Arrangements

Dans une galerie d'art, on va exposer $2$ tableaux choisis parmi une collection privée de $7$ œuvres. L'un sera placé sur le mur de gauche de la salle et l'autre sur le mur de droite. De combien de façons différentes peut-on organiser cette exposition ?

Un club de lecture compte $9$ membres. Il doit élire un bureau composé d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire. Comme les postes sont différents et que chaque personne ne peut en occuper qu'un seul, de combien de façons peut-on former le bureau ?

À l'aide des chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, combien de nombres pairs à $3$ chiffres peut-on former si l'on n'a pas le droit de répéter un chiffre dans un même nombre ?

On lance un dé cubique classique à $6$ faces $4$ fois de suite et on note le résultat de chaque lancer dans l'ordre. Combien de résultats distincts peut-on obtenir au total ?

On veut peindre $3$ boîtes aux lettres alignées dans une rue. On dispose de $4$ couleurs différentes (rouge, vert, bleu et jaune). Si l'on peut répéter les couleurs sur des boîtes différentes, de combien de façons différentes peut-on les peindre ?

Le système d'immatriculation d'un pays est constitué d'un bloc de $4$ chiffres (de $0$ à $9$) suivi d'un bloc de $2$ lettres choisies dans un alphabet de $20$ consonnes. Dans les deux blocs, la répétition des caractères est autorisée. Combien de plaques d'immatriculation distinctes peut-on délivrer au total avec ce format ?

Un antivol de vélo possède $3$ molettes indépendantes, numérotées chacune de $0$ à $9$. Calculer la différence entre le nombre total de combinaisons possibles (avec répétition) et le nombre de combinaisons dans lesquelles les trois chiffres sont strictement distincts.

Combien de nombres de $4$ chiffres peut-on former avec les chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (les chiffres pouvant se répéter) qui soient strictement supérieurs à $3000$ ?

Pour accéder à une base de données sécurisée, un mot de passe de $5$ caractères est requis. Par sécurité, le système exige que les deux premiers caractères soient des voyelles (la répétition est permise) et que les trois derniers caractères soient des chiffres de $0$ à $9$ (sans qu'aucun ne se répète). Combien de mots de passe distincts respectent ce format ?

Dans un tournoi d'échecs, on joue en match aller-retour (chaque joueur affronte tous les autres deux fois, en alternant la couleur des pièces). Sachant qu'au total $90$ parties ont été disputées, poser l'équation correspondante à l'aide de la formule des arrangements et déterminer combien de joueurs ont participé au tournoi.

Sachant que le nombre d'arrangements avec répétition de $x$ éléments pris $2$ à $2$ dépasse de $12$ le nombre d'arrangements sans répétition des mêmes $x$ éléments pris $2$ à $2$, poser l'équation correspondante et déterminer la valeur de $x$.