Suites et récurrence · Mathématiques et maths expertes Terminale (maths expertes)

Le raisonnement par récurrence

Pour montrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge n_0$, on ne peut pas la tester une infinité de fois. On procède comme avec une file de dominos : le premier tombe, et chaque domino qui tombe fait tomber le suivant.

La même méthode sert à démontrer un encadrement ($0\le u_n\le 6$), un signe ($u_n>0$) ou une inégalité ($u_n^2\ge 2n+1$). Dans l'hérédité, on part toujours de l'hypothèse pour arriver à la propriété au rang suivant, en passant par la relation de récurrence.

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On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac12u_n+3$. 1. Calculer $u_1$ et $u_2$. 2. Démontrer par récurrence que,…

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac12u_n+3$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 6$.
a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=3-\dfrac12u_n$.

b) En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

Justifier que la suite $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.

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On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-n$. 1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 2. Démontrer par récurrence que,…

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-n$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=n+1+2^{n+1}$.
a) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On pose $w_n=\dfrac{u_n}{2^n}$ pour tout entier naturel $n$.

a) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $w_n=2+\dfrac{2(n+1)}{2^{n+1}}$.

b) Calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$.

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>10\,000$.

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Sens de variation et suites arithmético-géométriques

Pour étudier le sens de variation de $(u_n)$, tu as trois outils.

Le signe de $u_{n+1}-u_n$ : positif pour tout $n$, la suite est croissante ; négatif, elle est décroissante.
Le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ comparé à $1$, si tous les termes sont strictement positifs.
Une récurrence sur l'inégalité $u_n\le u_{n+1}$, quand $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ croissante.

Une suite du type $u_{n+1}=a\,u_n+b$ (avec $a\ne1$) est dite arithmético-géométrique. On la ramène à une suite géométrique grâce à son point fixe $\ell$, solution de $\ell=a\ell+b$.

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Le 1er janvier 2025, Camille place 2 000 € sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de $3\ \%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le capital,…

Le 1er janvier 2025, Camille place 2 000 € sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de $3\ \%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le capital, en euro, disponible $n$ années après le placement. On a donc $v_0=2\,000$.

Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
Préciser le sens de variation de la suite $(v_n)$ et sa limite.
Résoudre dans $\mathbb N$ l'inéquation $v_n>3\,000$.
Interpréter le résultat de la question 3 dans le contexte de l'exercice.

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Un lac de Bretagne contient 5 000 poissons au 1er janvier 2025. Chaque année, la pêche prélève $20\ \%$ des poissons présents, puis une association en réintroduit 800…

Un lac de Bretagne contient 5 000 poissons au 1er janvier 2025. Chaque année, la pêche prélève $20\ \%$ des poissons présents, puis une association en réintroduit 800 dans le lac.

On note $u_n$ le nombre de poissons dans le lac au 1er janvier de l'année $2025+n$. On a donc $u_0=5\,000$.

Partie A

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+800$.
Calculer $u_1$ et $u_2$.

Partie B

On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-4\,000$.

Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=4\,000+1\,000\times0{,}8^n$.
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite. Interpréter ce résultat.
Déterminer la première année à partir de laquelle le nombre de poissons au 1er janvier sera strictement inférieur à 4 050.

Résoudre

Calculer une limite

Ta première question : de quelle forme s'agit-il ? Remplace $n$ par « $+\infty$ » dans l'expression.

Situation	Méthode
Polynôme, somme de termes	Factoriser le terme prépondérant (plus haute puissance de $n$)
Quotient de polynômes	Factoriser en haut et en bas par la plus haute puissance de $n$
$q^n$	$q>1$ : $+\infty$ ; $-1
Terme borné (comme $\sin n$)	Théorème des gendarmes
Minoration par une suite qui diverge	Théorème de comparaison

Trois limites

Déterminer les limites de $a_n=\dfrac{2n^2+n}{n^2-1}$, $b_n=n^2-5n$ et $c_n=\dfrac{3n+\cos n}{n}$ (pour $n\ge1$).

