Función logarítmica

Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora:

a) $\log_2 32$

b) $\log_3 \frac{1}{9}$

c) $\log 10000$

Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo:

a) $\log_x 25 = 2$

b) $\log_5 x = 3$

c) $\log_2 64 = x$

Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0.301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.

Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de variables simples:

$\log \left( \frac{x^3 \times y^2}{\sqrt{z}} \right)$

Agrupa la siguiente expresión en un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos:

$2 \log a + \log b - 3 \log c$

Sabiendo que $\log 2 = 0.301$ y $\log 3 = 0.477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la tecla log de la calculadora para esos números. (Pista: recuerda que $5 = \frac{10}{2}$).

Utiliza la calculadora y la fórmula del cambio de base para hallar el valor de $\log_4 15$. Redondea el resultado a tres cifras decimales.

Considera la función logarítmica básica $f(x) = \log_2 x$.

1. a) Sin usar la calculadora, estima entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra el valor de $f(20)$. Justifica tu deducción apoyándote en las potencias de base $2$ más próximas a $20$ y en el hecho de que la función sea estrictamente creciente.
2. b) Sabiendo que $2^{4.32} \approx 19.97$ y que $2^{4.33} \approx 20.11$, comprueba tu estimación anterior y acota el valor de $f(20)$ con dos cifras decimales.
3. c) Observa que el número $20$ está numéricamente más cerca de $16$ que de $32$ ($20 - 16 = 4$, mientras que $32 - 20 = 12$). Explica, a partir del crecimiento y la forma cóncava de la gráfica del logaritmo, por qué el valor de $f(20)$ está tan próximo a $f(16) = 4$ en comparación con la distancia que lo separa de $f(32) = 5$.

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determina su dominio analíticamente.

b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical.

c) ¿Hacia qué dirección (izquierda o derecha) se abre la gráfica de esta función respecto a su asíntota?

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.

Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus respectivas expresiones analíticas:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

Sofía está estudiando la función $f(x) = \log_3(x - 2)$ para un examen de 4.º de ESO y anota en su ficha de repaso las siguientes tres conclusiones:

1. «Como no existe el logaritmo de números negativos ni del cero, el dominio es $[2, +\infty)$, incluyendo el $2$ porque ahí empieza la curva».

2. «Como la base es $a = 3$, que es un número mayor que $1$, la función es decreciente y tiene una asíntota horizontal en el eje $X$».

3. «La gráfica corta al eje de ordenadas (eje $Y$) en el punto $(0, -2)$».

Identifica detalladamente el error conceptual que comete Sofía en cada una de sus tres afirmaciones y redacta la justificación matemática correcta. Por último, determina de forma justificada el dominio real de $f(x)$, la ecuación de su asíntota vertical y las coordenadas exactas de su punto de corte con el eje $X$.

La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$.

a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$.

b) Explica el significado geométrico de la recta punteada naranja $y = x$ en relación con ambas curvas.

c) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones, justificando cómo se intercambian entre una función y su inversa.

Una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ tiene su asíntota vertical en la recta $x = -5$ y su gráfica pasa por el punto $(11, 4)$.

1. a) Determina razonadamente el valor del desplazamiento horizontal $b$ y el valor de la base $a$. A partir de ellos, especifica el dominio de $f(x)$ y razona si la función es creciente o decreciente en todo su dominio.
2. b) Recuerda que la función exponencial y la logarítmica son funciones inversas cuyas gráficas son simétricas respecto a la recta $y = x$. Deduce la expresión algebraica de la función inversa $f^{-1}(x)$, indica su dominio y su recorrido, y halla las coordenadas del punto de corte de $f^{-1}(x)$ con el eje $Y$ a partir del punto de corte de $f(x)$ con el eje $X$.

Se quiere averiguar si las gráficas de las funciones $f(x) = \log_2 x$ y su función inversa $g(x) = 2^x$ tienen algún punto de intersección en el plano cartesiano. Dos estudiantes proponen estrategias opuestas:

• Método algebraico (propuesto por Hugo): Igualar ambas expresiones planteando la ecuación $\log_2 x = 2^x$, aplicar la definición de logaritmo para escribir $x = 2^{(2^x)}$ e intentar despejar algebraicamente el valor de $x$ mediante operaciones básicas de potencias y raíces.

• Método geométrico y de propiedades de la inversa (propuesto por Irene): Recordar que las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la recta $y = x$. Irene afirma que si una función creciente corta a su inversa, necesariamente sus puntos comunes deben situarse sobre la recta de simetría $y = x$. Por tanto, en lugar de resolver $\log_2 x = 2^x$, basta analizar la posición relativa de $g(x) = 2^x$ respecto a la recta $y = x$ comparando los valores de $2^x$ y $x$ para $x > 0$.

