Parallélisme et orthogonalité entre droites et plans de l'espace
Léa, électricienne sur un chantier à Toulouse, doit tirer un câble d'acier perpendiculairement à un panneau photovoltaïque posé sur un toit. Elle doit aussi vérifier qu'un rail de fixation est bien parallèle au panneau. Dans les deux cas, la question est la même : quelle relation y a-t-il entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan ? Et pour connaître l'« ombre » d'un objet sur une surface, il faut savoir projeter orthogonalement : tu vas voir que cela revient toujours à construire une droite ou un plan perpendiculaire auxiliaire.
Droite et plan : parallèles ou perpendiculaires
Rappel de lecture. Dans une représentation paramétrique $\begin{cases}x=x_A+ta\\y=y_A+tb\\z=z_A+tc\end{cases}$, le vecteur $\vec u\,(a\,;b\,;c)$ est un vecteur directeur. Si la droite est donnée sous la forme $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z}{4}$, on lit le point $A(1\,;-3\,;0)$ et le vecteur directeur $\vec u\,(2\,;-1\,;4)$. Pour un plan d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$, le vecteur $\vec n\,(a\,;b\,;c)$ est un vecteur normal.
Quand $\vec u \cdot \vec n = 0$, il reste à savoir si la droite est contenue dans le plan : on teste si un point de la droite vérifie l'équation de $\mathcal P$.
Déterminer la position relative de la droite $r$ et du plan $\pi$ en étudiant la relation entre leurs vecteurs caractéristiques. La droite est donnée par l'équation…
Déterminer la position relative de la droite $r$ et du plan $\pi$ en étudiant la relation entre leurs vecteurs caractéristiques. La droite est donnée par l'équation symétrique $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ et le plan par l'équation cartésienne $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$.
- a) Écrire un vecteur directeur $\vec{v}_r$ de la droite et un vecteur normal $\vec{n}$ du plan.
- b) Le vecteur directeur de la droite est-il colinéaire au vecteur normal du plan ? Justifier la réponse.
- c) Justifier quelle conséquence géométrique ce fait a sur la position relative de $r$ et $\pi$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ soit parallèle au plan $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Rappel :…
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ soit parallèle au plan $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Rappel : pour qu'une droite et un plan soient parallèles, le produit scalaire de leurs vecteurs caractéristiques doit être nul.
Déterminer la position relative du plan $\pi: mx + y - z = 1$ et de la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en fonction du paramètre réel $m$.…
Déterminer la position relative du plan $\pi: mx + y - z = 1$ et de la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en fonction du paramètre réel $m$. Préciser pour quelles valeurs ils sont perpendiculaires et pour lesquelles la droite est parallèle au plan.
Construire une perpendiculaire ou un plan perpendiculaire
Droite perpendiculaire à un plan. La droite passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal P$ a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vec n$ de $\mathcal P$. Le point $M(x\,;y\,;z)$ est sur cette droite si et seulement si $\overrightarrow{AM} = t\,\vec n$ pour un réel $t$.
Plan perpendiculaire à une droite. Le plan passant par $A$ et orthogonal à la droite de vecteur directeur $\vec u$ a pour vecteur normal $\vec u$. Son équation est $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$ avec $\vec u\,(a\,;b\,;c)$.
Droite donnée comme intersection de deux plans. Il faut alors trouver un vecteur directeur : il est orthogonal aux deux vecteurs normaux. On résout un petit système (on n'utilise pas le produit vectoriel, hors programme).
Un bras robotisé d'une usine de montage se déplace selon une trajectoire rectiligne $s$. La trajectoire passe par le point de contrôle $A(2\,;\,-1\,;\,5)$ et doit être…
Un bras robotisé d'une usine de montage se déplace selon une trajectoire rectiligne $s$. La trajectoire passe par le point de contrôle $A(2\,;\,-1\,;\,5)$ et doit être perpendiculaire au panneau de support, représenté par le plan $\pi: x + 3y - 2z + 4 = 0$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $s$ suivie par le bras robotisé.
Soit le point $Q(3 ; -1 ; 4)$ et le plan $\alpha: 2x + y = 0$. Déterminer une équation de la droite $r$ passant par $Q$ et perpendiculaire au plan $\alpha$. Faire…
Soit le point $Q(3 ; -1 ; 4)$ et le plan $\alpha: 2x + y = 0$. Déterminer une équation de la droite $r$ passant par $Q$ et perpendiculaire au plan $\alpha$. Faire particulièrement attention à l'identification des coordonnées du vecteur normal du plan, en remarquant l'absence de la variable $z$.
