ($IQR$).

Observe el siguiente diagrama de caja que representa los puntos anotados por un jugador de baloncesto en varios partidos.

Identifique los valores del resumen de los cinco números (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) y calcule la amplitud de la caja (rango intercuartílico).

En un estudio sobre el peso de las mochilas escolares, se ha obtenido que el primer cuartil es $Q_1 = 4.5$ kg y el tercer cuartil es $Q_3 = 7.2$ kg.

Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). Si el peso mínimo registrado es de $2$ kg, ¿cuál es la longitud del bigote izquierdo en el diagrama de caja?

Responde a las siguientes preguntas conceptuales sobre un diagrama de caja:

• ¿Qué porcentaje aproximado de los datos se encuentra dentro de la caja (entre $Q_1$ y $Q_3$)?

• ¿Qué porcentaje de los datos se encuentra en cada uno de los bigotes (asumiendo que no hay valores atípicos)?

• Si la caja es muy estrecha, ¿qué indica sobre la dispersión de los datos centrales?

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta en cada caso:

• La línea que marca la mediana siempre se encuentra exactamente en el centro geométrico de la caja.

• Los dos bigotes de un diagrama de caja siempre tienen la misma longitud.

• El rango intercuartílico no se ve afectado por los valores extremos (máximo y mínimo).

Los salarios (en lempiras) de 5 empleados de una pequeña empresa son: $27\,500, 30\,000, 32\,500, 37\,500, 62\,500$.

Calcule el resumen de los cinco números. Si el empleado que gana $62\,500$ lempiras recibe un aumento de $12\,500$ lempiras (pasando a ganar $75\,000$ lempiras), ¿cómo afecta esto a la mediana y al rango intercuartílico? ¿Qué ventaja tiene el diagrama de caja frente a la media aritmética en este caso?

El servicio de atención al cliente de una compañía de telecomunicaciones registra el tiempo de espera (en minutos) de $100$ usuarios en dos canales distintos:

• Canal telefónico: $\text{Mínimo} = 1$, $Q_1 = 3$, $\text{Mediana} = 4$, $Q_3 = 5$, $\text{Máximo} = 45$. Media $= 5.8\text{ min}$; Rango $= 44\text{ min}$; $RIC = 2\text{ min}$. (El máximo de $45$ se debió a una caída puntual del sistema informático un día concreto).

• Canal chat web: $\text{Mínimo} = 3$, $Q_1 = 6$, $\text{Mediana} = 8$, $Q_3 = 10$, $\text{Máximo} = 12$. Media $= 7.9\text{ min}$; Rango $= 9\text{ min}$; $RIC = 4\text{ min}$.

La dirección debate qué método emplear para comparar la regularidad y calidad del servicio:

• Método 1: Comparar la dispersión utilizando el rango total ($\text{Máximo} - \text{Mínimo}$).

• Método 2: Comparar la dispersión utilizando el rango intercuartílico ($RIC$) y la mediana.

1. a) Si la empresa utilizase el Método 1, ¿qué canal parecería mucho más disperso e impredecible? ¿Refleja esa conclusión la experiencia habitual del $50\,\%$ central de los usuarios?
2. b) Elige razonadamente cuál de los dos métodos estadísticos es más representativo para valorar la calidad cotidiana del servicio y explica por qué el $RIC$ resulta más robusto frente a incidencias técnicas aisladas.

Un grupo de investigadores ha resumido la altura (en cm) de una población de plantas con los siguientes cinco números: Mínimo = $110$, $Q_1 = 125$, $Me = 135$, $Q_3 = 142$, Máximo = $160$.

Dibuja el diagrama de caja correspondiente en tu cuaderno indicando claramente la escala utilizada en el eje horizontal.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se ha preguntado a un grupo de familias por el número de mascotas que tienen, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:

• $0$ mascotas: $8$ familias

• $1$ mascota: $12$ familias

• $2$ mascotas: $10$ familias

• $3$ mascotas: $6$ familias

• $4$ mascotas: $4$ familias

Calcula los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ a partir de las frecuencias acumuladas y describe detalladamente cómo sería el diagrama de caja correspondiente.

