Équations exponentielles et logarithmiques

Résoudre les équations exponentielles suivantes en écrivant les deux membres comme puissances de la même base :

1. a) $2^{x} = 8$

1. b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

1. c) $5^{x} = 25$

1. d) $10^{x} = 0,001$

Résoudre les équations exponentielles suivantes dont l'inconnue figure dans une expression de l'exposant :

1. a) $3^{x + 1} = 27$

1. b) $2^{3x} = 16$

1. c) $5^{2 - x} = 125$

Pour résoudre l'équation exponentielle $8^{x-1} = 4^{x+2}$, deux élèves proposent des chemins différents :

• Pauline affirme que le plus direct est de décomposer les bases en puissances de $2$ ($8 = 2^3$ et $4 = 2^2$) et d'égaler les exposants obtenus.

• Serge suggère d'appliquer directement les logarithmes décimaux aux deux membres : $\log(8^{x-1}) = \log(4^{x+2})$, et de faire descendre les exposants grâce à la propriété du logarithme d'une puissance.

1. a) Résoudre l'équation par la méthode proposée par Pauline.
2. b) Justifier pourquoi les deux méthodes sont mathématiquement valides et argumenter laquelle est la plus avantageuse et la moins sujette aux erreurs de calcul dans ce cas particulier.

En appliquant la définition du logarithme, résoudre :

1. a) $\log_{2} x = 5$

1. b) $\log_{3} x = -2$

1. c) $\log x = 4$

1. d) $\ln x = 0$

Résoudre en appliquant la fonction réciproque adéquate :

1. a) $\ln x = 4$

1. b) $e^{x} = 7$

1. c) $10^{x} = 45$

1. d) $\log x = 2,5$

Résoudre l'équation $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ en effectuant le changement de variable $t = 2^{x}$. Vérifier les solutions obtenues.

Résoudre l'équation $2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$ en mettant en facteur la plus petite puissance. Vérifier la solution.

Résoudre l'équation exponentielle $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ en suivant ces étapes :

1. a) Exprimer $9^{x}$ comme puissance de base $3$ et effectuer le changement de variable $t = 3^{x}$.

1. b) Résoudre l'équation du second degré obtenue.

1. c) Revenir à la variable initiale, vérifier chaque solution dans l'équation de départ et écarter celles qui ne conviennent pas.

Lucie essaie de résoudre l'équation exponentielle $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ et rend le raisonnement suivant dans son cahier :

« Étape 1 : Je pose $t = 2^x$, ce qui donne $4^x = (2^x)^2 = t^2$.

Étape 2 : J'obtiens $t^2 - 3t - 4 = 0$, dont les solutions sont $t_1 = 4$ et $t_2 = -1$.

Étape 3 : Je reviens à la variable initiale :

• Pour $t_1 = 4 \implies 2^x = 4 \implies x = 2$.

• Pour $t_2 = -1 \implies 2^x = -1 \implies x = -0,5$ (car $2 \cdot (-0,5) = -1$).

Conclusion : L'équation a deux solutions réelles : $x = 2$ et $x = -0,5$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Lucie à l'étape 3, en justifiant à l'aide des propriétés de la fonction exponentielle pourquoi l'égalité $2^x = -1$ est impossible dans l'ensemble des nombres réels.
2. b) Corriger la résolution et déterminer l'ensemble final des solutions valides de l'équation.

Résoudre les équations :

1. a) $\log_{2} x + \log_{2} 4 = 5$

1. b) $\log_{5} x - \log_{5} 2 = 2$

Résoudre l'équation logarithmique $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3$ et vérifier la validité de chaque solution candidate.

Résoudre l'équation $\log x + \log(x + 3) = 1$, où $\log$ désigne le logarithme décimal. Pourquoi faut-il écarter l'une des solutions de l'équation du second degré associée ?

Résoudre l'équation logarithmique $\log_{2} x + \log_{4} x = 3$.

1. a) Exprimer $\log_{4} x$ en fonction de $\log_{2} x$ à l'aide du changement de base.

1. b) Résoudre l'équation obtenue et vérifier la solution.

Un élève résout l'équation $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x - 3) = 3$ ainsi :

« $\log_{2}[(x - 1)(x - 3)] = 3 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 8 \Rightarrow x^{2} - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ et $x = -1$. Donc l'équation a deux solutions : $x = 5$ et $x = -1$. »

1. a) Expliquer où se situe l'erreur de sa conclusion, même si les calculs sont corrects.

1. b) Rédiger la résolution complète et correcte, en indiquant quelle vérification est obligatoire dans toute équation logarithmique.

Résoudre les équations suivantes, dans lesquelles l'inconnue apparaît à des endroits peu habituels :

1. a) $\log_{x} 8 = \frac{3}{2}$ (l'inconnue est la base du logarithme ; rappeler quelles valeurs une base peut prendre).

1. b) $\log_{3}(x + 2) - \log_{3}(x - 2) = 1$ (appliquer la propriété du logarithme d'un quotient et vérifier la solution).

Résoudre les équations en prenant les logarithmes décimaux des deux membres. Exprimer la solution exacte sous forme de quotient de logarithmes (il n'est pas nécessaire de donner la valeur décimale) :

1. a) $2^{x} = 15$

1. b) $7^{x} = 100$

Résoudre l'équation $3^{x - 1} = 2^{x}$ en prenant les logarithmes népériens des deux membres. Exprimer la solution exacte à l'aide de logarithmes et en donner une valeur approchée à deux décimales.

La figure représente la courbe $y = 2^{x}$ et la droite $y = 5$.

1. a) Expliquer pourquoi la solution de l'équation $2^{x} = 5$ est l'abscisse du point d'intersection marqué par « ? ».