Déterminer une équation du plan $\alpha$ passant par le point $P(1 ; 0 ; -2)$ et perpendiculaire à la droite $s$ définie par l'intersection des plans :…
Déterminer une équation du plan $\alpha$ passant par le point $P(1 ; 0 ; -2)$ et perpendiculaire à la droite $s$ définie par l'intersection des plans :
$s: \begin{cases} x + y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$
Déterminer aussi le point d'intersection de la droite $s$ et du plan $\alpha$ trouvé (projection orthogonale de $P$ sur $s$).
Deux plans : parallèles ou perpendiculaires
Plan perpendiculaire à un plan $\mathcal P$ et contenant une droite $(d)$. Son vecteur normal $\vec m$ doit être orthogonal à $\vec u$ (direction de $(d)$) et à $\vec n$ (normale de $\mathcal P$). On résout comme précédemment, puis on écrit l'équation avec un point de $(d)$.
Vérifier si le plan $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ et le plan $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ sont parallèles. Pour cela, étudier si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.…
Vérifier si le plan $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ et le plan $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ sont parallèles. Pour cela, étudier si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. S'ils sont parallèles, déterminer s'ils sont confondus ou s'ils n'ont aucun point commun.
Soit la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ et le plan $\pi: 3x + y - z = 4$. Déterminer une équation du plan $\beta$ vérifiant simultanément…
Soit la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ et le plan $\pi: 3x + y - z = 4$. Déterminer une équation du plan $\beta$ vérifiant simultanément :
-
Il contient la droite $r$.
-
Il est perpendiculaire au plan $\pi$.
Considérer le plan $\pi: x + y + z = 2$ et la famille de droites $r_m$ données par : $r_m: \begin{cases} x - 2y + z = m \\ mx + y - z = 1 \end{cases}$ a) Trouver la…
Considérer le plan $\pi: x + y + z = 2$ et la famille de droites $r_m$ données par :
$r_m: \begin{cases} x - 2y + z = m \\ mx + y - z = 1 \end{cases}$
- a) Trouver la valeur de $m$ pour que la droite $r_m$ soit parallèle au plan $\pi$.
- b) Pour cette valeur de $m$, étudier si la droite est contenue dans le plan.
- c) Déterminer une équation d'un plan $\pi'$ perpendiculaire à $\pi$ et contenant la droite $r_m$ lorsque $m = 0$.
Deux droites orthogonales
Deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément : elles peuvent être non coplanaires. Par exemple, une arête verticale d'un pavé droit et une arête horizontale de la face du dessus qui ne la touche pas.
Direction orthogonale à deux droites. Pour construire une droite orthogonale à deux droites données, on cherche un vecteur $\vec w$ avec $\vec w\cdot\vec u=0$ et $\vec w\cdot\vec u'=0$ (même méthode que pour la direction d'une intersection de deux plans). Avec les vecteurs précédents : $\begin{cases}a+2b-c=0\\3a-b+c=0\end{cases}$. En ajoutant : $4a+b=0$, donc $b=-4a$ et $c=a+2b=-7a$ ; avec $a=1$, $\vec w\,(1\,;-4\,;-7)$.
Deux droites de l'espace, $a$ et $b$, sont non coplanaires. Si la droite $a$ est parallèle à un plan horizontal $\pi$ et que la droite $b$ est perpendiculaire à ce même…
Deux droites de l'espace, $a$ et $b$, sont non coplanaires. Si la droite $a$ est parallèle à un plan horizontal $\pi$ et que la droite $b$ est perpendiculaire à ce même plan $\pi$ :
- a) Quel angle forment les directions des droites $a$ et $b$ ?
- b) Peut-on trouver un plan contenant à la fois les deux droites ? Pourquoi ?
- c) Peut-on affirmer que les deux droites sont orthogonales bien qu'elles n'aient aucun point commun ?
Soit les droites $r$ et $s$ définies par : $r: \frac{x-1}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ et $s: \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$ a)…
Soit les droites $r$ et $s$ définies par :
$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ et $s: \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$
- a) Calculer la valeur du paramètre $a$ pour que les droites $r$ et $s$ soient orthogonales.
- b) Pour la valeur de $a$ obtenue, les droites sont-elles sécantes ou non coplanaires ?
- c) Déterminer une équation du plan parallèle à $s$ et contenant la droite $r$.
Dans la conception d'une structure métallique pour un festival de musique, on doit placer deux poutres représentées par les droites :…
Dans la conception d'une structure métallique pour un festival de musique, on doit placer deux poutres représentées par les droites :
$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$ et $s: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$
Un ingénieur doit installer une troisième poutre de renfort, $t$, vérifiant simultanément :
-
Elle est orthogonale aux poutres $r$ et $s$.