1. a) Evalúa ambos métodos: explica por qué el intento puramente algebraico de Hugo es un callejón sin salida en el nivel de 4.º de ESO y describe por qué la estrategia de Irene es conceptualmente adecuada.
2. b) Aplica el razonamiento de Irene: calcula los valores de $g(x) = 2^x$ y de la recta $y = x$ para los puntos de prueba $x = 0$, $x = 1$ y $x = 2$. A partir de ellos y del crecimiento exponencial, justifica formalmente si $f(x)$ y $g(x)$ llegan a cortarse alguna vez en el plano.

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indica el valor de $b$ observando la asíntota vertical.

b) Utiliza el punto $B(1, 2)$ para calcular la base $a$ del logaritmo.

c) Escribe la expresión analítica completa de la función.

Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$.

Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$. Una vez hallados, escribe la expresión analítica final de la función e indica cuál es su asíntota vertical.

El Instituto Geográfico Nacional (IGN) calibra la respuesta de un sensor sísmico mediante una función logarítmica con traslación del tipo $f(x) = \log_a(x + b)$. Se conocen las siguientes condiciones técnicas sobre su comportamiento:

1. El sensor no puede registrar magnitudes cuando $x \le -3$, siendo la recta $x = -3$ una asíntota vertical de la curva.

2. La función es estrictamente decreciente en todo su dominio.

3. La gráfica de su función inversa, $f^{-1}(x)$, contiene al punto $(-1, 1)$.

1. a) Determine razonadamente los parámetros $b$ y $a$. Justifique por qué la base $a$ debe ser un número estrictamente comprendido entre $0$ y $1$ y formule explícitamente las funciones $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.
2. b) Describa el comportamiento asintótico de $f(x)$: apoyándose en la relación entre logaritmos y potencias con base comprendida en $(0, 1)$, deduzca razonadamente hacia qué valor tiende $f(x)$ cuando la variable $x$ se aproxima a $-3$ por la derecha ($x \to -3^+$).
3. c) Halle las coordenadas exactas de los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas ($X$) y con el eje de ordenadas ($Y$).

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas:

a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$

b) $\log_2(x - 4) = 3$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica comprobando la validez de las soluciones obtenidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es $C = C_0 \times 1.04^t$, donde $C_0$ es el capital inicial. Si se invierten $50\,000$ lempiras, determine cuántos años completos deben transcurrir para que el capital supere los $75\,000$ lempiras. Use logaritmos para despejar la incógnita.

La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \times \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los decibelios, $I$ es la intensidad del sonido e $I_0$ es la intensidad umbral de audición (una constante). Despeja la intensidad $I$ en función de los decibelios $d$ e $I_0$.

La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda sísmica y $A_0$ es una amplitud de referencia.

Un terremoto en la ciudad Alfa tuvo una magnitud de $6$ en la escala de Richter, y otro en la ciudad Beta tuvo una magnitud de $8$. ¿Cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto de Beta en comparación con el de Alfa? Demuestra tu razonamiento matemáticamente.

La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función $P(t) = 100 \times 0.5^{\frac{t}{5730}}$, donde $P$ es el porcentaje de C-14 restante respecto al original y $t$ es el tiempo transcurrido en años.

Si se descubre un fósil que conserva únicamente el $15\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuál es la antigüedad estimada del fósil? Expresa el resultado en años y redondea a la unidad.

En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenamiento depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo $T(n) = k \times n \times \log_2 n$, donde $k$ es una constante propia de la computadora.

Si al procesar $n = 8$ datos la computadora tarda $T = 24$ milisegundos:

a) Calcule el valor de la constante $k$.

b) ¿Cuánto tiempo tardará la misma computadora en procesar $n = 32$ datos?

La normativa sobre contaminación acústica evalúa el nivel de presión sonora en decibelios ($\text{dB}$) mediante la función:

donde $I$ es la intensidad física de la onda acústica en vatios por metro cuadrado ($\text{W/m}^2$) e $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ es el umbral auditivo humano de referencia.

1. a) En una céntrica avenida de Tegucigalpa, el tráfico denso registraba una intensidad de $I_1 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$. Tras aplicar medidas de calmado de tráfico a $30\text{ km/h}$ y ciclovía, la intensidad bajó a $I_2 = 10^{-6}\text{ W/m}^2$. Calcule el nivel de ruido en decibelios antes y después de la intervención.
2. b) Un portavoz vecinal declara: «Como la intensidad de la onda física se ha reducido a la centésima parte ($100$ veces menos), el nivel de decibelios debería haberse dividido también entre $100$, pasando de $80\text{ dB}$ a menos de $1\text{ dB}$». Aplicando las propiedades del logaritmo de un cociente o de una potencia, refute con rigor matemático la afirmación del vecino y demuestre cuántos decibelios disminuye exactamente el nivel de ruido cada vez que la intensidad física $I$ se divide entre $10$.