Ejercicios: Funciones exponenciales

Dada la función exponencial $f(x) = 2^x$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes funciones exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes:

• a) $f(x) = 1.2^x$

• b) $g(x) = 0.7^x$

• c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$

• d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Observa las gráficas A y B representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de ellas con su correspondiente expresión analítica: $y = 3^x$ o $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Una familia ingresa $50\,000$ lempiras en una cuenta bancaria que ofrece un interés compuesto del $4 \%$ anual. ¿Qué capital tendrán al cabo de $2$ años si no retiran ningún dinero de la cuenta?

El número de seguidores de una cuenta que acaba de hacerse viral se triplica cada día. Si inicialmente tiene $100$ seguidores, escribe la función que relaciona el número de seguidores con el tiempo transcurrido en días, y calcula cuántos seguidores habrá al cabo de $3$ días.

Halla el valor de $x$ en las siguientes igualdades exponenciales elementales:

• a) $2^x = 64$

• b) $3^x = \frac{1}{9}$

La gráfica de una función exponencial del tipo $f(x) = a^x$ pasa por el punto $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.

Determina el dominio, el recorrido y el punto de corte con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 0.5^x$.

Marcos está analizando la función $f(x) = 2^{x+1} - 8$. En su examen ha escrito la siguiente conclusión: «Al ser una función exponencial, su asíntota horizontal es siempre la recta $y = 0$, su recorrido es $(0, +\infty)$ y, por tanto, la gráfica nunca corta al eje de abscisas ($X$) ni toma valores negativos».

1. a) Identifica los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos respecto a los desplazamientos de una función exponencial.
2. b) Explica razonadamente por qué se producen esos errores y corrígelos, indicando la ecuación correcta de la asíntota horizontal y el recorrido real de $f(x)$.
3. c) Demuestra que la función sí corta al eje $X$ calculando las coordenadas exactas de dicho punto de corte.

Determina la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = a^x + q$ a partir de la siguiente información:

1. Su gráfica se aproxima indefinidamente a la recta horizontal $y = -3$ cuando los valores de $x$ son muy negativos, sin llegar nunca a tocarla.

2. La gráfica pasa por el punto $P(2, 13)$.

Una vez calculados los parámetros $a$ y $q$, indica de forma razonada si la función es creciente o decreciente observando el valor de la base obtenida y halla las coordenadas de su punto de corte con el eje de ordenadas ($Y$).

Representa gráficamente la función $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborando previamente una tabla de valores. Indica cuál es la ecuación de su asíntota horizontal y calcula las coordenadas de su punto de corte con el eje de ordenadas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales igualando las bases a ambos lados de la igualdad:

• a) $5^{2x-1} = 125$

• b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$

Un inversionista desea obtener un capital final de $125\,000$ lempiras dentro de $5$ años. Si su banco le ofrece un depósito con un interés compuesto del $3 \%$ anual, ¿qué capital inicial debe invertir hoy para lograr su objetivo? (Redondee el resultado a los centavos).

Una muestra de un isótopo radiactivo tiene una masa inicial de $200$ gramos. Se sabe que su masa se reduce a la mitad cada $10$ años. Escribe la expresión analítica de la función que da la masa restante en función del tiempo (en años) y calcula cuántos gramos quedarán exactamente al cabo de $30$ años.

La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = a^x + b$. Observa sus elementos característicos, como la asíntota horizontal y los puntos por los que pasa, y determina los valores de los parámetros $a$ y $b$.

Resuelve la siguiente ecuación exponencial extrayendo factor común previamente:

$3^x + 3^{x+1} = 36$

Halla, de forma analítica, las coordenadas exactas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.

El precio de un teléfono celular de alta gama recién salido al mercado es de $20\,000$ lempiras. Debido a la obsolescencia tecnológica, su valor se deprecia un $20 \%$ cada año. Escriba la función que modela el precio del celular en función de los años transcurridos y calcule cuál será su valor al cabo de $4$ años.

En un hospital se administra a un paciente una dosis de $80\text{ mg}$ de un fármaco. La masa $M(t)$ del medicamento que permanece en su organismo (en miligramos) tras $t$ horas se describe mediante la función exponencial $M(t) = 80 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}$.

1. a) Sin calcular el valor exacto con la fórmula, estima de forma razonada entre qué dos decenas consecutivas de miligramos estará la cantidad de medicamento cuando hayan transcurrido 10 horas (sugerencia: calcula mentalmente la cantidad exacta que queda a las 8 y a las 12 horas).
2. b) Calcula ahora el valor numérico exacto de $M(10)$ redondeando a las centésimas y comprueba si tu estimación del apartado anterior era acertada.
3. c) Basándote en las propiedades de la función exponencial (su asíntota horizontal y su recorrido), razona si llegará algún momento en el que el organismo del paciente quede matemáticamente con exactamente $0\text{ mg}$ del fármaco según este modelo.

Según datos demográficos inspirados en los censos del Instituto Nacional de Estadística (INE), un municipio de la zona rural contaba con $1200$ habitantes a comienzos de 2015. Debido al envejecimiento y la emigración, su población decrece a un ritmo constante de un $5\,\%$ cada año.

1. a) Escriba la fórmula de la función $P(t)$ que expresa el número de habitantes en función del tiempo $t$ transcurrido en años desde 2015. Justifique si la función es creciente o decreciente analizando el valor de su base.
2. b) Calcule la población proyectada para este municipio a comienzos del año 2023, redondeando al número entero de personas más cercano.
3. c) Un portavoz municipal afirma en la prensa: «Al perder un $5\,\%$ cada año, en 20 años habremos perdido el $100\,\%$ de la población y el pueblo quedará con $0$ habitantes». Justifique matemáticamente por qué este razonamiento lineal es erróneo y calcule qué porcentaje de la población inicial de 2015 quedará realmente al cabo de esos 20 años.

