Colinéarité, coplanarité et bases de l'espace

Deux drones de surveillance se déplacent dans l'espace selon des trajectoires rectilignes définies par les vecteurs $\vec{u} = (2 ; -4 ; 6)$ et $\vec{v} = (-1 ; 2 ; -3)$. Déterminer si les drones se déplacent dans des directions parallèles en étudiant la dépendance linéaire de leurs vecteurs directeurs.

Un système de capteurs laser nécessite que deux faisceaux lumineux soient parallèles. Le premier faisceau suit la direction du vecteur $\vec{d_1} = (3 ; k ; -1)$ et le second celle du vecteur $\vec{d_2} = (6 ; -4 ; -2)$. Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les vecteurs soient linéairement dépendants et, par conséquent, que les faisceaux soient parallèles.

On considère les points de l'espace $A(1 ; 2 ; -1)$, $B(2 ; 3 ; 1)$ et $C(3 ; 4 ; 3)$.

1. a) Déterminer les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. b) À partir de leurs composantes, décider si les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

Dans un moteur graphique de jeu vidéo, la position d'un objet est définie par la combinaison linéaire de deux vecteurs de base : $\vec{a} = (1 ; 0 ; 2)$ et $\vec{b} = (0 ; -1 ; 3)$. Calculer les coordonnées du vecteur résultant $\vec{w}$ si l'on applique l'opération suivante :

Soit les vecteurs $\vec{u} = (1 ; 2 ; 3)$, $\vec{v} = (2 ; 0 ; 1)$ et $\vec{w} = (3 ; 2 ; 4)$. Démontrer, sans calculs compliqués (en observant la relation entre leurs composantes), que la famille $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ est linéairement dépendante.

Soit les vecteurs $\vec{u} = (1, 2, -1)$ et $\vec{v} = (0, 1, 2)$. Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour que le vecteur $\vec{w} = (2, k, 0)$ soit combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Quelle relation géométrique existe-t-il entre les trois vecteurs pour cette valeur de $k$ ?

Déterminer si les points $P(1 ; 2 ; -1)$, $Q(3 ; 1 ; 1)$, $R(0 ; 5 ; -2)$ et $S(k ; 0 ; 4)$ sont coplanaires en fonction de la valeur de $k$. Pour cette étude, utiliser la dépendance linéaire des vecteurs d'origine $P$ et d'extrémités les autres points.

Si un vecteur $\vec{v}$ a pour coordonnées $(3 ; -2 ; 5)$ dans la base canonique $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, l'exprimer comme combinaison linéaire de ces vecteurs unitaires.

Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse, en justifiant : « Dans l'espace de dimension 3 $\mathbb{R}^3$, toute famille formée de quatre vecteurs non nuls est toujours linéairement dépendante ». Donner un exemple simple à l'appui de la réponse.

Pour vérifier si les vecteurs $\vec{u} = (1 ; 2 ; 0)$, $\vec{v} = (2 ; 1 ; 0)$ et $\vec{w} = (3 ; 3 ; 0)$ forment une base de $\mathbb{R}^3$, Marc écrit le raisonnement suivant lors de son contrôle :

« Je vérifie s'ils sont proportionnels deux à deux :

• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas proportionnels car $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{1}$.

• $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas proportionnels car $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

• $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas proportionnels car $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$.

Comme aucun couple de vecteurs n'a la même direction, les trois vecteurs sont linéairement indépendants et constituent donc une base de $\mathbb{R}^3$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Marc.
2. b) Expliquer, sans calcul algébrique et en observant uniquement la troisième composante des vecteurs, pourquoi il était évident dès le départ qu'ils ne pouvaient pas former une base de l'espace de dimension 3.
3. c) Calculer le déterminant $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ avec la règle de Sarrus afin de donner la justification analytique rigoureuse qui contredit la conclusion de Marc.

Construire trois vecteurs de l'espace, $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. Aucun des trois vecteurs n'a de composante nulle (aucune composante ne peut être $0$).

