Exercices: Dépendance et indépendance linéaires. Bases

Deux drones de surveillance se déplacent dans l'espace selon des trajectoires rectilignes définies par les vecteurs $\vec{u} = (2 ; -4 ; 6)$ et $\vec{v} = (-1 ; 2 ; -3)$. Déterminer si les drones se déplacent dans des directions parallèles en étudiant la dépendance linéaire de leurs vecteurs directeurs.

Dans un moteur graphique de jeu vidéo, la position d'un objet est définie par la combinaison linéaire de deux vecteurs de base : $\vec{a} = (1 ; 0 ; 2)$ et $\vec{b} = (0 ; -1 ; 3)$. Calculer les coordonnées du vecteur résultant $\vec{w}$ si l'on applique l'opération suivante :

Soit les vecteurs $\vec{u} = (1 ; 2 ; 3)$, $\vec{v} = (2 ; 0 ; 1)$ et $\vec{w} = (3 ; 2 ; 4)$. Démontrer, sans calculs compliqués (en observant la relation entre leurs composantes), que la famille $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ est linéairement dépendante.

Un système de capteurs laser nécessite que deux faisceaux lumineux soient parallèles. Le premier faisceau suit la direction du vecteur $\vec{d_1} = (3 ; k ; -1)$ et le second celle du vecteur $\vec{d_2} = (6 ; -4 ; -2)$. Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les vecteurs soient linéairement dépendants et, par conséquent, que les faisceaux soient parallèles.

Vérifier si les vecteurs $\vec{e_1} = (1 \,;\, 0 \,;\, 0)$, $\vec{e_2} = (1 \,;\, 1 \,;\, 0)$ et $\vec{e_3} = (1 \,;\, 1 \,;\, 1)$ peuvent former une base de $\mathbb{R}^3$. Pour cela, justifier s'ils sont linéairement indépendants à l'aide du déterminant de la matrice qu'ils forment.

On considère les points de l'espace $A(1 ; 2 ; -1)$, $B(2 ; 3 ; 1)$ et $C(3 ; 4 ; 3)$.

1. a) Déterminer les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. b) À partir de leurs composantes, décider si les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

Si un vecteur $\vec{v}$ a pour coordonnées $(3 ; -2 ; 5)$ dans la base canonique $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, l'exprimer comme combinaison linéaire de ces vecteurs unitaires.

Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse, en justifiant : « Dans l'espace de dimension 3 $\mathbb{R}^3$, toute famille formée de quatre vecteurs non nuls est toujours linéairement dépendante ». Donner un exemple simple à l'appui de la réponse.

Pour vérifier si les vecteurs $\vec{u} = (1 ; 2 ; 0)$, $\vec{v} = (2 ; 1 ; 0)$ et $\vec{w} = (3 ; 3 ; 0)$ forment une base de $\mathbb{R}^3$, Marc écrit le raisonnement suivant lors de son contrôle :

« Je vérifie s'ils sont proportionnels deux à deux :

• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas proportionnels car $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{1}$.

• $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas proportionnels car $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

• $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas proportionnels car $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$.

Comme aucun couple de vecteurs n'a la même direction, les trois vecteurs sont linéairement indépendants et constituent donc une base de $\mathbb{R}^3$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Marc.
2. b) Expliquer, sans calcul algébrique et en observant uniquement la troisième composante des vecteurs, pourquoi il était évident dès le départ qu'ils ne pouvaient pas former une base de l'espace de dimension 3.
3. c) Calculer le déterminant $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ avec la règle de Sarrus afin de donner la justification analytique rigoureuse qui contredit la conclusion de Marc.

Construire trois vecteurs de l'espace, $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. Aucun des trois vecteurs n'a de composante nulle (aucune composante ne peut être $0$).

2. Aucun couple de vecteurs n'est proportionnel (c'est-à-dire qu'il n'y a pas deux vecteurs de même direction).

3. La famille $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ est linéairement dépendante.

Pour cela :

1. a) Expliquer la stratégie suivie pour les construire à partir de la définition d'une combinaison linéaire.
2. b) Écrire les composantes numériques de ces trois vecteurs.
3. c) Vérifier rigoureusement qu'ils sont dépendants en calculant le déterminant formé de leurs composantes et en vérifiant que sa valeur est exactement $0$.

