Resolución de triángulos oblicuángulos

En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.

Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.

En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.

En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).

En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ m y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando el teorema del seno.

En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.

En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm y $c=15$ cm, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón y, a partir de ella, obtén los valores exactos de $R$ y $r$.

Un perito topógrafo necesita reconstruir las medidas originales de una parcela triangular $ABC$ a partir de un informe antiguo incompleto que sólo recoge tres datos exactos:

• La superficie de la parcela es de $80\text{ m}^2$.

• La linde $b$ mide exactamente el doble que la linde $a$ ($b = 2a$).

• El ángulo comprendido $C$ cumple que $\cos C = 0.6$.

1) A partir de la identidad fundamental de la trigonometría y la fórmula del área de un triángulo en función de dos lados y el ángulo comprendido, plantea una ecuación y deduce las longitudes exactas de los lados $a$ y $b$.

2) Calcula la longitud del tercer lado $c$ aplicando el teorema del coseno.

3) Problema inverso: razona por qué existe otra parcela no congruente con la anterior que tiene exactamente la misma superficie ($80\text{ m}^2$) y las mismas longitudes $a$ y $b$, pero una forma distinta. Halla el valor de su nuevo ángulo comprendido $C'$, calcula la longitud que tendría el lado $c$ en esta segunda configuración y determina cuál de las dos parcelas requeriría menos metros de valla para su cerramiento perimetral.

Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcula la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.

Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ metros en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcula la altura del aerogenerador.

Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcula la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.

Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.

Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcula el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.

Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcula el perímetro y el área de dicho heptágono.

En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ cm y el segundo mide $35$ cm. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal es de $50^\circ$ y el extremo del segundo eslabón toca exactamente la base horizontal, calcula las dos posibles distancias desde el origen del brazo hasta el punto de contacto en la base.

Elena resuelve en clase de Matemática un ejercicio de delimitación de un terreno triangular $ABC$ del que se conocen $a = 14\text{ m}$, $b = 20\text{ m}$ y el ángulo $A = 35^\circ$. Presenta en la pizarra el siguiente desarrollo:

«Aplico el teorema del seno:

Como los tres ángulos suman $180^\circ$, tenemos $C = 180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ$. Como el triángulo resulta ser rectángulo en $C$, calculo el lado restante $c$ usando el teorema de Pitágoras: $c = \sqrt{20^2 - 14^2} = \sqrt{204} \approx 14.28\text{ m}$».

1) Localice y explique detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por Elena:

a) ¿Por qué su deducción para el ángulo $B$ es incompleta y omite una solución geométrica válida?

b) Aun en el supuesto de que el ángulo $C$ fuese de $90^\circ$, ¿por qué el planteamiento que hace del teorema de Pitágoras es falso?

2) Resuelva el problema con total rigor: determine los dos posibles triángulos que cumplen los datos iniciales, indicando para cada uno de ellos los valores de los ángulos $B$ y $C$ y la longitud del lado $c$.

3) Si cercar el perímetro de la finca cuesta $45\text{ \text{L}\ /m}$, calcule la diferencia económica que supondría optar por una configuración u otra.

Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$ N, halla la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma dicha resultante con el cable que ejerce la fuerza de $6000$ N.

Una placa solar de $2$ metros de longitud se va a instalar sobre un tejado plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su rendimiento, la placa debe formar un ángulo de $35^\circ$ con respecto a la horizontal. Calcula la longitud $x$ del soporte vertical que debe colocarse en el extremo superior de la placa para unirla con el tejado.

Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ centímetros. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, halla el valor exacto de $x$ y calcula el perímetro del triángulo.

En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ cm, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Plantea un sistema para hallar el valor exacto de los lados $b$ y $c$, y averigua la medida de los ángulos $A$ y $C$.

Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuación, utiliza esta identidad junto con el teorema del seno para demostrar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ cm (el minutero) y $8$ cm (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en centímetros que separa las puntas de ambas manecillas cuando el reloj marca exactamente las 10:10. Ten en cuenta el desplazamiento proporcional de la aguja horaria.

Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el Norte a una velocidad constante de $800$ km/h. El avión 2 se encuentra en el punto $B$, situado a $200$ km exactos al Noreste ($45^\circ$ respecto al Norte) del punto $A$. Si el avión 2 vuela hacia el Oeste a una velocidad constante $v$ y ambos colisionan en un punto $C$, determina el valor de la velocidad $v$ y el tiempo que tardan en colisionar.

Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ m. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$, plantea la geometría de la sección transversal adecuada y calcula la altura total de la pirámide.

Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm y $c = 8$ cm. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando el teorema del coseno para hallar el ángulo $C$ y utilizando las propiedades de las áreas o el teorema del seno, calcula la longitud exacta del segmento bisectriz $CD$ (denotado como $x$).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.