En una clase de 32 alumnos, el diagrama de caja de las notas del examen final muestra que $Q_1 = 4$, $Me = 6$ y $Q_3 = 7.5$.

Sabiendo que no hay notas repetidas que coincidan exactamente con los cuartiles, ¿cuántos alumnos aproximadamente han sacado una nota igual o inferior a $4$? ¿Cuántos alumnos han sacado una nota entre $4$ y $7.5$?

La siguiente tabla muestra el tiempo (en horas) que un grupo de jóvenes dedica a la semana a jugar a videojuegos, agrupado en intervalos:

• $[0, 5)$: $10$ jóvenes

• $[5, 10)$: $25$ jóvenes

• $[10, 15)$: $30$ jóvenes

• $[15, 20)$: $15$ jóvenes

Calcula la posición de los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ interpolando en las clases correspondientes.

El siguiente histograma muestra la distribución de las edades de los visitantes a un museo durante una tarde.

A partir de las frecuencias representadas en el histograma, determina los intervalos en los que se encuentran el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) y el tercer cuartil ($Q_3$). Justifica tus cálculos utilizando las frecuencias acumuladas.

Se ha medido el tiempo (en minutos) que tardan 9 personas en resolver un rompecabezas: $10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 25, 30$.

Calcula la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$. ¿El valor $30$ se considera un valor atípico según la regla de $1.5 \times IQR$?

En una distribución estadística, el primer cuartil es $Q_1 = 40$ y el tercer cuartil es $Q_3 = 64$.

Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). A continuación, determina los límites inferior y superior para identificar valores atípicos (utilizando la regla de $1.5 \times IQR$). ¿Sería el valor $105$ considerado un valor atípico? ¿Y el valor $3$?

Se tiene un conjunto de datos formado por 6 números: $4, 8, 10, 15, 20, y$.

Sabiendo que la mediana de este conjunto de datos es $12$, halla el valor desconocido de $y$. Una vez hallado, calcula el primer y tercer cuartil, y determina si existe algún valor atípico.

Se ha registrado el número de pulsaciones por minuto de 11 atletas tras una carrera: $110, 115, 120, 122, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 200$.

Calcula el resumen de los cinco números e identifica si el valor $200$ es un valor atípico utilizando el criterio de $1.5 \times IQR$. Si eliminamos ese valor atípico del conjunto de datos, ¿cómo varían la media y la mediana? ¿Qué medida de centralización es más robusta frente a este cambio?

Marcos analiza las edades de los socios de un club de ajedrez juvenil. Tras ordenar los datos, obtiene el siguiente resumen de cinco números: $\text{Mínimo} = 8$ años, $Q_1 = 12$ años, $\text{Mediana} = 15$ años, $Q_3 = 18$ años y $\text{Máximo} = 30$ años.

Para comprobar si la persona de $30$ años se debe considerar un valor atípico (outlier), Marcos escribe en su cuaderno:

«$RIC = 18 - 12 = 6$. Como la mediana es $15$, el límite a partir del cual un dato es atípico es $\text{Mediana} + 1.5 \times RIC = 15 + 1.5 \times 6 = 15 + 9 = 24$. Como $30 > 24$, la edad de $30$ años es un atípico.»

1. a) Localiza y explica el error conceptual que ha cometido Marcos en la fórmula del límite superior.
2. b) Corrige el cálculo aplicando el criterio adecuado y determina cuál es el límite superior real a partir del cual una edad se considera atípica en este grupo. ¿Sigue considerándose $30$ un valor atípico tras la corrección?