-
Elle passe par le point d'intersection de la droite $r$ et du plan $XY$.
Déterminer une équation de la droite $t$ sous forme symétrique (continue) et déterminer s'il existe un point où cette nouvelle poutre $t$ coupe la poutre $s$.
Projeté orthogonal d'un point
Un architecte conçoit une rampe modélisée par un plan $\pi$ d'équation cartésienne $x + y + z - 6 = 0$. Pour installer un capteur de luminosité, il doit connaître la…
Un architecte conçoit une rampe modélisée par un plan $\pi$ d'équation cartésienne $x + y + z - 6 = 0$. Pour installer un capteur de luminosité, il doit connaître la projection orthogonale du point $P(1 ; 2 ; 5)$ sur ce plan. Calculer les coordonnées du point $Q$ qui représente cette projection (appelé le pied de la perpendiculaire).
Calculer les coordonnées du point $Q$, projection orthogonale du point $P(3 ; -1 ; 5)$ sur la droite $r$ définie par l'équation symétrique suivante : $$r: \frac{x -…
Calculer les coordonnées du point $Q$, projection orthogonale du point $P(3 ; -1 ; 5)$ sur la droite $r$ définie par l'équation symétrique suivante :
$$r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z}{3}$$Déterminer le point $P'$, projection orthogonale du point $P(1 ; 0 ; -3)$ sur le plan $\pi$ d'équation : $$\pi: 2x - 3y + z - 4 = 0$$
Déterminer le point $P'$, projection orthogonale du point $P(1 ; 0 ; -3)$ sur le plan $\pi$ d'équation :
$$\pi: 2x - 3y + z - 4 = 0$$Projection orthogonale d'une droite sur un plan
Soit $(d)$ une droite de vecteur directeur $\vec u$ et $\mathcal P$ un plan de vecteur normal $\vec n$.
-
Si $\vec u$ et $\vec n$ sont colinéaires, tous les points de $(d)$ ont le même projeté : la projection est un point.
-
Sinon, la projection est une droite $(d')$. Deux méthodes :
Méthode A : projeter deux points. On projette deux points distincts de $(d)$ ; la droite projetée passe par leurs projetés (un point de $(d)$ qui est déjà dans $\mathcal P$ est son propre projeté).
Méthode B : plan projetant. Le plan projetant est le plan contenant $(d)$ et perpendiculaire à $\mathcal P$. Son vecteur normal $\vec m$ vérifie $\vec m\cdot\vec u=0$ et $\vec m\cdot\vec n=0$ (voir la section précédente). La droite $(d')$ est l'intersection du plan projetant et de $\mathcal P$.
On projette la droite $r$, qui passe par les points $A(1 ; 0 ; 0)$ et $B(1 ; 1 ; 1)$, sur le plan $\pi: x = 0$. 1. Déterminer la projection orthogonale des points $A$ et…
On projette la droite $r$, qui passe par les points $A(1 ; 0 ; 0)$ et $B(1 ; 1 ; 1)$, sur le plan $\pi: x = 0$.
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Déterminer la projection orthogonale des points $A$ et $B$ sur le plan.
-
Écrire l'équation de la droite projetée $r'$ qui passe par ces deux nouveaux points.
Dans un projet d'énergie solaire, on installe un panneau plan représenté par le plan $\pi \equiv 2x + y - z = 4$. Un mât de support est défini par la droite…
Dans un projet d'énergie solaire, on installe un panneau plan représenté par le plan $\pi \equiv 2x + y - z = 4$. Un mât de support est défini par la droite $r \equiv \{x = 1+t, y = 2-t, z = 3t\}$. À midi, les rayons du soleil arrivent perpendiculairement au panneau. Déterminer une équation de la droite $s$ représentant la projection orthogonale du mât $r$ sur le panneau solaire $\pi$ (son « ombre » sous incidence perpendiculaire). Déterminer aussi le point où le mât traverse le panneau.
Déterminer une équation cartésienne du plan projetant de la droite $r$ sur le plan $\pi$. Rappel : le plan projetant est le plan perpendiculaire à $\pi$ qui contient la…
Déterminer une équation cartésienne du plan projetant de la droite $r$ sur le plan $\pi$. Rappel : le plan projetant est le plan perpendiculaire à $\pi$ qui contient la droite $r$.
$$r: \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{et} \quad \pi: 2x + y - z = 5$$Plan médiateur et problèmes de synthèse
Pour les problèmes plus longs, voici les réflexes.
