Introduction au dénombrement

Un restaurant propose un menu du jour avec $4$ entrées, $3$ plats et $5$ desserts. De combien de façons différentes peut-on commander un menu complet composé d'une entrée, d'un plat et d'un dessert ?

Une marque de vélos fabrique un modèle disponible en $3$ tailles de cadre différentes, $5$ coloris et avec $2$ types de freins différents. Combien de versions différentes de ce modèle de vélo existe-t-il sur le marché ?

Un QCM comporte $10$ questions. Chaque question propose $4$ réponses possibles, dont une seule est correcte.

• De combien de façons différentes peut-on répondre au QCM s'il est obligatoire de cocher une réponse à chaque question ?

• De combien de façons pourrait-on y répondre si l'on peut laisser des questions sans réponse ?

Dans une bibliothèque de classe, il y a $12$ romans de science-fiction, $8$ romans historiques et $5$ biographies. Si vous n'avez le temps de lire qu'un seul livre ce week-end, combien de choix différents avez-vous ?

Un mot de passe pour un système informatique doit être formé de $2$ lettres de l'alphabet (parmi $26$ lettres possibles) suivies de $3$ chiffres (de $0$ à $9$), ou bien de $3$ lettres suivies de $2$ chiffres. Si les lettres comme les chiffres peuvent être répétés, combien de mots de passe distincts peut-on créer au total ?

Dessiner l'arbre de l'expérience qui consiste à lancer une pièce équilibrée puis à lancer un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de $1$ à $4$). Combien cette expérience composée a-t-elle d'issues possibles ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Pour aller de la ville A à la ville B, il y a $3$ routes différentes, et pour aller de la ville B à la ville C, il y a $2$ routes différentes.

• De combien de façons peut-on aller de A à C en passant obligatoirement par B ?

• Dessiner l'arbre correspondant à ce trajet.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Deux équipes de basket, Alpha et Bêta, disputent une série au meilleur de $3$ matchs (la première à gagner $2$ matchs est qualifiée). Les matchs nuls sont impossibles. Dessiner l'arbre de tous les déroulements possibles de la série. De combien de façons différentes la série de matchs peut-elle se dérouler ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Observer le quadrillage de la figure. Un robot se déplace du point A au point B en se déplaçant uniquement vers la droite ou vers le haut le long des lignes du quadrillage. Combien de chemins différents le robot peut-il emprunter pour atteindre sa destination ?

Calculer la valeur des expressions numériques suivantes en utilisant les propriétés des factorielles :

• $\frac{8!}{6!}$

• $4! + 3!$

Mathis résout un problème de simplification avec des factorielles et présente au tableau le développement suivant :

1. a) Indiquer précisément l'erreur algébrique commise par Mathis et expliquer pourquoi il n'est pas valide de simplifier la fraction de cette façon.
2. b) Résoudre correctement l'expression en appliquant les propriétés de la factorielle (en décomposant $7!$ en fonction de $5!$ ou en factorisant) et déterminer sa valeur numérique finale.

Simplifier l'expression littérale $\frac{(x+2)!}{x!}$ puis résoudre l'équation $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.

Dans un club de lecture pour jeunes, on veut attribuer à chaque membre une carte avec un code personnalisé. Le code est toujours composé d'une voyelle majuscule (choisie dans l'ensemble $\{A, E, I, O, U\}$) suivie d'une séquence de $k$ chiffres impairs distincts (choisis dans l'ensemble $\{1, 3, 5, 7, 9\}$).

La personne chargée de la base de données constate qu'avec ces conditions, on peut générer exactement $300$ codes différents.

1. a) Établir une expression générale en fonction de $k$ pour le nombre total de codes possibles en appliquant le principe multiplicatif.
2. b) Résoudre le problème inverse : déterminer, en justifiant, combien de chiffres impairs ($k$) chaque code doit contenir pour obtenir exactement ces $300$ codes.

Démontrer algébriquement l'identité suivante, valable pour tout entier naturel $n \ge 1$ :

Une fois démontrée, appliquer ce résultat pour simplifier et calculer la valeur exacte de l'expression $\frac{10! + 9!}{11!}$.

Pour protéger un vélo au lycée, on utilise un cadenas à code à $3$ molettes, chacune portant les chiffres de $0$ à $9$. Le propriétaire décide que le code ne peut pas commencer par $0$ et que les trois chiffres doivent être deux à deux distincts.

1. a) Avant tout calcul exact, estimer intuitivement si le nombre total de codes possibles sera inférieur à $300$, compris entre $300$ et $700$, ou supérieur à $700$. Justifier brièvement sur quoi vous fondez votre intuition initiale.
2. b) Modéliser la situation à l'aide du principe multiplicatif et calculer le nombre exact de codes distincts qui respectent ces conditions.
3. c) Vérifier si votre estimation initiale était juste et réfléchir à la façon dont le résultat change si l'on autorisait la répétition des chiffres (en gardant le premier chiffre différent de $0$).

En utilisant uniquement les chiffres de l'ensemble $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ :

• Combien de nombres à $4$ chiffres distincts peut-on former ?

• Parmi les nombres ainsi formés, combien sont pairs ?

Dans le système de numération décimal, on considère tous les nombres entiers compris entre $1000$ et $9999$ (inclus). Combien de ces nombres contiennent le chiffre $7$ au moins une fois dans leur écriture ?

Dans le tiroir d'une commode, il y a des chaussettes dépareillées de $3$ couleurs différentes (noires, blanches et bleues). En cas de panne de courant, vous sortez des chaussettes dans le noir. Quel est le nombre minimal de chaussettes à sortir pour être sûr d'avoir au moins une paire de la même couleur ?

Dans un lycée, $400$ élèves sont inscrits.

• Justifier mathématiquement pourquoi on peut affirmer qu'au moins deux élèves ont leur anniversaire le même jour de l'année.

• Combien d'élèves faudrait-il au minimum dans l'établissement pour garantir qu'au moins trois d'entre eux fêtent leur anniversaire le même jour ? (On considère des années non bissextiles de $365$ jours.)

On choisit au hasard $5$ points à l'intérieur d'un carré de côté $2\text{ cm}$. Démontrer, à l'aide du principe des tiroirs, qu'il y aura toujours au moins deux points dont la distance est inférieure ou égale à $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Indice : découper le carré en régions bien choisies.)