La evolución de una determinada plaga de insectos sigue un modelo exponencial de la forma $N(t) = k \times a^t$, donde $N(t)$ es el número de insectos y $t$ es el tiempo en semanas. Sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) había $5$ insectos y que a las $2$ semanas había $45$ insectos, calcula los valores de las constantes $k$ y $a$. A continuación, determina cuántos insectos habrá a las $4$ semanas.

Dos hermanos reciben una herencia de $250\,000$ lempiras cada uno. El primero decide invertir su dinero a un interés simple del $5 \%$ anual, mientras que el segundo lo invierte a un interés compuesto del $4 \%$ anual. Escribe las funciones que describen el capital de cada hermano a lo largo del tiempo. ¿Quién tendrá más dinero al cabo de $10$ años? ¿Y al cabo de $20$ años?

La población de una ciudad A es actualmente de $100000$ habitantes y crece a un ritmo constante del $4 \%$ anual. La población de una ciudad B es de $150000$ habitantes y decrece a un ritmo del $2 \%$ anual. Escribe las funciones de población de ambas ciudades. Comprueba, usando la calculadora mediante ensayo y error (o aplicando logaritmos), en qué año exacto la ciudad A superará en población a la ciudad B.

Dada la función con valor absoluto $f(x) = |3^x - 9|$:

• a) Escríbela como una función definida a trozos, calculando previamente en qué punto la expresión interior cambia de signo.

• b) Determina sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.

• c) Indica en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente.

Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de una taza de té en una habitación se modeliza mediante la función $T(t) = 20 + 70 \times 0.8^t$, donde $T(t)$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ es el tiempo en minutos transcurrido desde que se sirvió.

• a) ¿Cuál era la temperatura inicial del té?

• b) ¿Cuál es la temperatura ambiente de la habitación? (Razona qué ocurre cuando el tiempo $t$ se hace muy grande).

• c) Plantea la ecuación para calcular en qué minuto la temperatura del té será exactamente de $55$ ºC y resuélvela.

La farmacocinética estudia cómo se elimina un medicamento del cuerpo humano. A un paciente se le administra una dosis inicial de $50$ mg de un fármaco. La cantidad en sangre disminuye exponencialmente de modo que cada $6$ horas la cantidad se reduce a la mitad.

• a) Escribe la función $C(t)$ que expresa los miligramos de fármaco en sangre en función del tiempo $t$ medido en horas.

• b) ¿Qué cantidad de fármaco quedará en la sangre del paciente al cabo de un día completo ($24$ horas)?

Un banco ofrece un producto de inversión con un interés nominal anual del $6 \%$.

• a) Escribe la función que modeliza el capital final si se invierten $75\,000$ lempiras y los intereses se abonan anualmente (interés compuesto anual).

• b) Escribe la función si los intereses se abonan mensualmente (interés compuesto mensual).

• c) Calcula la diferencia exacta de capital obtenido entre ambas modalidades al cabo de $5$ años.

Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando las propiedades de las potencias y extrayendo factor común:

$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$

Para resolver la ecuación exponencial $4^x - 3 \times 2^{x+1} - 16 = 0$, se proponen tres estrategias de resolución diferentes:

• Estrategia A: Intentar sacar directamente factor común $2^x$ de los tres términos tal como están escritos.

• Estrategia B: Intentar igualar directamente las bases sin transformar la estructura de la igualdad.

• Estrategia C: Expresar todas las potencias en base 2, simplificar los coeficientes y aplicar el cambio de variable $t = 2^x$ para transformar la expresión en una ecuación de segundo grado.

1. a) Explica detalladamente por qué las Estrategias A y B no resultan viables en esta ecuación.
2. b) Aplica la Estrategia C para resolver la ecuación paso a paso. Durante el proceso obtendrás dos posibles valores para $t$; justifica razonadamente cuál de ellos debes descartar apoyándote en el recorrido de la función exponencial $y = 2^x$.
3. c) Halla el valor final de $x$ y comprueba que satisface la ecuación original sustituyéndolo en ella.

En un laboratorio de microbiología se analiza el crecimiento simultáneo de dos colonias bacterianas distintas, Cepa A y Cepa B, en condiciones controladas de cultivo:

• La Cepa A cuenta inicialmente con 150 bacterias y su población se duplica cada 3 horas, siguiendo el modelo $N_A(t) = 150 \times 2^{t/3}$ ($t$ medido en horas).

• La Cepa B parte de una población mayor, con 1200 bacterias, pero se reproduce más lentamente, duplicándose cada 6 horas: $N_B(t) = 1200 \times 2^{t/6}$.

1. a) Escribe cada función en la forma $N(t) = N_0 \times b^t$ determinando la base horaria $b$ de cada una. A partir del valor de dichas bases, justifica cuál de las dos cepas crece a mayor ritmo porcentual por hora.
2. b) Aunque la Cepa B parte con 8 veces más bacterias que la Cepa A, ¿llegará la Cepa A a alcanzarla? Plantea la ecuación $N_A(t) = N_B(t)$ y resuélvela aplicando exclusivamente propiedades de las potencias para averiguar en qué hora exacta tendrán idéntico número de bacterias.
3. c) Calcula el número de bacterias de cada cepa transcurridas 24 horas y halla la diferencia entre ambas. Interpreta si el resultado obtenido concuerda con lo razonado en los apartados anteriores.