Ejercicios: Sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra escalonado, utilizando el método de sustitución hacia atrás:

$x + 2y - z = 4$

$3y + z = 5$

$2z = 4$

Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$x - y + z = 2$

$2x + y - z = 1$

$x + 2y + z = 7$

Comprueba si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ es solución del siguiente sistema. Justifica tu respuesta.

$3x + y - z = 0$

$x - 2y + z = 5$

$2x + y + z = 3$

La suma de tres números es $12$. El primero más el segundo suman $7$. El segundo más el tercero suman $9$. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y determina el valor de dichos números.

Triangula el siguiente sistema mediante el método de Gauss e indica si es un Sistema Incompatible (SIN):

$x + y + z = 1$

$2x + y - z = 0$

$3x + 2y = 5$

Resuelve el siguiente sistema donde en cada ecuación falta una incógnita:

$x + y = 5$

$y + z = 7$

$x + z = 6$

Aplica el método de Gauss al siguiente sistema y comprueba que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) al obtener una ecuación del tipo $0 = 0$:

$x - y + 2z = 3$

$-2x + 2y - 4z = -6$

$3x - 3y + 6z = 9$

Escribe un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya única solución sea la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.

Marcos está resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y, tras aplicar correctamente las primeras transformaciones del método de Gauss, llega al siguiente sistema escalonado:

En su cuaderno, Marcos concluye lo siguiente:

«Como la última fila es $0z = 0$, despejo y obtengo $z = \frac{0}{0} = 0$. Al sustituir en la segunda fila resulta $y + 3\times 0 = 4 \implies y = 4$. Finalmente, en la primera fila queda $x + 2\times 4 - 0 = 5 \implies x = -3$. Por tanto, el sistema es compatible determinado y su única solución es la terna $(-3, 4, 0)$».

Identifica el error conceptual que ha cometido Marcos al interpretar la fila $0z = 0$, explica detalladamente por qué su deducción es matemáticamente incorrecta y corrige el ejercicio: clasifica el sistema como corresponde y halla la expresión general de todas sus soluciones en función de un parámetro real $\lambda$.

Diseña un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas ($x$, $y$, $z$) que cumpla simultáneamente estas tres condiciones:

1. Ya debe estar en forma escalonada (triangular), de modo que pueda resolverse directamente por sustitución hacia atrás sin necesidad de aplicar transformaciones previas.

2. Ninguno de los coeficientes de las incógnitas ni de los términos independientes puede ser igual a $0$ ni a $1$.

3. Su única solución debe ser exactamente la terna $(2, -1, 3)$.

Explica de forma razonada el proceso inverso que sigues para construir cada ecuación, de abajo hacia arriba (empezando por la tercera y terminando en la primera), y comprueba formalmente que tu sistema conduce a dicha solución.

En una cafetería se venden tres tipos de sándwiches: de jamón, de queso y de tortilla. Un grupo de amigos pide $3$ de jamón, $2$ de queso y $1$ de tortilla, pagando $350$ lempiras. Otro grupo pide $2$ de jamón, $1$ de queso y $3$ de tortilla, pagando $325$ lempiras. Un tercer grupo pide $1$ de jamón, $3$ de queso y $2$ de tortilla, pagando $375$ lempiras. Plantee y resuelva un sistema para calcular el precio de cada tipo de sándwich.

La edad de un abuelo, su hijo y su nieto suman $120$ años. El abuelo tiene exactamente el doble de años que el hijo. Además, el hijo es $30$ años mayor que el nieto. Determina la edad de cada uno de ellos planteando un sistema de tres ecuaciones.

Resuelve el siguiente sistema compatible indeterminado y expresa sus infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:

$x + 2y - z = 4$

$2x - y + 3z = 3$

$3x + y + 2z = 7$

En un partido de baloncesto, un jugador ha anotado un total de $15$ canastas, consiguiendo $31$ puntos. Sabiendo que el número de canastas de dos puntos es el triple que el de canastas de tres puntos, y que también ha anotado tiros libres (que valen un punto), plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas canastas de cada tipo ha encestado.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contiene coeficientes fraccionarios. Simplifica las ecuaciones antes de aplicar el método de Gauss:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$

$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$

Encuentra los valores del parámetro $k$ para los que el siguiente sistema es incompatible:

$x + y - z = 2$

$2x - y + z = 1$

$3x + y - z = k$

Tres máquinas A, B y C fabrican piezas en una industria. Trabajando juntas, la máquina A y la B fabrican $50$ piezas por hora. La máquina B y la C fabrican juntas $70$ piezas por hora. Finalmente, la máquina A y la C fabrican juntas $60$ piezas por hora. Calcula cuántas piezas por hora fabrica cada máquina individualmente.

En un triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores $A$, $B$ y $C$ es $180^{\circ}$. El ángulo $A$ es igual a la suma de los ángulos $B$ y $C$. Además, el ángulo $B$ es el doble del ángulo $C$. Plantea un sistema de tres ecuaciones y determina la medida de los tres ángulos.

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

dos alumnas proponen estrategias iniciales diferentes:

• Estrategia de Marta (Gauss directo): Mantener el orden de las ecuaciones y utilizar directamente la primera fila ($3x - y + 2z = 7$) como fila pivote para hacer ceros en la columna de las $x$.

• Estrategia de Irene (Gauss con pivote unitario): Intercambiar previamente la primera y la segunda ecuación para que el coeficiente de $x$ en la fila pivote sea $1$, y a partir de ahí realizar las combinaciones lineales para anular los términos en $x$ de las otras dos filas.