2. Aucun couple de vecteurs n'est proportionnel (c'est-à-dire qu'il n'y a pas deux vecteurs de même direction).

3. La famille $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ est linéairement dépendante.

Pour cela :

1. a) Expliquer la stratégie suivie pour les construire à partir de la définition d'une combinaison linéaire.
2. b) Écrire les composantes numériques de ces trois vecteurs.
3. c) Vérifier rigoureusement qu'ils sont dépendants en calculant le déterminant formé de leurs composantes et en vérifiant que sa valeur est exactement $0$.

Vérifier si les vecteurs $\vec{e_1} = (1 \,;\, 0 \,;\, 0)$, $\vec{e_2} = (1 \,;\, 1 \,;\, 0)$ et $\vec{e_3} = (1 \,;\, 1 \,;\, 1)$ peuvent former une base de $\mathbb{R}^3$. Pour cela, justifier s'ils sont linéairement indépendants à l'aide du déterminant de la matrice qu'ils forment.

Étudier la dépendance ou l'indépendance linéaire de la famille de vecteurs $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ selon les valeurs du paramètre $m \in \mathbb{R}$, où $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ et $\vec{c} = (1, 1, m)$.

Un drone de surveillance se déplace selon des trajectoires rectilignes définies par des vecteurs. Si les vecteurs directeurs de trois drones sont $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ et $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$, calculer les valeurs de $a$ pour lesquelles les trajectoires des trois drones seraient contenues dans des plans parallèles entre eux (c'est-à-dire que les vecteurs sont coplanaires).

Une équipe d'ingénieurs conçoit le système de navigation d'un satellite. Pour que le satellite puisse s'orienter dans n'importe quelle direction de l'espace, il faut trois propulseurs dont les directions de poussée sont linéairement indépendantes. Trois propulseurs ont été installés, définis par les vecteurs $\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ et $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Déterminer en justifiant pour quelles valeurs du paramètre réel $m$ le système de propulsion ne permettrait pas de manœuvrer dans tout l'espace (c'est-à-dire quand les vecteurs sont linéairement dépendants). Dans le cas où $m=1$, expliquer géométriquement ce qui se passe pour les directions de poussée et indiquer si elles forment une base de $\mathbb{R}^3$.

On considère les points de l'espace $A(1 ; 0 ; 0)$, $B(0 ; 2 ; 1)$ et $C(2 ; 0 ; m)$.

1. a) Déterminer le vecteur $\vec{AB}$ et le vecteur $\vec{AC}$.
2. b) Déterminer la valeur de $m$ pour que le vecteur $\vec{v} = (3 ; -3 ; -3)$ soit linéairement dépendant de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
3. c) Pour la valeur de $m$ trouvée, écrire $\vec{v}$ comme combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

Soit les vecteurs de la base canonique $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, on définit les vecteurs :

Justifier si la famille $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ est une base de $\mathbb{R}^3$. Si un vecteur $\vec{x}$ a pour coordonnées $(1, 2, 3)$ dans la base canonique, quelles seront ses coordonnées dans la base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ ?

Dans le développement d'un jeu vidéo en monde ouvert, la position d'un personnage est définie à l'aide d'une base non standard $B' = \{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}$. On sait que ces vecteurs sont liés à la base canonique $B = \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}$ de la façon suivante :

$\vec{u_1} = \vec{i} + \vec{j}$

$\vec{u_2} = \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{u_3} = \vec{i} + \vec{k}$

1. a) Démontrer que $B'$ est une base de $\mathbb{R}^3$.

1. b) Si un objet du jeu a pour coordonnées $(2, -4, 6)$ dans la base canonique, déterminer ses coordonnées dans la base $B'$.

Soit les vecteurs de l'espace $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$ et $\vec{c} = (k, 1, -3)$.

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour que le vecteur $\vec{v} = (3, 4, -7)$ puisse s'exprimer comme combinaison linéaire de $\vec{a}$, $\vec{b}$ et $\vec{c}$, de sorte que les trois vecteurs soient linéairement dépendants.

1. b) Si $k = 2$, ces vecteurs forment-ils une base de $\mathbb{R}^3$ ? Si oui, calculer les coordonnées du vecteur $\vec{w} = (1, 1, 1)$ dans cette base $B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$.