Operaciones elementales

Realiza la siguiente operación combinada con números enteros, respetando estrictamente la jerarquía de las operaciones: $5 - 2 \times (4 - (-3)^2) + (-2)^3$.

En una prueba de evaluación inicial de 1.º de Bachillerato, Mateo debe calcular el valor numérico de la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones:

Mateo escribe en su examen:

«$-3^2 = 9$. Luego, dentro del paréntesis hago primero $5 - 3 = 2$, y $2 \times 2 = 4$, de modo que queda $4^3 = 64$. Por tanto, $A = 9 + 2 \times 64 - (-16) = 9 + 128 + 16 = 153$».

1. a) Identifica y explica de forma razonada los tres errores conceptuales cometidos por Mateo (uno de signo en las potencias, uno de jerarquía de operaciones dentro del paréntesis y otro de signo al restar la potencia final).
2. b) Realiza el cálculo correcto paso a paso hasta obtener el valor numérico exacto de $A$.

Calcula y simplifica al máximo el resultado de la siguiente expresión con fracciones: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \times \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Un depósito de agua para riego agrícola está lleno hasta sus $\frac{3}{5}$ partes. Si se extrae el equivalente a $\frac{1}{4}$ de la capacidad total del depósito para regar una parcela, determina qué fracción de la capacidad total del depósito queda aún con agua.

Una empresa tecnológica destina $\frac{2}{5}$ de su presupuesto anual a salarios del personal y $\frac{1}{3}$ del presupuesto restante a campañas de marketing. Si después de estas dos asignaciones aún le quedan $1\,350\,000$ lempiras para otros gastos operativos, plantee las operaciones con fracciones necesarias para determinar a cuánto asciende el presupuesto total de la empresa.

Resuelve la siguiente operación con fracciones anidadas (castillo de fracciones), simplificando paso a paso desde el interior hacia el exterior: $\frac{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$.

Una asociación juvenil de Tegucigalpa dispone de un presupuesto anual para actividades de ocio saludable y decide distribuirlo de la siguiente manera: $\frac{3}{10}$ del total se destinan a un torneo de ajedrez, $\frac{1}{4}$ a un taller de teatro y $\frac{2}{5}$ a una salida a la montaña de La Tigra.

1. a) Sin realizar todavía operaciones con común denominador en papel, estime de forma mental y razonada si con estos tres gastos se habrá agotado todo el presupuesto o si aún quedará una pequeña parte libre (puede ayudarse asociando mentalmente cada fracción a porcentajes sencillos: por ejemplo, $\frac{1}{4} = 25\%$).
2. b) Plantee la suma de fracciones, calcule el común denominador y obtenga la fracción irreducible exacta del presupuesto que se ha comprometido, así como la fracción restante disponible.
3. c) Compare el resultado exacto con su estimación previa y justifique si su valoración inicial fue correcta.

Según datos de la Confederación Hidrográfica del Guadalquivir sobre el estado de las reservas hídricas, un embalse se encontraba al inicio del año a $\frac{2}{3}$ de su capacidad total $C$. Durante un periodo seco, el volumen de agua almacenada se redujo a la mitad. Posteriormente, las precipitaciones aportaron un volumen de agua equivalente a $\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \times C$. Por último, para mantener el caudal ecológico del río, se desembalsó una sexta parte del volumen que contenía el embalse tras las lluvias.

1. a) Modele la situación mediante una única expresión combinada de fracciones y potencias que determine el volumen final de agua en función de $C$.
2. b) Aplique las propiedades de las potencias de exponente negativo y la jerarquía de las operaciones para simplificar dicha expresión y obtener la fracción irreducible de la capacidad total $C$ que permanece en el embalse.

Expresa el resultado como una única potencia utilizando las propiedades de la multiplicación y división de potencias con la misma base: $\frac{7^5 \times 7^{-3}}{7^4}$.

En un experimento de óptica física, la intensidad de una señal láser se reduce a su mitad cada vez que atraviesa un filtro atenuador. Si la señal original tiene una intensidad $I_0$ y atraviesa $5$ filtros consecutivos, y posteriormente se amplifica multiplicándose por un factor de $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2}$, expresa la intensidad final de la señal en función de $I_0$ usando una única potencia de base $2$.

La capacidad total de almacenamiento de un servidor de datos se estructura de la siguiente manera: $\frac{1}{8}$ de la capacidad total se reserva para el sistema operativo; de la capacidad restante, una fracción equivalente a $\left( \frac{7}{4} \right)^{-1}$ se destina a bases de datos, y el espacio que sobra se utiliza para copias de seguridad. Si las copias de seguridad ocupan exactamente $3 \times 2^{40}$ bytes, plantea y resuelve las operaciones necesarias para determinar la capacidad total del servidor, expresando el resultado como una potencia de base $2$.