Analiza razonadamente las ventajas e inconvenientes de cada estrategia (atendiendo a la aparición de coeficientes fraccionarios y a la probabilidad de cometer errores de cálculo). Justifica cuál de las dos opciones resulta más conveniente y aplícala paso a paso hasta escalonar el sistema y hallar su solución.

Una empresa de paquetería urgente en San Pedro Sula renueva su flota de reparto adquiriendo un total de $20$ vehículos entre tres tecnologías de bajas emisiones: camionetas eléctricas puras ($x$), camionetas híbridas enchufables ($y$) y camionetas de gas natural comprimido ($z$). Se dispone de la siguiente información sobre la compra:

• El costo medio de adquisición es de $45\,000$ lempiras por cada camioneta eléctrica, $35\,000$ lempiras por cada híbrida y $25\,000$ lempiras por cada camioneta de gas, alcanzando una inversión total de $670\,000$ lempiras.

• Por política medioambiental interna, el número de camionetas eléctricas adquiridas debe coincidir exactamente con la suma del número de híbridas más el doble de las de gas natural.

Plantee el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que modela la situación, resuélvalo aplicando el método de eliminación de Gauss e interprete el resultado indicando si la solución obtenida es viable y cuántos vehículos de cada tipo integran la nueva flota.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$. Indica para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.

$x + y + z = 1$

$x + my + z = m$

$x + y + m^{2}z = m^{2}$

La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el número original. Además, la cifra de las decenas es la media aritmética de las cifras de las centenas y de las unidades. Encuentra el número original. (Nota: Un número de tres cifras $c$, $d$, $u$ tiene un valor de $100c + 10d + u$).

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa la siguiente representación gráfica donde tres planos se intersecan a lo largo de una única recta, formando un haz de planos.

Dado el sistema:

$\pi_{1}: x + 2y - z = 3$

$\pi_{2}: 2x - y + z = 1$

$\pi_{3}: 4x + 3y - z = k$

Calcula el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una única recta (Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad) y expresa la ecuación paramétrica de dicha recta de intersección.

Una empresa de transportes adquiere tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. Se sabe que el número total de vehículos adquiridos es $30$. El costo de cada furgoneta es de $500\,000$ lempiras, el de cada camión ligero $750\,000$ lempiras y el de cada camión pesado $1\,250\,000$ lempiras. Si la inversión total ha sido de $21\,250\,000$ lempiras, plantee el sistema y demuestre que es un Sistema Compatible Indeterminado. Luego, encuentre todas las soluciones enteras posibles sabiendo que la empresa ha comprado al menos un vehículo de cada tipo.

Se dispone de tres aleaciones de plata, cobre y zinc. La primera contiene un $10\%$ de plata, un $70\%$ de cobre y un $20\%$ de zinc. La segunda contiene un $30\%$ de plata, un $40\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. La tercera contiene un $20\%$ de plata, un $50\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. Queremos obtener $100$ kg de una nueva aleación que contenga exactamente un $22\%$ de plata y un $52\%$ de cobre. Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cuántos kilogramos de cada aleación debemos mezclar y resuélvelo.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea Compatible Indeterminado:

$x - y + 2z = 1$

$2x + ay - z = 3$

$3x + y + bz = 4$

Demuestra algebraicamente que si un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas admite dos soluciones distintas, por ejemplo $S_{1} = (1, 0, 0)$ y $S_{2} = (0, 1, 0)$, entonces admite infinitas soluciones. Para ello, comprueba que cualquier combinación lineal de la forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ también es solución del sistema.

Una cooperativa vinícola de La Rioja prepara un lote especial de $1000$ litros combinando tres variedades de uva: Tempranillo ($x$), Garnacha ($y$) y Graciano ($z$). Los costos de vinificación son de $4$ lempiras por litro de Tempranillo, $2$ lempiras por litro de Garnacha y $7$ lempiras por litro de Graciano. El presupuesto total asignado para la producción del lote completo es de $3900$ lempiras. Además, el enólogo impone como criterio de cata que el volumen de Tempranillo debe ser exactamente el doble que la suma de los volúmenes de Garnacha y Graciano juntos.

1. Estime y acote: Sin resolver el sistema formalmente, deduzca el volumen exacto de Tempranillo que debe contener el lote a partir de la restricción del enólogo y el volumen total. A continuación, razone si es posible que la variedad más costosa (Graciano) supere los $200$ litros, comparando el costo restante con los precios de Garnacha y Graciano.

2. Resuelva y compruebe: Plantee el sistema lineal $3\times 3$, transfórmelo en un sistema triangular mediante el método de Gauss y halle los litros necesarios de cada variedad. Compruebe si los valores obtenidos coinciden con sus deducciones iniciales y si la solución obtenida tiene sentido físico para el enólogo.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x$, $y$, $z$, donde intervienen dos parámetros reales $k$ y $m$:

Cada una de estas tres ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional.

1. Aplica el método de reducción de Gauss hasta transformar el sistema en uno escalonado donde la última ecuación tenga la forma $a(k)\times z = b(m)$, detallando claramente cada operación elemental entre filas.

2. Diseña los valores numéricos que deben tomar los parámetros $k$ y $m$ para que los tres planos se corten en una recta común (sistema compatible indeterminado). Para dichos valores, halla la solución general en función de un parámetro $\lambda$.

3. Determina razonadamente qué condición deben cumplir $k$ y $m$ para que el sistema sea incompatible. En ese caso, ¿pueden cortarse los tres planos en un único punto? Justifica tu respuesta conectando el resultado algebraico obtenido en la última fila con la interpretación geométrica de los planos.