Pour $a_n$ : forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise : $a_n=\dfrac{n^2\left(2+\frac1n\right)}{n^2\left(1-\frac1{n^2}\right)}=\dfrac{2+\frac1n}{1-\frac1{n^2}}$. Le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ : $\lim a_n=2$.

Pour $b_n$ : forme $+\infty-\infty$. On factorise : $b_n=n^2\left(1-\dfrac5n\right)$. Comme $1-\frac5n\to1$ et $n^2\to+\infty$, $\lim b_n=+\infty$.

Pour $c_n$, encadre $\cos n$ puis applique le théorème des gendarmes.

$-1\le\cos n\le1$ donc $\dfrac{3n-1}{n}\le c_n\le\dfrac{3n+1}{n}$, soit $3-\dfrac1n\le c_n\le3+\dfrac1n$. Les deux suites extrêmes tendent vers $3$ : d'après le théorème des gendarmes, $\lim c_n=3$.

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Déterminer la limite de chacune des suites suivantes. 1. $u_n=\dfrac{3n^2-n+1}{n^2+2}$ pour tout $n\in\mathbb N$. 2. $v_n=\dfrac{n+\sin n}{n}$ pour tout $n\ge1$. On…

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

$u_n=\dfrac{3n^2-n+1}{n^2+2}$ pour tout $n\in\mathbb N$.
$v_n=\dfrac{n+\sin n}{n}$ pour tout $n\ge1$. On pourra utiliser le théorème des gendarmes.
$w_n=n^2-5n+2$ pour tout $n\in\mathbb N$.
$t_n=5\times\left(-0{,}5\right)^n+2$ pour tout $n\in\mathbb N$.

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On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$, $v_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\qquad\text{et}\qquad…

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$, $v_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\qquad\text{et}\qquad v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}.$$

Calculer $u_1$ et $v_1$.
On pose $w_n=v_n-u_n$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

b) En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et la limite de $(w_n)$.

On pose $s_n=u_n+v_n$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que la suite $(s_n)$ est constante et préciser sa valeur.

b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=4-\dfrac{3}{3^n}$ et $v_n=4+\dfrac{3}{3^n}$.

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite, que l'on précisera.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<4

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Convergence monotone et suites $u_{n+1}=f(u_n)$

Quand on ne sait pas calculer $u_n$ explicitement, on prouve que la suite converge, puis on détermine sa limite avec la relation de récurrence.

La démarche type en quatre temps : encadrer par récurrence, variations (signe de $u_{n+1}-u_n$ ou récurrence), conclure à la convergence, puis résoudre $f(\ell)=\ell$.

Une suite $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Étudier la convergence de $(u_n)$.

Encadrement. Montrons par récurrence que $0\le u_n\le2$. Pour $n=0$ : $u_0=1$. Si $0\le u_n\le2$, alors $2\le u_n+2\le4$, puis $\sqrt2\le u_{n+1}\le2$ car $\sqrt{\ }$ est croissante. Donc $0\le u_{n+1}\le2$.

Variations. $u_{n+1}^2-u_n^2=u_n+2-u_n^2=(2-u_n)(u_n+1)$. Avec $0\le u_n\le2$ ce produit est positif, donc $u_{n+1}^2\ge u_n^2$. Les termes étant positifs, $u_{n+1}\ge u_n$ : la suite est croissante.

Convergence. La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$ avec $0\le\ell\le2$.

Détermine $\ell$ en utilisant $f(x)=\sqrt{x+2}$, continue sur $[0\,;2]$.

$\ell=\sqrt{\ell+2}$ donc $\ell^2=\ell+2$, soit $\ell^2-\ell-2=0$, de racines $-1$ et $2$. Comme $\ell\ge0$, $\ell=2$.

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Partie A On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ par $f(x)=\sqrt{2x+3}$. 1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;3]$. 2. Montrer que, pour…

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ par $f(x)=\sqrt{2x+3}$.