Desarrolle las siguientes expresiones algebraicas utilizando los productos notables correspondientes:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2x - 1)(2x + 1)$

El lado de una parcela cuadrada destinada a la instalación de paneles solares mide $3x - 2$ metros. Si se decide ampliar el terreno aumentando cada lado en $4$ metros, exprese el área del nuevo terreno y determine la diferencia de áreas entre la parcela nueva y la antigua, utilizando el desarrollo de productos notables.

En el diseño de una pieza mecánica de precisión, se especifica que el área de una sección transversal rectangular debe responder a la fórmula $A = 16x^2 - 24x + 9$ milímetros cuadrados. Demuestra algebraicamente que esta área siempre corresponde a un cuadrado perfecto para cualquier valor real de $x$, y determina la expresión que define la longitud del lado de dicho cuadrado.

Demuestra rigurosamente, mediante manipulación algebraica, que la diferencia entre el cuadrado de la suma de dos números reales cualesquiera y el cuadrado de su diferencia es siempre igual a cuatro veces el producto de dichos números. Es decir, prueba que $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

Para calcular el valor numérico exacto de la expresión

dos estudiantes de 1.º de Bachillerato proponen dos métodos distintos sin recurrir a la calculadora:

• Método de Sergio: Calcular a mano los cuadrados $2025^2$ y $2021^2$, restarlos, elevar al cuadrado la diferencia y dividir el resultado entre el producto $64 \times 2023^2$.

• Método de Elena: Observar que $2025 = 2023 + 2$ y $2021 = 2023 - 2$, de modo que el corchete adopta la forma algebraica $[(x + y)^2 - (x - y)^2]^2$, simplificar dicha estructura teórica mediante identidades notables y solo al final sustituir los valores numéricos.

1. a) Desarrolla algebraicamente la expresión teórica general $T = [(x + y)^2 - (x - y)^2]^2$ aplicando identidades notables y extracción de factores comunes, y demuestra que se reduce exactamente a $16x^2 y^2$.
2. b) Utiliza el resultado anterior con $x = 2023$ e $y = 2$ para obtener el valor numérico exacto de $E$ siguiendo el método de Elena.
3. c) Compara ambos métodos y justifica de forma crítica por qué el método algebraico es cualitativamente superior al cálculo aritmético directo en términos de esfuerzo operativo y prevención de errores.

Dada la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2}$, evalúa su valor exacto para $x = \frac{1}{2}$ e $y = -\frac{1}{3}$. Simplifica la expresión teóricamente antes de sustituir los valores para facilitar el cálculo numérico.

Durante la resolución de un problema de cinemática, un estudiante ha realizado la siguiente simplificación algebraica: $\frac{x^2 + y^2}{x+y} = x+y$.

Explica mediante un contraejemplo numérico explícito por qué esta operación es incorrecta. A continuación, desarrolla la expresión $(x+y)^2$ para justificar algebraicamente el error cometido, e indica bajo qué condición única y excepcional sobre las variables $x$ e $y$ la afirmación del estudiante resultaría numéricamente cierta.

En un laboratorio de telecomunicaciones en San Pedro Sula, se modela la impedancia equivalente $Z$ de un filtro de frecuencias mediante la fracción algebraica:

Un estudiante propone la siguiente simplificación:

«Como $x^{-2}$ es el cuadrado de $x^{-1}$ e $y^{-2}$ es el cuadrado de $y^{-1}$, cancelo directamente los términos del numerador con los del denominador restando exponentes, por lo que $Z(x, y) = x^1 - y^1 = x - y$».

1. a) Explique detalladamente los errores conceptuales de esta propuesta, aclarando por qué no es lícito cancelar términos independientes en una resta y por qué las propiedades de cociente de potencias no se aplican directamente a sumandos.
2. b) Transforme la expresión original escribiendo las potencias de exponente negativo como fracciones ordinarias, halle el común denominador en numerador y denominador, y simplifique la fracción compuesta factorizando la diferencia de cuadrados resultante.
3. c) Demuestre que se llega al mismo resultado si, en lugar de pasar a fracciones, se factoriza directamente el denominador original como diferencia de cuadrados de potencias: $x^{-2} - y^{-2} = (x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1})$. Determine las restricciones que deben cumplir $x$ e $y$ para que la simplificación sea válida.

Se desea construir una fracción algebraica $F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que cumpla simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. El numerador $P(x)$ es una diferencia de cuadrados desarrollada de la forma $x^2 - a^2$, donde $a$ es un número natural.

2. El denominador $Q(x)$ es un trinomio de segundo grado desarrollado, resultado de elevar al cuadrado un binomio de la forma $(x + b)^2$, donde $b$ es un número natural.

3. Al factorizar numerador y denominador y cancelar los factores comunes adecuados (sin cancelar jamás sumandos sueltos), la fracción simplificada irreducible resultante es $\frac{x - 6}{x + 6}$.

4. Para $x = 0$, la fracción simplificada toma el valor $-1$.

Deduce razonadamente cuáles son los polinomios desarrollados $P(x)$ y $Q(x)$, explica el procedimiento para hallar los valores de $a$ y $b$, y determina para qué valor real de $x$ la fracción original no está definida.