Soit les vecteurs $\vec{u} = (1, 2, -1)$ et $\vec{v} = (0, 1, 2)$. Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour que le vecteur $\vec{w} = (2, k, 0)$ soit combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Quelle relation géométrique existe-t-il entre les trois vecteurs pour cette valeur de $k$ ?

Étudier la dépendance ou l'indépendance linéaire de la famille de vecteurs $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ selon les valeurs du paramètre $m \in \mathbb{R}$, où $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ et $\vec{c} = (1, 1, m)$.

Démontrer en justifiant que si les vecteurs $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ sont linéairement indépendants, alors les vecteurs $\{\vec{u} + \vec{v}, \vec{v} + \vec{w}, \vec{w} + \vec{u}\}$ sont aussi linéairement indépendants et forment donc une base de $\mathbb{R}^3$.

Un drone de surveillance se déplace selon des trajectoires rectilignes définies par des vecteurs. Si les vecteurs directeurs de trois drones sont $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ et $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$, calculer les valeurs de $a$ pour lesquelles les trajectoires des trois drones seraient contenues dans des plans parallèles entre eux (c'est-à-dire que les vecteurs sont coplanaires).

On considère les points de l'espace $A(1 ; 0 ; 0)$, $B(0 ; 2 ; 1)$ et $C(2 ; 0 ; m)$.

1. a) Déterminer le vecteur $\vec{AB}$ et le vecteur $\vec{AC}$.
2. b) Déterminer la valeur de $m$ pour que le vecteur $\vec{v} = (3 ; -3 ; -3)$ soit linéairement dépendant de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
3. c) Pour la valeur de $m$ trouvée, écrire $\vec{v}$ comme combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

Soit les vecteurs de la base canonique $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, on définit les vecteurs :

Justifier si la famille $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ est une base de $\mathbb{R}^3$. Si un vecteur $\vec{x}$ a pour coordonnées $(1, 2, 3)$ dans la base canonique, quelles seront ses coordonnées dans la base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ ?

Déterminer si les points $P(1 ; 2 ; -1)$, $Q(3 ; 1 ; 1)$, $R(0 ; 5 ; -2)$ et $S(k ; 0 ; 4)$ sont coplanaires en fonction de la valeur de $k$. Pour cette étude, utiliser la dépendance linéaire des vecteurs d'origine $P$ et d'extrémités les autres points.

On considère les vecteurs $\vec{u} = (1, -1, 2)$, $\vec{v} = (2, 0, 3)$ et $\vec{w} = (0, 2, -1)$. On souhaite savoir si $\vec{w}$ est coplanaire avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Deux camarades de classe proposent de le résoudre par des voies différentes :

• Méthode de Mathis : calculer directement le déterminant $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ avec la règle de Sarrus.

• Méthode d'Hélène : poser l'égalité vectorielle $\vec{w} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v}$ comme un système de trois équations à deux inconnues ($a$ et $b$), le résoudre avec deux d'entre elles et vérifier si la troisième est satisfaite.

1. a) Appliquer la méthode de Mathis pour déterminer si $\vec{w}$ est coplanaire avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
2. b) Appliquer la méthode d'Hélène pour déterminer, s'ils existent, les scalaires $a$ et $b$ qui expriment $\vec{w}$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
3. c) Comparer les deux procédés : si lors d'un contrôle on vous demande seulement « ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ? », lequel choisiriez-vous et pourquoi ? En quoi votre choix changerait-il si l'on vous demandait en plus « exprimer le vecteur $\vec{w}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ » ?