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;3]$.
Montrer que, pour tout $x\in[0\,;3]$, $f(x)\in[0\,;3]$.
Résoudre dans $[0\,;3]$ l'équation $f(x)=x$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 3$.
a) Montrer que, pour tout $x\in[0\,;3]$, $f(x)-x=\dfrac{(3-x)(x+1)}{\sqrt{2x+3}+x}$.

b) En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$. On justifiera que $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$.
Écrire en langage Python une fonction seuil() qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n>2{,}99$.

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Pour tout entier naturel $n\ge1$, on pose $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}=1+\frac1{4}+\dots+\frac1{n^2}$. 1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 2. Montrer que…

Pour tout entier naturel $n\ge1$, on pose $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}=1+\frac1{4}+\dots+\frac1{n^2}$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
a) Montrer que, pour tout entier $k\ge2$, $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$.

b) En déduire, par récurrence, que pour tout entier $n\ge1$, $u_n\le2-\dfrac1n$.

Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ vérifiant $\dfrac54\le\ell\le2$.

Résoudre

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On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac1{u_n}$. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel…

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac1{u_n}$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}^2\ge u_n^2+2$.

b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n^2\ge 2n+1$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Justifier que $u_n>10$ pour tout entier $n\ge50$.
Démontrer, par l'absurde, que la suite $(u_n)$ ne peut pas converger vers un réel $\ell$ en utilisant l'égalité $\ell=\ell+\dfrac1\ell$.

Résoudre

Chercher un seuil, avec ou sans Python

Une question fréquente : « À partir de quelle année le capital dépasse-t-il tel montant ? » Il s'agit de trouver le plus petit entier $n$ tel que $u_n>S$.

Deux méthodes. Par le calcul : on résout l'inéquation avec $\ln$ (pour une suite géométrique). Par algorithme : on boucle jusqu'à dépasser le seuil.

Avec Python, on obtient le même résultat :

def seuil():

    n = 0

    v = 1000

    while v <= 1500:

        v = v * 102 / 100

        n = n + 1

    return n

La boucle while s'arrête dès que $v>1\,500$, et n contient le rang cherché.

Vérifie-toi sur l'exercice suivant, qui demande aussi un seuil.

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On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-n$. 1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 2. Démontrer par récurrence que,…

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-n$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=n+1+2^{n+1}$.
a) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On pose $w_n=\dfrac{u_n}{2^n}$ pour tout entier naturel $n$.

a) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $w_n=2+\dfrac{2(n+1)}{2^{n+1}}$.

b) Calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$.

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>10\,000$.

Résoudre

Retour au début : un exercice de bac sur les suites s'enchaîne presque toujours ainsi : calculs de premiers termes, récurrence, variations, convergence, limite, seuil. Chaque étape a sa méthode, à connaître avec sa rédaction.

L'essentiel

Récurrence : initialisation, hérédité (on part de l'hypothèse pour obtenir le rang $n+1$), conclusion.
Suite géométrique : $u_n=u_0q^n$ ; $q^n\to0$ si $-11$. Pour $u_{n+1}=au_n+b$, on pose $v_n=u_n-\ell$ avec $\ell=a\ell+b$.
Limites : terme prépondérant, gendarmes, comparaison ; ne jamais conclure sur une forme indéterminée sans transformer.
Convergence monotone : croissante majorée ⇒ convergente ; si $u_{n+1}=f(u_n)$ et $f$ continue, la limite vérifie $f(\ell)=\ell$.
Seuil : inéquation avec $\ln$, ou boucle while en Python ; interpréter le rang dans le contexte.

À s'entraîner ! 3 exercices de niveau moyen dans cette section

★★☆ Un lac de Bretagne contient 5 000 poissons au 1er janvier 2025. Chaque année, la pêche…★★☆ Partie A On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ par $f(x)=\sqrt{2x+3}$. 1.…★★☆ On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$,…