1. b) Encadrer la solution entre deux entiers consécutifs à l'aide du graphique ou par tâtonnement.

1. c) Exprimer la solution exacte à l'aide d'un logarithme et en calculer une valeur approchée à trois décimales.

Soit l'équation exponentielle $3^{2x-1} = 50$ :

1. a) Sans calculatrice ni logarithmes, encadrer la valeur de l'inconnue $x$. Pour cela, identifier entre quelles deux puissances entières consécutives de base $3$ se situe le nombre $50$, en déduire entre quels deux entiers consécutifs doit se trouver l'exposant $2x-1$ puis, à partir de là, obtenir pour $x$ un intervalle borné par deux nombres rationnels ou décimaux simples.
2. b) Résoudre l'équation de façon exacte en appliquant les logarithmes décimaux aux deux membres et en isolant l'inconnue $x$.
3. c) Obtenir la valeur numérique approchée à trois décimales et vérifier si votre estimation initiale du a) était cohérente.

Selon les barèmes d'évaluation des véhicules d'occasion utilisés par les impôts en Espagne, une voiture à moteur thermique se déprécie à un taux d'environ $12\,\%$ par an durant ses premières années de circulation. Une entreprise de messagerie achète une camionnette de livraison pour $25\,000\text{ \euro}$. Sa valeur résiduelle $V(t)$, exprimée en euros après $t$ années de service, est modélisée par la fonction $V(t) = 25\,000 \cdot (0,88)^t$.

1. a) Poser l'équation exponentielle qui permet de calculer au bout de combien d'années la valeur de la camionnette est réduite exactement à $10\,000\text{ \euro}$.
2. b) Résoudre cette équation à l'aide des logarithmes, arrondir le résultat au centième et interpréter la valeur obtenue en indiquant le nombre approximatif d'années et de mois nécessaires pour atteindre cette valeur.
3. c) Si l'entreprise avait acheté une camionnette de plus grande capacité pour $50\,000\text{ \euro}$ avec le même taux de dépréciation de $12\,\%$ par an, mettrait-elle plus de temps, moins de temps ou le même temps à perdre exactement la moitié de sa valeur initiale ? Justifier la réponse à partir de la structure algébrique de l'équation, sans refaire tous les calculs.

Une famille place $5\,000\ \text{ €}$ sur un dépôt à intérêts composés annuels au taux de $4 \%$, de sorte que le capital au bout de $t$ années est $C(t) = 5\,000 \cdot 1,04^{t}$.

1. a) Poser l'équation exponentielle qui permet de déterminer au bout de combien d'années le capital atteint $8\,000\ \text{ €}$.

1. b) La résoudre à l'aide des logarithmes et exprimer le résultat arrondi au mois.

1. c) Sans effectuer tout le calcul, expliquer si avec un taux de $2 \%$ la durée nécessaire serait exactement le double. Vérifier votre conjecture par le calcul.

Une colonie de bactéries croît au rythme de $15 \%$ par jour, de façon cumulative. Si au départ il y a $2\,000$ bactéries :

1. a) Écrire l'expression du nombre de bactéries au bout de $t$ jours et poser l'inéquation qui détermine à partir de quand la population dépassera $10\,000$ bactéries.

1. b) La résoudre à l'aide des logarithmes et conclure : combien de jours entiers doivent s'écouler au minimum ?

Résoudre le système logarithmique :

Vérifier que la solution satisfait les deux équations et que les valeurs sont valides pour les logarithmes.

Résoudre le système exponentiel :

Indication : transformer chaque équation en une équation linéaire portant sur les exposants.

Résoudre l'équation $4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 = 0$.

1. a) Réécrire l'équation en utilisant uniquement des puissances de base $2$ et effectuer le changement $t = 2^{x}$.

1. b) Résoudre l'équation du second degré en $t$.

1. c) Revenir à la variable initiale et vérifier les deux solutions.

Concevoir une équation exponentielle de structure quadratique de la forme $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. Les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont des nombres entiers et $a = 1$.

2. Le nombre réel $x = 3$ est l'unique solution réelle de l'équation.

3. Avec le changement de variable $t = 2^x$, l'équation du second degré $t^2 + bt + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes, mais l'une d'elles n'engendre aucune solution réelle pour $x$.

1. a) Déduire les valeurs entières de $b$ et $c$ qui vérifient ces conditions, en explicitant le raisonnement qui relie les racines de l'équation du second degré en $t$ à l'ensemble image de la fonction exponentielle $2^x$.
2. b) Résoudre pas à pas l'équation obtenue pour démontrer qu'elle n'admet effectivement que $x = 3$ comme solution réelle dans $\mathbb{R}$.

On considère le système d'équations non linéaires suivant :

$\begin{cases} \log x + \log y = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

1. a) Résoudre algébriquement le système en appliquant les propriétés des logarithmes et la méthode de substitution.
2. b) En résolvant l'équation du second degré qui apparaît dans la démarche, on obtient deux couples de valeurs : $(20 ; 5)$ et $(-5 ; -20)$. Expliquer analytiquement, en s'appuyant sur la définition et l'ensemble de définition de la fonction logarithme d'origine, pourquoi l'un d'eux doit être écarté.
3. c) Si un élève remplace la première équation par $\log(x \cdot y) = 2$, transformant le système en :

$\begin{cases} \log(x \cdot y) = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

ce nouveau système est-il équivalent au système initial ? Comparer de façon argumentée les ensembles de définition des expressions $\log x + \log y$ et $\log(x \cdot y)$ et déterminer si le couple $(-5 ; -20)$ est ou non une solution admissible de ce second système.