Une unité de drones de reconnaissance du dispositif de lutte contre les feux de forêt dans les Alpes utilise trois vecteurs de déplacement élémentaire calibrés dans ses moteurs (mesurés en kilomètres selon les axes Est, Nord et Altitude) :

$\vec{d}_1 = (2 ; 1 ; 0,5)$, $\vec{d}_2 = (1 ; 3 ; 1)$ et $\vec{d}_3 = (4 ; -1 ; k)$, où $k$ est un paramètre de réponse verticale réglable par logiciel.

1. a) Pour que le drone puisse manœuvrer vers n'importe quel point de l'espace, ses trois mouvements élémentaires doivent former une base de $\mathbb{R}^3$. Déterminer la valeur critique de $k$ pour laquelle les mouvements seraient confinés dans un seul plan (c'est-à-dire linéairement dépendants), empêchant le contrôle total du drone.
2. b) Si les techniciens règlent $k = 1\text{ km}$, justifier pourquoi les trois vecteurs forment une base $B = \{\vec{d}_1, \vec{d}_2, \vec{d}_3\}$.
3. c) Pour atteindre un foyer d'incendie situé à la position relative $\vec{p} = (7 ; 3 ; 2,5)\text{ km}$, calculer combien d'unités de chaque mouvement élémentaire $(a, b, c)$ le pilote doit programmer ; autrement dit, calculer les coordonnées de $\vec{p}$ dans la base $B$.

Une équipe d'ingénieurs conçoit le système de navigation d'un satellite. Pour que le satellite puisse s'orienter dans n'importe quelle direction de l'espace, il faut trois propulseurs dont les directions de poussée sont linéairement indépendantes. Trois propulseurs ont été installés, définis par les vecteurs $\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ et $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Déterminer en justifiant pour quelles valeurs du paramètre réel $m$ le système de propulsion ne permettrait pas de manœuvrer dans tout l'espace (c'est-à-dire quand les vecteurs sont linéairement dépendants). Dans le cas où $m=1$, expliquer géométriquement ce qui se passe pour les directions de poussée et indiquer si elles forment une base de $\mathbb{R}^3$.

Soit les vecteurs de l'espace $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$ et $\vec{c} = (k, 1, -3)$.

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour que le vecteur $\vec{v} = (3, 4, -7)$ puisse s'exprimer comme combinaison linéaire de $\vec{a}$, $\vec{b}$ et $\vec{c}$, de sorte que les trois vecteurs soient linéairement dépendants.

1. b) Si $k = 2$, ces vecteurs forment-ils une base de $\mathbb{R}^3$ ? Si oui, calculer les coordonnées du vecteur $\vec{w} = (1, 1, 1)$ dans cette base $B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$.

Dans le développement d'un jeu vidéo en monde ouvert, la position d'un personnage est définie à l'aide d'une base non standard $B' = \{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}$. On sait que ces vecteurs sont liés à la base canonique $B = \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}$ de la façon suivante :

$\vec{u_1} = \vec{i} + \vec{j}$

$\vec{u_2} = \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{u_3} = \vec{i} + \vec{k}$

1. a) Démontrer que $B'$ est une base de $\mathbb{R}^3$.

1. b) Si un objet du jeu a pour coordonnées $(2, -4, 6)$ dans la base canonique, déterminer ses coordonnées dans la base $B'$.

Étudier la dépendance ou l'indépendance linéaire des vecteurs suivants selon les valeurs des paramètres $a$ et $b$ :

$\vec{u} = (a, 1, 0)$

$\vec{v} = (1, a, 1)$

$\vec{w} = (0, 1, b)$

Déterminer pour quelle relation entre $a$ et $b$ les vecteurs sont coplanaires. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle les vecteurs sont linéairement dépendants quelle que soit la valeur de $b$ ? Justifier la réponse.

Soit $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ une base de $\mathbb{R}^3$. On considère les vecteurs :

$\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$

$\vec{y} = \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{z} = \vec{w} + \lambda\vec{u}$

1. a) Pour quelles valeurs de $\lambda$ la famille $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ ne constitue-t-elle pas une base de $\mathbb{R}^3$ ?

1. b) Pour $\lambda = 0$, exprimer le vecteur $\vec{w}$ comme combinaison linéaire de $\vec{x}$, $\vec{y}$ et $\vec{u}$.