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registra durante $15$ días de enero las siguientes temperaturas mínimas (en grados Celsius) en una estación de alta montaña:

$$-12,\; -10,\; -9,\; -8,\; -6,\; -5,\; -4,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 2,\; 3,\; 4,\; 18$$

1. a) Modela la distribución de estas temperaturas calculando el resumen de cinco números (mínimo, $Q_1$, $\text{Mediana}$, $Q_3$, máximo) y el rango intercuartílico ($RIC$).
2. b) Determina mediante el criterio matemático de Tukey si el registro de $18\;^\circ\text{C}$ (producido por un episodio excepcional de viento cálido) debe catalogarse como dato atípico. A la vista del resultado, ¿hasta qué valor numérico se dibujaría el bigote derecho del diagrama de caja?
3. c) Si se transforman todas las temperaturas a la escala Fahrenheit mediante la función lineal $F = 1.8 \times C + 32$, calcula la nueva mediana y el nuevo rango intercuartílico ($RIC_F$) aplicando las propiedades de las transformaciones lineales, sin necesidad de convertir los $15$ datos uno a uno.

El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de las pulsaciones por minuto en reposo de dos grupos de atletas, A (corredores de fondo) y B (levantadores de pesas).

A partir de la observación de los gráficos, responde:

• ¿Qué grupo tiene una mediana menor?

• ¿Qué grupo presenta una mayor dispersión en el $50\%$ central de sus datos?

• Calcula el rango intercuartílico de ambos grupos y compáralos.

Un diagrama de caja tiene los siguientes valores: Mínimo = $10$, $Q_1 = 15$, $Me = 18$, $Q_3 = 35$, Máximo = $40$.

Analiza la asimetría de la distribución. ¿Está sesgada hacia la derecha o hacia la izquierda? Justifica tu respuesta comparando las distancias entre los cuartiles y la mediana.

En un diagrama de caja, el bigote derecho es extremadamente largo en comparación con el bigote izquierdo y la caja. Por ejemplo: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $120$.

Razona y justifica matemáticamente si la media aritmética de esta distribución será mayor, menor o aproximadamente igual a la mediana. ¿Por qué ocurre esto?

Demuestra con un contraejemplo que un diagrama de caja no es suficiente para identificar si una distribución es bimodal (es decir, si tiene dos modas o picos de frecuencia).

Para ello, inventa dos conjuntos de datos de 8 elementos cada uno: uno que sea claramente unimodal y otro que sea claramente bimodal, pero de tal forma que ambos tengan exactamente el mismo resumen de los cinco números (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo).

Una empresa analiza el tiempo de vida (en horas) de dos marcas de bombillas, A y B. Ambas marcas tienen la misma mediana ($Me = 1000$ h) y el mismo rango intercuartílico ($IQR = 200$ h). Sin embargo, el rango total de la marca A es de $400$ h, mientras que el rango total de la marca B es de $1200$ h.

¿Qué información nos aporta esta diferencia en los rangos totales sobre la fiabilidad y la presencia de valores atípicos en ambas marcas? ¿Cuál de las dos marcas considerarías más predecible y por qué?

En un control de velocidad en una travesía urbana limitada a $50\text{ km/h}$, la Policía Local anota las velocidades (en $\text{km/h}$) de $9$ vehículos infractores:

$$52,\; 53,\; 54,\; 55,\; 56,\; 58,\; 60,\; 85,\; 95$$

1. a) Estima sin calcular la media: Observa la posición del dato central y la distancia a la que quedan los extremos respecto a él. ¿Esperas que el diagrama de caja sea simétrico o que presente sesgo? A partir de esa forma, razona si estimas que la media aritmética resultará apreciablemente mayor, menor o igual que la mediana.
2. b) Comprueba con cálculos: Halla los cinco números del resumen (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) y el rango intercuartílico ($RIC$). A continuación, calcula la media aritmética exacta y comprueba si confirma tu estimación previa sobre el sesgo.

