Ejercicios: Regla de Ruffini

Divida el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indique el cociente y el residuo resultantes.

Aplique la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escriba claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.

Compruebe, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.

Calcule el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del residuo mediante la regla de Ruffini.

Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.

Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.

Encuentre el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.

Determine, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del residuo o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.

Mateo tiene que dividir el polinomio $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x - 5$ entre el binomio $2x - 1$. Para ello, aplica la regla de Ruffini usando el valor $a = 1/2$. En la última fila de su tabla obtiene sucesivamente los coeficientes $4$, $-4$, $6$ y, como último número, $-2$. A partir de esto, Mateo concluye en su examen: «El cociente de la división es $C(x) = 4x^2 - 4x + 6$ y el resto es $R = -2$». Identifique y explique razonadamente el error conceptual cometido por Mateo, demuestre mediante la prueba de la división que su cociente no puede ser correcto y escriba la solución completa y corregida (cociente real y residuo).

Para calcular el valor numérico del polinomio $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x - 7$ en $x = 3$, se pueden plantear dos caminos distintos: sustituir directamente $x = 3$ y calcular cada potencia, o bien aplicar la regla de Ruffini dividiendo entre $x - 3$ para hallar el residuo.

1. a) Compare ambos métodos analizando el tipo y número de operaciones que requiere cada uno (potencias elevadas frente a sumas y productos sucesivos) y justifique cuál es más rápido y menos propenso a errores cuando no se dispone de calculadora.
2. b) Aplique la regla de Ruffini (prestando atención a los términos ausentes) para obtener el residuo, deduzca el valor de $P(3)$ e indique razonadamente si $x - 3$ es un factor de $P(x)$.

El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.

Los beneficios de una empresa, en miles de lempiras, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encuentre los años exactos en los que el beneficio de la empresa fue nulo (puntos de equilibrio).

Divida el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Exprese el resultado final indicando cociente y residuo.

Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.

La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).

Calcule el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.

El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es $x + 3$, encuentra el polinomio que representa su longitud.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.

En un estudio de eficiencia en una línea de transporte ferroviario de mercancías entre Tegucigalpa y San Pedro Sula, el consumo acumulado de combustible auxiliar (en litros) de una locomotora se ajusta al polinomio $C(x) = 2x^3 - 8x^2 + kx - 10$, donde $x$ es el tiempo transcurrido en horas ($x \in [3, 5]$). Los ingenieros necesitan dividir este consumo total entre un factor de carga lineal representado por $D(x) = 2x - 6$ para obtener el consumo por unidad de carga. Se sabe empíricamente que a las $3$ horas de trayecto el consumo residual no absorbido por el modelo lineal (es decir, el resto de la división) es exactamente de $8$ litros.

1. a) Aplique la regla de Ruffini adaptada para divisores de tipo $cx - a$ para plantear una ecuación y determinar el valor del parámetro $k$.
2. b) Con el valor de $k$ obtenido, halle el polinomio que representa el cociente real de la división.
3. c) Interprete si a las $3$ horas el factor de carga divide de manera exacta al consumo acumulado y qué significado práctico tiene que el resto no sea cero.

Dado el polinomio $P(x) = 2x^4 - 31x^2 - 15x + 8$ y el divisor $x - 4$:

1. a) Sin realizar todavía la tabla de Ruffini, haga una estimación previa del signo y del orden de magnitud del residuo $P(4)$: compare mentalmente el valor predominante del término principal ($2 \times 4^4$) frente al término cuadrático ($-31 \times 4^2$). A partir de esta estimación, ¿considera verosímil que $x - 4$ sea un factor exacto o espera un residuo alejado de cero?
2. b) Aplique la regla de Ruffini completa para obtener el cociente y el residuo exactos, justificando la presencia de ceros en la tabla si fuera necesario.
3. c) Contraste el residuo obtenido con su estimación inicial y compruebe la validez del resultado verificando la identidad fundamental $P(x) = (x - 4) \times C(x) + R$ para los casos particulares sencillos $x = 0$ y $x = 1$.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.

Realice la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Tenga en cuenta que debe adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el residuo obtenidos.

El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, plantee la ecuación correspondiente y utilice la regla de Ruffini para encontrar la altura $h$.

Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.

Aplique la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduzca y escriba la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.

La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.

Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.

Resuelva la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factorice primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudie el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.

En la pizarra de un aula de bachillerato se ha borrado parcialmente la resolución de un problema en el que se aplicaban dos divisiones sucesivas sobre un polinomio de tercer grado $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Solo se han conservado las siguientes anotaciones legibles:

1. El coeficiente principal es $a = 2$.

2. Al dividir $P(x)$ entre $x + 1$ mediante Ruffini, se obtuvo un resto $R_1 = -12$ y un polinomio cociente $Q(x)$.

3. Al dividir dicho cociente $Q(x)$ entre el binomio $2x - 1$ aplicando la adaptación de Ruffini, la división resultó exacta (resto $R_2 = 0$) y el cociente final fue $x + 4$.

1. a) Reconstruya en sentido inverso la expresión algebraica del cociente intermedio $Q(x)$, detallando cómo interviene el divisor $2x - 1$.
2. b) Reconstruya la expresión algebraica completa del polinomio original $P(x)$.
3. c) Sin calcular $P(-1)$ ni $P(1/2)$ evaluando la fórmula obtenida, justifique a partir de la definición de división y del teorema del resto si $x = -1$ o $x = 1/2$ son raíces de $P(x)$.

Se desea hallar los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + mx^2 + nx + 6$ sea divisible exactamente por el trinomio $D(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

Dos estudiantes plantean estrategias distintas:

• Álvaro propone efectuar directamente la división euclídea tradicional («en galera») de $P(x)$ entre $D(x)$ e igualar a cero los dos coeficientes del resto lineal obtenido.

• Blanca propone factorizar $D(x) = (x - 2)(2x + 1)$ y encadenar dos tablas de Ruffini sucesivas: primero dividir entre $x - 2$ imponiendo resto cero, y luego dividir el cociente resultante entre $2x + 1$ imponiendo de nuevo resto cero.

1. a) Compare razonadamente ambas estrategias evaluando la carga de cálculo y los riesgos habituales de error algebraico (manejo de fracciones vs. monomios semejantes con parámetros).
2. b) Ejecute la estrategia de Blanca aplicando la regla de Ruffini de manera rigurosa para encontrar los valores exactos de $m$ y $n$, indicando las dos tablas y el cociente final simplificado de la división $P(x) : D(x)$.
3. c) Justificación teórica: Si en un caso general se divide sucesivamente un polinomio $P(x)$ entre $(x - a)$ obteniendo resto $R_1 \neq 0$, y el cociente resultante se divide entre $(cx - b)$ obteniendo resto $R_2 \neq 0$, deduzca algebraicamente cuál es la expresión del resto global de la división de $P(x)$ entre $(x - a)(cx - b)$ y explique por qué no es simplemente la suma $R_1 + R_2$.