Teorema del seno

En el triángulo $ABC$, se sabe que la longitud del lado $a$ es el doble que la del lado $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0.8$, halla el valor exacto de $\sin B$.

En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ cm. Calcula la longitud del lado $b$ utilizando el teorema del seno.

Un triángulo $PQR$ tiene los ángulos $P = 50^\circ$ y $Q = 75^\circ$. Si el lado $r = 20$ m, calcula la longitud del lado $p$.

En un triángulo cualquiera, el lado $c$ mide $24$ cm y el ángulo opuesto $C$ mide $30^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ cm. Calcula la longitud del lado desigual aplicando directamente el teorema del seno.

En un triángulo $ABC$, se cumple la proporción $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma de los ángulos $A + B = 120^\circ$ y el lado $a = 12\sqrt{3}$ cm, determina la longitud exacta del lado $c$.

En un triángulo $ABC$ se conocen los ángulos $A = 70^\circ$ y $B = 30^\circ$, así como la longitud del lado $a = 20\text{ m}$.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo numérico, estima razonadamente si el lado $b$ medirá más o menos de la mitad del lado $a$. Basa tu estimación comparando el valor exacto de $\sin 30^\circ$ con el comportamiento de la función seno cuando el ángulo se aproxima a $90^\circ$.
2. b) Aplica el teorema del seno para calcular la longitud exacta de $b$, redondeando el resultado a dos cifras decimales.
3. c) Comprueba si el valor obtenido confirma tu estimación inicial y reflexiona: ¿por qué en un triángulo los lados no son proporcionales a los ángulos, sino a sus senos?

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Si la relación entre dos lados es $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ y el ángulo $B = 30^\circ$, halla la medida del ángulo $A$, sabiendo de antemano que es un ángulo agudo.

Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ cm, $b = 10$ cm y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determina el valor del ángulo $B$.

Determina si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm y $A = 45^\circ$. Justifica tu respuesta matemáticamente empleando el teorema del seno.

En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ cm, $b = 14$ cm y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcula los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las longitudes correspondientes del lado $c$ para cada caso.

En la construcción de un triángulo $ABC$, se fijan el lado $a = 10$ cm y el ángulo $A = 45^\circ$. El lado $b$ tiene una longitud variable $x$ cm. Determina, de forma razonada, el intervalo estricto de valores reales de $x$ para los cuales existen exactamente dos triángulos distintos que cumplen estas condiciones simultáneamente.

En un examen de Trigonometría, Marcos debe resolver un triángulo del que se conocen $a = 14\text{ cm}$, $b = 9\text{ cm}$ y $A = 35^\circ$. Para hallar el ángulo $B$, Marcos escribe:

Y concluye: «Como la función seno es positiva tanto en el primer cuadrante como en el segundo, existen dos soluciones posibles: $B_1 = \arcsin(0,3687) \approx 21.63^\circ$ y $B_2 = 180^\circ - 21.63^\circ = 158.37^\circ$. Por lo tanto, hay dos triángulos distintos que cumplen los datos». Localiza el error conceptual que comete Marcos, explica mediante dos argumentos geométricos distintos por qué la solución $B_2$ es imposible en este triángulo y calcula la medida correcta de los ángulos restantes $B$ y $C$.

Para construir una pieza triangular $ABC$, un operario fija el lado $b = 10\text{ cm}$ y el ángulo $A = 30^\circ$, pero puede variar a voluntad la longitud del lado opuesto $a$.

1. a) A partir del teorema del seno, escribe la expresión que permite calcular $\sin B$ en función de la longitud $a$.
2. b) Determina razonadamente para qué valores exactos o intervalos de la longitud $a$ ocurre cada uno de los siguientes casos:

i) No es posible construir ningún triángulo con esas medidas.

ii) Se puede construir exactamente un triángulo y este es rectángulo.

iii) Se pueden construir dos triángulos distintos no congruentes.

iv) Se puede construir un único triángulo y este no es rectángulo.

1. c) Interpreta geométricamente qué representa el valor crítico de $a$ hallado en el caso ii) en relación con la altura trazada desde el vértice $C$.

Una empresa de telecomunicaciones instala una estructura triangular rígida $ABC$ cuyos tres vértices deben apoyarse sobre una guía circular de radio $R = 10\text{ m}$. Por condicionantes técnicos de las barras disponibles, se fija que el lado $a$ debe medir $14\text{ m}$ y el lado $b$ debe medir $18\text{ m}$.

1. a) Emplea la relación extendida del teorema del seno para obtener todos los posibles valores angulares para los vértices $A$ y $B$ (redondeados a dos decimales de grado).
2. b) Analiza de forma exhaustiva las cuatro combinaciones posibles de parejas de ángulos $(A, B)$ y determina cuántos triángulos geométricamente viables y no congruentes pueden construirse. Para cada triángulo válido, calcula la medida del ángulo $C$ y la longitud del lado restante $c$.
3. c) La normativa técnica exige que la estructura sea estrictamente acutángula para distribuir homogéneamente las tensiones del viento. Justifica si alguno de los triángulos viables cumple este requisito y, en caso afirmativo, calcula el área de la superficie que delimita dicha estructura utilizando la fórmula del área que relaciona dos lados y el seno del ángulo comprendido.

Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ km a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro. La estación $A$ detecta la señal formando un ángulo de $40^\circ$ con la línea de la costa, mientras que la estación $B$ la detecta con un ángulo de $65^\circ$. Calcula la distancia en línea recta desde cada estación hasta el barco.

Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ m de la base de la torre, exactamente en la dirección hacia la que esta se inclina. Desde ese punto, mide el ángulo de elevación hasta la cúspide de la torre, obteniendo $50^\circ$. Calcula la longitud total de la torre desde su base hasta la cúspide.

Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ m por detrás de $A$ en el mismo plano horizontal, el ángulo de elevación hacia $C$ es de $22^\circ$. Desde la estación $A$, el ángulo de elevación hacia la cima es de $35^\circ$. Calcula la longitud del cable $AC$ del teleférico resolviendo el triángulo $ADC$.

Dos observadores $A$ y $B$ están separados por $1200$ km en la superficie terrestre (distancia que consideraremos rectilínea para este cálculo local). Ambos observan un satélite $S$ que transita en el mismo plano vertical que los une, de modo que su proyección sobre el suelo queda entre $A$ y $B$. El ángulo de elevación medido desde $A$ es de $82^\circ$ y el medido desde $B$ es de $85^\circ$. Calcula la distancia exacta desde el observador $A$ hasta el satélite.

La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$ situado $50$ m más arriba que $A$ a lo largo de la pendiente. En el punto $B$ se ha instalado un poste vertical de telecomunicaciones. Desde el punto $A$, el ángulo de elevación hasta el extremo superior del poste es de $42^\circ$ medido desde la horizontal. Calcula la altura exacta del poste.

Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Un observador estático en tierra lo divisa inicialmente con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Exactamente $10$ segundos después, el avión, que vuela directamente hacia la vertical del observador, es divisado con un ángulo de elevación de $45^\circ$. Si la velocidad constante del avión es de $600$ km/h, calcula la altitud a la que vuela resolviendo el triángulo formado por el observador y las dos posiciones del avión mediante el teorema del seno.

El servicio de vigilancia de incendios forestales de Castilla-La Mancha dispone de dos puestos de observación, el Puesto $A$ y el Puesto $B$, situados en una llanura y separados por una distancia en línea recta de $6\text{ km}$. Ambos puestos divisan una misma columna de humo en un punto $C$.

Desde el Puesto $A$, la visual hacia el incendio forma un ángulo de $42^\circ$ con el segmento rectilíneo $AB$. Desde el Puesto $B$, la visual hacia el fuego forma un ángulo de $68^\circ$ con ese mismo segmento $AB$.

1. a) Modela la situación mediante un triángulo y calcula, empleando el teorema del seno, a qué distancia se encuentra el foco del incendio respecto a cada uno de los puestos de vigilancia (redondea los resultados a dos decimales).
2. b) Si se envía un helicóptero con base contigua al Puesto $B$ que vuela en línea recta hacia el fuego a una velocidad media de $150\text{ km/h}$, calcula cuántos minutos tardará en llegar al lugar del incendio.

Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro recto que mide $120$ m. Calcula el área total de la parcela.

Calcula el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Utiliza el teorema del seno en los triángulos isósceles que se forman desde el centro del polígono.

Se desea calcular el perímetro de un parterre triangular $ABC$ inscrito en una glorieta circular de radio $R = 8\text{ m}$. Se conocen los ángulos interiores $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$.

Para resolver el problema se plantean dos estrategias:

• Estrategia 1: Trazar la altura desde el vértice $C$ para dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos, calcular las alturas y proyecciones usando trigonometría elemental de ángulos notables y despejar los lados mediante sistemas de ecuaciones.

• Estrategia 2: Calcular el tercer ángulo $C$ y aplicar la relación extendida del teorema del seno ($\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$).

1. a) Compara razonadamente ambos métodos valorando su eficiencia operativa (número de pasos de cálculo) y el riesgo de arrastre de errores de redondeo. Justifica cuál de los dos es preferible.
2. b) Aplica la estrategia más ventajosa para hallar el valor exacto del perímetro en función de radicales (utiliza que $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$) y obtén su valor numérico aproximado en metros con dos cifras decimales.

En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ se encuentran en progresión aritmética, cumpliéndose la relación $2b = a + c$. Demuestra que los senos de los ángulos opuestos mantienen una relación análoga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.

Demuestra que el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ está directamente relacionado con el área del triángulo $S$ mediante la fórmula:

$R = \frac{a \times b \times c}{4S}$

(Pista: Expresa el área del triángulo usando el seno de uno de sus ángulos y combínalo con el teorema del seno).

En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es exactamente el doble del ángulo $B$ ($A = 2B$). Demuestra, empleando el teorema del seno y las identidades trigonométricas del ángulo doble, que las longitudes de los lados cumplen la relación $a = 2b \cos B$.

En un triángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado opuesto $BC$ en el punto $D$. Aplica el teorema del seno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ para demostrar formalmente el teorema de la bisectriz, es decir, que se cumple la proporción:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$

Demuestra, partiendo del teorema del seno, que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente identidad trigonométrica que relaciona sus lados y ángulos:

$a \sin(B - C) + b \sin(C - A) + c \sin(A - B) = 0$