Géométrie dans l'espace : la méthode du bac
Parmi les quatre exercices de l'épreuve écrite de spécialité, il y en a presque toujours un de géométrie dans l'espace : un cube ou un tétraèdre, un repère orthonormé, et une série de questions « Montrer que… », « En déduire… », « Calculer la distance… ». Les questions se suivent et chacune sert à la suivante. Comment repérer l'outil à sortir à chaque question ? Cette page rassemble les cinq outils qui reviennent chaque année et la façon de les enchaîner.
Repère, vecteurs et produit scalaire
Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$, tout se ramène à des calculs sur des coordonnées. Pour un cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$, on prend le repère $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ : le point $A$ est l'origine et les trois arêtes issues de $A$ donnent les axes.
Voici ce qu'il faut savoir manipuler. Pour $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$, $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$, $\vec u(x\,;y\,;z)$ et $\vec v(x'\,;y'\,;z')$ :
Le repère est orthonormé : c'est pour cela que ces formules sont valables. Sans cette hypothèse, elles seraient fausses.
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. 1.…
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.
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Donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$ et $G$.
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Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{AG}$.
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Montrer que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.
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En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est $x+y+z-1=0$.
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Soit $K$ le point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$. Déterminer les coordonnées de $K$ et calculer la distance $AK$.
Plan : vecteur normal et équation cartésienne
Un plan est déterminé par un point $A$ et deux vecteurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$ (la direction du plan) : $M$ est dans le plan si et seulement si $\overrightarrow{AM}=\alpha\vec u+\beta\vec v$ avec $\alpha$ et $\beta$ réels. Par exemple, le plan passant par $A(1\,;0\,;0)$ et dirigé par $\vec u(1\,;1\,;0)$ et $\vec v(0\,;1\,;1)$ est l'ensemble des points $(1+\alpha\,;\alpha+\beta\,;\beta)$. Il est aussi déterminé par un point $A$ et un vecteur normal $\vec n$, c'est-à-dire un vecteur non nul orthogonal à toutes les directions du plan. Pour qu'un vecteur $\vec n$ soit normal au plan $(ABC)$, il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Pourquoi ? Un point $M(x\,;y\,;z)$ est dans le plan si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$, c'est-à-dire $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$. En développant, on obtient $ax+by+cz+d=0$ avec $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$.
Pour trouver $d$, on remplace $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées d'un point du plan. Pour vérifier une équation, on remplace par les coordonnées des trois points.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(2\,;0\,;0)$, $B(0\,;3\,;0)$ et $C(0\,;0\,;6)$. Partie A 1.…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(2\,;0\,;0)$, $B(0\,;3\,;0)$ et $C(0\,;0\,;6)$.
Partie A
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Montrer que le vecteur $\vec n(3\,;2\,;1)$ est normal au plan $(ABC)$.
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En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
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Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, puis une valeur approchée au dixième de degré de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
Partie B
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Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur le plan $(ABC)$.
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Calculer la distance $OH$. On donnera la valeur exacte.
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Calculer le volume du tétraèdre $OABC$, sachant que $OAB$ est un triangle rectangle en $O$ et que $(OC)$ est orthogonale au plan $(OAB)$.
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En déduire l'aire du triangle $ABC$.
Droites : représentation paramétrique et positions relatives
Une droite $d$ est déterminée par un point $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et un vecteur directeur $\vec u(\alpha\,;\beta\,;\gamma)$. Le point $M(x\,;y\,;z)$ est sur $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=t\,\vec u$ pour un réel $t$ :
$$\begin{cases}x=x_A+\alpha t\\y=y_A+\beta t\\z=z_A+\gamma t\end{cases},\quad t\in\mathbb R.$$C'est une représentation paramétrique de $d$. On y lit tout de suite un point (avec $t=0$) et un vecteur directeur (les coefficients de $t$). Une même droite a de nombreuses représentations paramétriques.
Pour savoir si un point $M$ est sur $d$, on cherche un réel $t$ qui convient pour les trois équations à la fois.
Positions relatives de deux droites
Pour deux droites $d$ et $d'$ de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ :
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si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, les droites sont parallèles (confondues si elles ont un point commun, strictement parallèles sinon) ;
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sinon, on cherche un point commun en résolvant le système obtenu en égalant les coordonnées. Une solution unique signifie que les droites sont sécantes. Aucune solution signifie qu'elles sont non coplanaires : elles ne sont ni parallèles, ni sécantes.
Droite et plan
Si $d$ a pour vecteur directeur $\vec u$ et si le plan $\mathcal P$ a pour vecteur normal $\vec n$ :
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$\vec u\cdot\vec n=0$ : $d$ est parallèle à $\mathcal P$ (ou incluse dans $\mathcal P$) ;
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$\vec u$ colinéaire à $\vec n$ : $d$ est orthogonale à $\mathcal P$ ;
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sinon, $d$ coupe $\mathcal P$ en un seul point. On le trouve en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en $t$ dans l'équation de $\mathcal P$ et en résolvant l'équation d'inconnue $t$.