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Un point à égale distance de deux points (triangle isocèle de base $[AB]$) : le sommet est dans le plan médiateur de $[AB]$.
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Réflexion sur un miroir plan : si $P'$ est le projeté orthogonal de $P$ sur le miroir, le symétrique de $P$ est $P''=2P'-P$ ; le rayon réfléchi passe par le point d'incidence et par $P''$.
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Perpendiculaire commune à deux droites : sa direction est orthogonale aux deux directions ; elle est l'intersection du plan contenant la première droite et cette direction, et du plan contenant la seconde et cette direction.
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Coin d'une pièce (trièdre) : le sol et deux murs qui se rencontrent en un sommet forment un trièdre. Les trois plans sont deux à deux perpendiculaires, car leurs vecteurs normaux, portés par les arêtes $\vec\imath$, $\vec\jmath$, $\vec k$ d'un repère orthonormé, vérifient $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$. Les trois angles des faces (entre deux arêtes) valent $90^\circ$, et chacun des trois angles dièdres (entre deux plans, mesuré entre deux droites perpendiculaires à l'arête commune) vaut aussi $90^\circ$. Une droite parallèle à l'arête commune de deux murs est parallèle aux deux murs : son vecteur directeur est orthogonal à leurs normales.
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Chaque fois, on vérifie : points dans les bons plans, produits scalaires nuls.
Observer le coin d'une pièce où se rencontrent deux murs et le sol. Cet ensemble forme un trièdre au sommet du coin inférieur. a) Quelle est la mesure des trois angles…
Observer le coin d'une pièce où se rencontrent deux murs et le sol. Cet ensemble forme un trièdre au sommet du coin inférieur.
- a) Quelle est la mesure des trois angles qui définissent les faces de ce trièdre ?
- b) Quelle est la somme des mesures des trois angles dièdres formés entre les murs et le sol ?
- c) Si une mouche vole selon une trajectoire parallèle à la ligne de la plinthe d'un mur, cette trajectoire est-elle aussi parallèle au plan de l'autre mur ? Expliquer pourquoi.
Soit les points $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(3 ; 2 ; 1)$. a) Déterminer une équation du plan $\pi$ perpendiculaire au segment $AB$ et passant par son milieu (plan médiateur). b)…
Soit les points $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(3 ; 2 ; 1)$.
- a) Déterminer une équation du plan $\pi$ perpendiculaire au segment $AB$ et passant par son milieu (plan médiateur).
- b) Soit la droite $r: \begin{cases} x - y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$. Étudier sa position relative par rapport au plan $\pi$ trouvé.
- c) Trouver un point $C$ de la droite $r$ tel que le triangle $ABC$ soit isocèle de base $AB$.
Un rayon laser part du point $P(1 ; -2 ; 3)$ et se dirige vers un miroir plan d'équation $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. Le rayon se réfléchit sur le miroir selon les lois de…
Un rayon laser part du point $P(1 ; -2 ; 3)$ et se dirige vers un miroir plan d'équation $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. Le rayon se réfléchit sur le miroir selon les lois de la réflexion optique (le rayon incident, la normale au plan au point d'incidence et le rayon réfléchi sont dans un même plan, et les angles d'incidence et de réflexion sont égaux).
Déterminer :
- a) Les coordonnées du point d'incidence $Q$, sachant que le rayon incident est perpendiculaire au plan $\pi$.
- b) Une équation de la droite qui contient le rayon réfléchi si, au lieu d'être perpendiculaire, le rayon partait de $P$ et arrivait sur le plan au point $A(1 ; 0 ; 3)$.
- c) Justifier la relation de parallélisme ou d'orthogonalité entre le rayon incident de la question a) et le vecteur normal au plan.
Déterminer une équation de la droite $t$ qui coupe perpendiculairement les droites $r$ et $s$, avec : $r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{2}$ et…
Déterminer une équation de la droite $t$ qui coupe perpendiculairement les droites $r$ et $s$, avec :
$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{2}$ et $s: \begin{cases} x = 3 + 2\mu \\ y = 1 \\ z = \mu \end{cases}$
Cet exercice demande de déterminer la direction de la « perpendiculaire commune » et les plans auxiliaires qui permettent de localiser les points d'intersection avec chaque droite.
Retour au début. Pour que le câble de Léa soit perpendiculaire au panneau, son vecteur directeur doit être colinéaire au vecteur normal du plan ($\vec u\parallel\vec n$) ; pour que le rail soit parallèle au panneau, il faut $\vec u\cdot\vec n=0$.