Un architecte conçoit une structure tendue à l'aide de trois câbles qui convergent en un point d'ancrage $P$. Les directions des câbles sont données par les vecteurs $\vec{v_1} = (1, 1, a)$, $\vec{v_2} = (a, 0, 1)$ et $\vec{v_3} = (2, 1, 1)$.

1. a) Pour que l'ancrage soit stable, les câbles ne doivent pas tous être dans un même plan. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles la structure s'effondrerait, les vecteurs étant linéairement dépendants.

1. b) Pour $a = 2$, une force totale de $\vec{F} = (5, 2, 4)$ est appliquée au point $P$. Déterminer si cette force peut se décomposer de façon unique en somme de tensions selon les directions des câbles et, si oui, déterminer cette décomposition.

On considère les points $A(1 ; 0 ; 1)$, $B(0 ; 2 ; 1)$ et $C(2 ; 1 ; 0)$.

1. a) Déterminer un point $D$ tel que le vecteur $\vec{AD}$ soit linéairement dépendant du vecteur $\vec{BC}$ et de norme 6. La solution est-elle unique ?

1. b) Déterminer si le point $E(5 ; -1 ; 4)$ appartient au plan défini par les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Justifier la réponse en utilisant les notions de dépendance linéaire et de base.

Démontrer que si trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont linéairement indépendants, alors les vecteurs $\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{v} - \vec{w}$ et $\vec{w} - \vec{u}$ sont toujours linéairement dépendants.

Donner une interprétation géométrique de ce résultat en considérant les vecteurs comme les côtés d'une figure fermée dans l'espace.

On considère la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ de $\mathbb{R}^3$ formée des vecteurs $\vec{u} = (10, 0, 0)$, $\vec{v} = (1, 10, 0)$ et $\vec{w} = (1, 1, 10)$, et le vecteur cible $\vec{x} = (12, 21, 30)$. On cherche les coordonnées $(a, b, c)_B$ telles que $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$.

1. a) Estimer : avant de résoudre un système numérique, analyser la structure des vecteurs de la base (observer la position des zéros et les valeurs dominantes $10$) :

• Quel vecteur de la base est le seul à pouvoir contribuer à la troisième composante ($z$) ? Estimer la valeur exacte que doit avoir $c$.

• Sachant que cette valeur de $c$ apporte déjà une quantité fixe à la deuxième composante ($y$), autour de quelle valeur doit se situer la coordonnée $b$ ? Sera-t-elle supérieure ou inférieure à $2,1$ ?

• En raisonnant de façon analogue avec la première composante ($x$), estimer si la coordonnée $a$ sera supérieure ou inférieure à $1$.

1. b) Calculer : écrire le système linéaire correspondant à $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$ et calculer exactement les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
2. c) Évaluer : comparer ses estimations qualitatives aux résultats exacts et expliquer pourquoi la disposition triangulaire de cette base provoque un « effet cascade » qui corrige successivement chaque coordonnée de bas en haut.

On considère l'ensemble de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ formé de $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, 0, 1)$ et $\vec{w} = (0, 1, 1)$.

1. a) Démontrer que $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ est une base de $\mathbb{R}^3$ en calculant le volume du parallélépipède qu'ils déterminent, à l'aide de leur produit mixte ou du déterminant.
2. b) Un élève affirme avec assurance : « Comme $B$ n'est pas la base canonique, il est impossible qu'un vecteur non nul ait exactement les mêmes composantes dans la base canonique que de coordonnées dans la base $B$ ». Pour vérifier s'il a raison, écrire l'équation vectorielle traduisant cette condition :

Transformer cette égalité en un système linéaire homogène, le résoudre en justifiant et conclure si l'affirmation de l'élève est vraie ou fausse.

1. c) Interpréter géométriquement l'ensemble des vecteurs vérifiant la condition précédente, en indiquant quelle figure ils forment dans l'espace et quel lien elle a avec les vecteurs de la base $B$.