Positions relatives de deux plans
Soit $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ de vecteurs normaux $\vec n$ et $\vec n'$. Si $\vec n$ et $\vec n'$ sont colinéaires, les plans sont parallèles (confondus si un point de l'un est dans l'autre, strictement parallèles sinon). Sinon, ils sont sécants selon une droite, dont on obtient une représentation paramétrique en résolvant le système des deux équations. Si $\vec n\cdot\vec n'=0$, les plans sont perpendiculaires.
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les droites suivantes, de représentations paramétriques où $t$, $s$ et $k$ sont des réels : $$d1\ :\…
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les droites suivantes, de représentations paramétriques où $t$, $s$ et $k$ sont des réels :
$$d_1\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=3t\end{cases}\qquad d_2\ :\ \begin{cases}x=2+2s\\y=1+s\\z=3-s\end{cases}\qquad d_3\ :\ \begin{cases}x=4+2k\\y=1-2k\\z=6k\end{cases}\qquad d_4\ :\ \begin{cases}x=1+s\\y=1\\z=2s\end{cases}$$-
Donner un vecteur directeur de chacune des droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$.
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Montrer que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
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Montrer que $d_1$ et $d_3$ sont parallèles et non confondues.
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Montrer que $d_1$ et $d_4$ ne sont pas coplanaires.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les droites $d_1$ et $d_2$ de représentations paramétriques respectives…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les droites $d_1$ et $d_2$ de représentations paramétriques respectives
$$d_1\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=0\end{cases},\ t\in\mathbb R\qquad\text{et}\qquad d_2\ :\ \begin{cases}x=0\\y=1+s\\z=1+s\end{cases},\ s\in\mathbb R.$$-
Donner un vecteur directeur $\vec u$ de $d_1$ et un vecteur directeur $\vec v$ de $d_2$. Montrer que $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
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Montrer que $d_1$ et $d_2$ n'ont aucun point commun. Que peut-on en déduire sur leur position relative ?
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Pour $t$ et $s$ réels, on note $P(t)$ le point de $d_1$ de paramètre $t$ et $Q(s)$ le point de $d_2$ de paramètre $s$.
a) Exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{P(t)Q(s)}$.
b) Déterminer les valeurs de $t$ et $s$ pour lesquelles $\overrightarrow{PQ}$ est orthogonal à la fois à $\vec u$ et à $\vec v$. On note $P_0$ et $Q_0$ les points correspondants.
c) Calculer la distance $P_0Q_0$.
- Soient $P$ un point quelconque de $d_1$ et $Q$ un point quelconque de $d_2$. Montrer que $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{P_0Q_0}+\vec w$ où $\vec w$ est une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$. En déduire que $PQ\ge P_0Q_0$.
Projeté orthogonal et distances
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $\mathcal P$ (ou sur une droite) est le point $H$ de $\mathcal P$ tel que $(MH)$ soit orthogonale à $\mathcal P$. C'est aussi le point de $\mathcal P$ le plus proche de $M$ : la distance de $M$ à $\mathcal P$ est donc $MH$.
Pour le projeté sur une droite $d$ de vecteur directeur $\vec u$, on traduit l'orthogonalité par un produit scalaire : $H$ est le point de $d$ tel que $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;0\,;2)$, $B(3\,;-1\,;2)$, $C(2\,;0\,;3)$ et $D(2\,;3\,;1)$.…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;0\,;2)$, $B(3\,;-1\,;2)$, $C(2\,;0\,;3)$ et $D(2\,;3\,;1)$.
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Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
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Montrer que le vecteur $\vec n(1\,;2\,;-1)$ est normal au plan $(ABC)$.
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En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+2y-z+1=0$.
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Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
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Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $D$ sur le plan $(ABC)$, puis calculer la distance de $D$ au plan $(ABC)$.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère la droite $\mathcal D$ de représentation paramétrique…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère la droite $\mathcal D$ de représentation paramétrique
$$\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=2+t\end{cases},\qquad t\in\mathbb R,$$et le point $M(4\,;1\,;3)$.
Partie A
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Donner un point de $\mathcal D$ et un vecteur directeur $\vec u$ de $\mathcal D$.
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Le point $M$ appartient-il à $\mathcal D$ ?
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Soit $H$ le point de $\mathcal D$ de paramètre $t$. Exprimer $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$, puis déterminer $t$ pour que $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$.
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En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal D$, puis la distance de $M$ à $\mathcal D$.
Partie B
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Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal P$ passant par $M$ et orthogonal à $\mathcal D$.
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Vérifier que le projeté orthogonal $H$ de la partie A est le point d'intersection de $\mathcal D$ et $\mathcal P$.