Dos líneas de autobús urbano (Línea A y Línea B) conectan la estación de tren con un campus universitario. A partir del registro de tiempos de trayecto (en minutos) durante todo el año escolar, se han trazado sus diagramas de caja, cuyos datos característicos son:

• Línea A: $\text{Mínimo} = 12$, $Q_1 = 18$, $\text{Mediana} = 25$, $Q_3 = 28$, $\text{Máximo} = 34$ (sin datos atípicos).

• Línea B: $\text{Mínimo} = 15$, $Q_1 = 20$, $\text{Mediana} = 22$, $Q_3 = 24$, $\text{Máximo} = 42$ (con un único dato atípico en $42$; el último valor no atípico donde acaba el bigote es $29$).

1. a) Un estudiante llega a la estación a las $8:30$ y su examen comienza a las $9:00$ (dispone de $30$ minutos de margen). Deduzca a partir de los cuartiles qué porcentaje de los viajes tarda $28$ minutos o menos en la Línea A y qué porcentaje tarda $24$ minutos o menos en la Línea B. ¿Qué línea le ofrece mayor garantía de que al menos el $75\,\%$ de las veces llegará a tiempo?
2. b) Analice el sesgo de cada línea comparando las distancias $(Me - Q_1)$ frente a $(Q_3 - Me)$ y la longitud de los bigotes. Justifique en cuál de las dos líneas es previsible que la media aritmética sea claramente inferior a la mediana.
3. c) Para agilizar el tráfico se habilita un carril exclusivo que reduce el tiempo de viaje según la relación $t' = 0.8 \times t - 1$. Demuestre de forma algebraica general que si un dato cualquiera $x$ era un valor atípico superior en la variable original $t$, su valor transformado $x'$ seguirá siendo obligatoriamente un valor atípico superior en la variable $t'$.

Las notas de un examen sobre 10 puntos tienen el siguiente resumen: Mínimo = $3$, $Q_1 = 5$, $Me = 6$, $Q_3 = 8$, Máximo = $10$.

El profesor decide transformar las notas multiplicándolas por $0.8$ y sumándoles $2$ puntos. Calcula el nuevo resumen de los cinco números y el nuevo rango intercuartílico.

Ingeniería inversa. Crea un conjunto de datos formado por 7 números enteros que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones para su diagrama de caja:

• Mínimo = $2$

• $Q_1 = 4$

• Mediana = $7$

• $Q_3 = 10$

• Máximo = $15$

Demuestra paso a paso que tu conjunto de datos cumple con los valores requeridos.

En una distribución estadística, los cuartiles vienen dados por expresiones algebraicas en función de un parámetro $x > 0$:

• $Q_1 = x$

• $Me = 2x + 1$

• $Q_3 = x^2 - 2$

Sabiendo que el rango intercuartílico ($IQR$) es igual a $10$, plantea una ecuación, resuelve para hallar el valor de $x$, y calcula los valores numéricos de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$.

Ingeniería inversa de una distribución salarial. En un estudio sociológico se recopilan los salarios netos mensuales de $N = 10$ empleados de una cooperativa, expresados en cientos de lempiras y ordenados de menor a mayor: $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{10}$.

Construya una serie numérica de $10$ valores enteros que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones en su diagrama de caja:

1. $\text{Mínimo} = 10$ ($1000\text{ \text{L}\ }$).

2. $Q_1 = 13$ y $Q_3 = 19$. (Para una muestra de $10$ datos ordenados, tome como cuartiles la mediana de cada mitad: $Q_1 = x_3$ y $Q_3 = x_8$).

3. La mediana de la muestra es exactamente $16$ ($1600\text{ \text{L}\ }$), pero ningún empleado de las posiciones centrales cobra exactamente esa cantidad ($x_5 \ne x_6$).

4. En la distribución existe exactamente un valor atípico superior y ningún valor atípico inferior.

Calcule de forma explícita las fronteras que delimitan los datos atípicos, proponga los $10$ valores numéricos $\{x_1, x_2, \dots, x_{10}\}$ y justifique paso a paso por qué su conjunto satisface cada uno de los requisitos.