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Soit $N$ un point de $\mathcal D$. Montrer que $MN^2=MH^2+HN^2$. En déduire les points $N$ de $\mathcal D$ tels que $MN=3$, en donnant leurs paramètres.
Rédiger un exercice de bac complet
Dans un exercice de bac, les questions s'enchaînent : une équation de plan sert à trouver un projeté, qui sert à calculer une distance, qui sert à son tour à calculer un volume. Voici les réflexes à avoir.
| Question | Outil |
|---|---|
| « Montrer que $\vec n$ est normal au plan $(ABC)$ » | $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$, avec $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires |
| « Équation cartésienne de $(ABC)$ » | $ax+by+cz+d=0$ puis $d$ avec un point |
| « Droite orthogonale à un plan passant par $M$ » | représentation paramétrique avec $\vec n$ comme vecteur directeur |
| « Projeté orthogonal » | intersection de la droite et du plan, ou $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ |
| « Montrer que deux droites sont orthogonales » | produit scalaire des vecteurs directeurs nul |
| « Volume d'un tétraèdre » | $\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$, la hauteur étant une distance au plan |
Quand un point mobile dépend d'un paramètre $t$, on exprime les coordonnées en fonction de $t$, puis on étudie une longueur au carré : c'est un trinôme du second degré, plus facile à manipuler que la racine.
Retour au début : un exercice de géométrie dans l'espace est presque toujours un enchaînement des outils vus plus haut. Pour chaque question, tu sais maintenant reconnaître l'outil à sortir grâce au tableau.
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. On note $I$ le…
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. On note $I$ le milieu de $[CD]$ et $J$ le milieu de $[BF]$.
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Donner les coordonnées des points $E$, $G$, $I$ et $J$.
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Calculer $\overrightarrow{EI}\cdot\overrightarrow{EJ}$, $EI$ et $EJ$. En déduire une valeur approchée au dixième de degré de l'angle $\widehat{IEJ}$.
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a) Montrer que le vecteur $\vec n(2\,;3\,;4)$ est normal au plan $(EIJ)$.
b) En déduire une équation cartésienne du plan $(EIJ)$.
- a) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $P$ du point $G$ sur le plan $(EIJ)$.
b) Calculer la distance du point $G$ au plan $(EIJ)$.
- Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(EIJ)$.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;2\,;3)$, $B(3\,;0\,;1)$, $C(-1\,;1\,;2)$ et $S(2\,;5\,;1)$.…
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;2\,;3)$, $B(3\,;0\,;1)$, $C(-1\,;1\,;2)$ et $S(2\,;5\,;1)$.
Partie A
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Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et calculer son aire.
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Montrer que le vecteur $\vec n(0\,;1\,;-1)$ est normal au plan $(ABC)$, puis déterminer une équation cartésienne de ce plan.
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Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $S$ sur le plan $(ABC)$ et calculer la distance $SH$.
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Calculer le volume du tétraèdre $SABC$.
Partie B
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Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme. Montrer que $ABDC$ est un rectangle et calculer son aire.
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Calculer le volume de la pyramide $SABDC$ de base $ABDC$ et de sommet $S$.
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Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur du segment $[AS]$.
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. Pour tout réel…
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. Pour tout réel $t\in[0\,;1]$, on note $M$ le point de $[AB]$ tel que $AM=t$ et $N$ le point de $[CG]$ tel que $CN=t$.
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Donner les coordonnées de $M$ et de $N$ en fonction de $t$.
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a) Montrer que $MN^2=2t^2-2t+2$.
b) En déduire la valeur de $t$ pour laquelle la longueur $MN$ est minimale, ainsi que cette longueur minimale.
- a) Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle les droites $(MN)$ et $(AG)$ sont orthogonales ?
b) Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles les droites $(MN)$ et $(BD)$ sont orthogonales. Interpréter géométriquement.
- On suppose dans cette question que $t=\dfrac12$.
a) Montrer que le vecteur $\vec n(4\,;-3\,;2)$ est normal au plan $(EMN)$.
b) En déduire une équation cartésienne du plan $(EMN)$.
c) Calculer la distance du point $A$ au plan $(EMN)$.
L'essentiel
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Coordonnées : $\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)$, $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$, $\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ (repère orthonormé).
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Plan : $\vec n(a\,;b\,;c)$ normal à deux vecteurs non colinéaires du plan, équation $ax+by+cz+d=0$, avec $d$ trouvé grâce à un point.
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Droite : représentation paramétrique $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+t\,\vec u$ ; sécantes si le système a une solution, non coplanaires sinon.
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Projeté orthogonal $H$ de $M$ : sur un plan, intersection de la droite $(M\,;\vec n)$ avec le plan ; sur une droite, $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$. La distance est $MH$.
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Exercice de bac : les questions s'enchaînent, chaque résultat sert à la suite.